精品解析：湖南省长沙市怡海中学2024-2025学年学八年级上学期入学考试数学试题

2024年下学期八年级假期知识梳理数学科目 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 若点在y轴上，则点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知实数，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 名学生是总体的一个样本 B. 每位初二年级学生的身高是个体 C. 名学生是总体 D. 样本容量是名学生 7. 在中，若，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 8. 如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A. B. C. D. 9. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 4的平方根是_______． 12. 比较大小：______．（填“”“”或“”） 13. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 14. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 15. 一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则______． 16. 如图，在凸四边形ABCD中，，已知，，则的度数为________． 三、解答题（共9小题，72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 19. 阅读下列文字，完成推理填空： 已知：如图，，，请说明：； 如图，延长交于点． 因为， 所以________（内错角相等，两直线平行）． 所以________（________________）． 因为， 所以________（________________）． 所以（________________）． 20. “校园安全”受到全社会的广泛关注，乌市华兵实验中学对部分学生就校园安全知识的了解程度。采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为______； （2）请补全条形统计图； （3）若该中学共有学生人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数； 21. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求的面积． 22. 某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价 （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 如图，在中，，平分，交于点F． （1）若，，求的度数； （2）在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； （3）直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 24. 若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值．若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组，以及不等式，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组和不等式，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 25. 如图①，平直角坐标系中，已知点A（a，0），B（0，b），其中a，b满足|2a﹣3b﹣39|＝0，将点B向右平移24个单位长度得到点C． （1）点A和点C的坐标； （2）如图①，点D为线段BC上一动点，点D从点C以2个单位长度/秒的速度向点B运动，同时点E为线段OA上一动点，从点O以3个单位长度/秒的速度向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜10），四边形BOED的面积记为S四边形BOED（以下同理表示），若S四边形BOEDS四边ACDE，求t的取值范围； （3）如图②，在（2）的条件下，在点D，E运动的过程中，DE交OC于点F，求证：S△OEF＞S△DCF总成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期八年级假期知识梳理数学科目 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据立方根，无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵，，0是有理数， ∴是无理数； 故选B． 2. 若点在y轴上，则点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了象限中的坐标．熟练掌握不同象限中点坐标的特征是解题的关键． 由题意知，，可求，则，进而可得结果． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴，在第二象限， 故选：C． 3. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， ，故原选项正确，符合题意； B、， ∴，故原选项错误，不符合题意； C、， ∴，故原选项错误，不符合题意； D、， ，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和3，5，6和2，5，6， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件， 只有3，5，6和2，5，6能组成三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 5. 已知实数，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解一元一次方程，方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出的值即可．熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， ∵， ∴， ∴，即的值为． 故选：C． 6. 为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 名学生是总体的一个样本 B. 每位初二年级学生的身高是个体 C. 名学生是总体 D. 样本容量是名学生 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查，涉及总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论． 【详解】A、名学生的身高是总体的一个样本，故此选项错误，不符合题意； B、每位初二年级学生的身高是个体，故此选项正确，符合题意； C、名学生的身高是总体，故此选项错误，不符合题意； D、样本容量是，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 7. 在中，若，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意及三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键． 8. 如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理， 根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 9. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：A． 10. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次方程方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键． 解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，且为整数，由不等式的解集得出，进而即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：，且为整数， 关于的不等式组整理得 ， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴且为整数， ∴， 于是符合条件的所有整数的值之和为：， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，利用平方法比较实数大小即可，熟练掌握平方法比较实数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离． 设点P的坐标为，则，再根据到两坐标轴的距离，得出，即可解答． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第四象限， ∴， ∵P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 14. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和与外角和，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 设这个正多边形是n边形，根据正多边形的内角和是外角和的2倍，列出一元一次方程，求出n的值，再根据多边形的内角和公式，即可解答． 【详解】解：设这个正多边形是n边形，依题意，得 ， 解得， ∴这个正多边形的一个内角度数是． 故答案为：． 15. 一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则______． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角的性质，余角性质，邻补角的性质，由直角三角形两锐角互余可得，，进而由余角性质可得，即可得到，再利用邻补角的性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 16. 