安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期竞培、实验班数学大运动量训练（一）

第 1页，共 4页 竞培、实验班数学大运动量训练（一） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 z满足 2(1 ) |1 |i z i   ，则复数 z的虚部为( ) A. 1 B. 1 C. i D. i 2.已知 m，n为两条不同的直线， ，  为两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A.若 //m  ， n  ，则 //m n B.若m  ， n  ，且m n ，则  C.若 //  ， n  ，则 //n  D.若  ，m  ，则m  3.给出下列命题： ①若空间向量 a， b  满足 0a b   ，则 a与 b  的夹角为钝角; ②空间任意两个单位向量必相等; ③对于非零向量 c，若 a c b c      ，则 ;a b  ④若{ , , }a b c   为空间的一个基底，则{ , , }a b b c c a        构成空间的另一个基底. 其中说法正确的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.已知四面体O ABC ，G是 ABC 的重心，若OG xOA yOB zOC       ，则 x y z   ( ) A. 4 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 2 5.已知 1z ， 2z C ，则下列说法正确的是( ) A.若 3z C ， 1 3 2 3z z z z ，则 1 2z z B.若 1 2z z ，则 1 2| | | |z z C.若 1 2 1 2| | | |z z z z   ，则 1 2 0z z  D. 1 2 1 2z z z z   6.已知 ABC 三边 a，b，c及对角 A，B，C，周长为 5，且满足 2 2(sin sin ) sin sin 7sinA B A B B   ，若 1b  ， 则 ABC 的面积 S  ( ) A. 15 4 B. 7 8 C. 15 2 D. 15 8 第 2页，共 4页 7.已知函数 ( )f x 在定义域 R上单调递减，且函数 ( 1)y f x  的图象关于点 (1,0)A 对称．若实数 t满足 2( 2 ) ( 3) 0f t t f    ，则 1 3 t t   的取值范围是( ) A. 1 , 2      B. 1, 2      C. 20, 3       D. 1 ,1 (1, ) 2        8.已知函数 ( ) | sin | | cos | 2 2 x xf x   ，有下列四个结论： ①函数 ( )f x 的图象关于原点对称；② 为函数 ( )f x 的周期；③ ( )f x 的值域为 [1, 2]；④设函数 ( ) sin( )( 0,0 )g x x         „ „ 的奇偶性与函数 ( )f x 相同，且函数 ( )g x 在 (0,3)上单调递减，则 的 最小值为 2.则正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在空间直角坐标系O xyz 中，已知点      2,0,0 , 1,1, 2 , 2,3,1A B C ，则( ) A. 5AB BC     B.异面直线 OB与 AC所成角的余弦值为 15 30 C. 2 3AC   D. OB  在 BC  上的投影向量的模为 3 11 11 10.在 ABC 中， 5sin 2 5 C  ， 1BC  ， 5AC  ，则 A. 2 5AB  B. ABC 的面积为 3 2 C. ABC 外接圆直径是 5 5 2 D. ABC 内切圆半径是 3 5 2  11.如图，点 P是棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 的表面上一个动点，F是线段 1 1A B 的中点，则( ) 第 3页，共 4页 A.存在点 P使得 1AP AC B.若点 P满足 AP BF ，则动点 P的轨迹长度为 2 5 C.若点 P满足 / /PF 平面 1 1AC D时，动点 P的轨迹是正六边形 D.当点 P在侧面 1 1B BCC 上运动，且满足 2FP  时，二面角 A CD P  的最大值为 60 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知事件 A与 B相互独立， ( ) 0.6P A  ， ( ) 0.42P AB  ，则 ( )P A B  __________. 13.已知 1 2 x   ， 4y   ，且 2 1x y  ，则 1 9 2 1 4x y    的最小值为__________. 14. ABC 中，角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，记 ABC 的面积为 S， tan 2 tan .A B (1)当 tan 1B  时， tanC  __________： 2(2) S a 的最大值为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题 13分 )如图，在 ABC 中，已知 | | 1AB   ， | | 3 2AC   ，BC，AC边上的中线 AM，BN相交于 点 .P (1)求 ;AM BC   (2)若 45BAC  ，求 MPN 的余弦值. 16. (本小题 15分 )如图， ABC 的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c， ABC 外一点 (D D 与 ABC 在同 一平面内 )满足 BAC DAC   ， 2AB CD  ， 2sin cos .c aACB ACB b      (1)求 ;B (2)若 ABC 的面积为 2，求线段 AD的长. 第 4页，共 4页 17. (本小题 15分 )某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答 对每道题目得 10分，答错或不答得 0分.甲答对每道题的概率为 1 2 ，乙答对每道题的概率为 (0 1)p p  ， 且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响.已知第一题至少一人答对的概率为 5 . 6 (1)求 p的值; (2)求甲、乙得分之和为 30分的概率. 18. (本小题 17分 )已知 2 1( ) xf x ax b    是定义域上的奇函数，且 (1) 2.f  (1)求 ( )f x 的解析式; (2)判断并用定义证明 ( )f x 在区间 (0, ) 上的单调性; (3)设函数 2 2 1( ) 2 ( )( 0)h