如图，在凸四边形ABCD中，，已知，，则的度数为________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 首先根据题意得到，表示出，然后利用三角形内角和得到，求出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算算术平方根、绝对值、立方根、再计算加减法即可． 【详解】解： ， ． 18. 解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】， 数轴表示如下： ． 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为 19. 阅读下列文字，完成推理填空： 已知：如图，，，请说明：； 如图，延长交于点． 因为， 所以________（内错角相等，两直线平行）． 所以________（________________）． 因为， 所以________（________________）． 所以（________________）． 【答案】；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，涉及内错角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等，延长交于点，如图所示，根据内错角相等，两直线平行得到，进而确定，再由内错角相等，两直线平行即可得到，熟记平行线的判定与性质求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点． 因为， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 20. “校园安全”受到全社会的广泛关注，乌市华兵实验中学对部分学生就校园安全知识的了解程度。采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为______； （2）请补全条形统计图； （3）若该中学共有学生人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数； 【答案】（1） ①. ②. （2） 补全条形统计图得： （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点． （1）由“了解很少”的有人，占，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角； （2）由（1）可求得“了解”的人数，继而补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案． 【小问1详解】 解：“了解很少”的有人，占， 接受问卷调查的学生共有：（人）， 扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 “了解”的人数：（人）； 【小问3详解】 根据题意得：（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为人． 21. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作，点的坐标为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图并写出平移后坐标即可； （2）根据平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，即可得到坐标； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积． 22. 某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价 （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1），两种型号电风扇的销售单价分别为250元，210元 （2）超市最多采购A种型号电风扇10台 （3）在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标，理由： 依题意有：， 解得：， ∵， ∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标． 【解析】 【分析】（1）设，两种型号电风扇的销售单价分为元，元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意，列出不等式，进行求解即可． （3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标． 【小问1详解】 设，两种型号电风扇的销售单价分为元，元， 由题意，得， 解得 答：，两种型号电风扇的销售单价分别为250元，210元． 【小问2详解】 设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依趣意，得， 解得． 答：超市最多采购A种型号电风扇10台． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确的列出方程组和不等式是解题的关键． 23. 如图，在中，，平分，交于点F． （1）若，，求的度数； （2）在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； （3）直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【答案】（1） （2） 与不垂直，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与不垂直； （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和、平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键． （1）求出，再利用平行线性质即可求解； （2）利用平行求出，利用角平分线求出，利用内角和求出，判断即可； （3）利用平行求出，，利用角平分线求出，利用及，列式即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 要使， 即使， ∴， ∵， ∴， 化简得：． 24. 若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值．若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组，以及不等式，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组和不等式，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【答案】（1） 解不等式组A：得， ∴中点值为 又∵在不等式B：范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含； （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查新定义概念的运用与求解，不等式组的解法和不等式的性质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键． （1）先解不等式组A，再按照要求求中点，再判断中点是否在B不等式中即可． （2）先解不等式组C、D，再根据C组的中点在D不等式组中建立不等式，再解出m取值范围． （3）先解不等式组E、F，再根据E组的中点在F不等式组中建立不等式，再解出m取值范围，再根据符合要求的整数m之和为14，缩小m取值范围从而确定n取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解不等式C得： ∴不等式组C中点为： 解不等式D得： ∵2m+1位于和之间 ∴ 解得：； 【小问3详解】 解不等式组E得：，则中点值为 解不等式组F得： ∵ ∴ ∵所有符合要求的整数m之和为14， ∴m取5，4，3，2或m取5，4，3，2，，0， ∴或． 25. 如图①，平直角坐标系中，已知点A（a，0），B（0，b），其中a，b满足|2a﹣3b﹣39|＝0，将点B向右平移24个单位长度得到点C． （1）点A和点C的坐标； （2）如图①，点D为线段BC上一动点，点D从点C以2个单位长度/秒的速度向点B运动，同时点E为线段OA上一动点，从点O以3个单位长度/秒的速度向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜10），四边形BOED的面积记为S四边形BOED（以下同理表示），若S四边形BOEDS四边ACDE，求t的取值范围； （3）如图②，在（2）的条件下，在点D，E运动的过程中，DE交OC于点F，求证：S△OEF＞S△DCF总成立． 【答案】（1）A（30，0），C（24，7）； （2）≤t＜10． （3） 证明：∵S△OEF−S△DCF＝S四边形BOED−S△OBC＝×（24−2t＋3t）×7−×24×7， ∴S△OEF−S△DCF＝3.5t， ∵0＜t＜10， ∴3.5t＞0， ∴S△OEF−S△DCF＞0， ∴S△OEF＞S△DCF． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求出a＝30，b＝7，得出A，B的坐标，由平移的性质可得出答案； （2）由题意得出CD＝2t，则BD＝24−2t，OE＝3t，根据梯形的面积公式得出S四边形BOED＝×(24−2t＋3t)×7，S四边形ACDE＝×7×(2t＋30−3t)，则可得出关于t的不等式，解不等式可得出答案； （3）由题意可得出S△OEF−S△DCF＝3.5t，根据t＞0则可得出结论． 【小问1详解】 解：|2a﹣3b﹣39|＝0 ，|2a﹣3b﹣39|＝0 ∴a−b−23＝0，2a−3b−39＝0， 解得，a＝30，b＝7． ∴A（30，0），B（0，7）， ∵点B向右平移24个单位长度得到点C， ∴C（24，7）； 【小问2详解】 由题意得，CD＝2t，则BD＝24−2t，OE＝3t， ∴S四边形BOED＝×（24−2t＋3t）×7，S四边形ACDE＝×7×（2t＋30−3t）， ∵S四边形BOEDS四边形ACDE， ∴×（24−2t＋3t）×7≥×7×（2t＋30−3t）， 解得t≥， ∵0＜t＜10， ∴≤t＜10． 【小问3详解】 略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，梯形的面积，解一元一次不等式，解二元一次方程组，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $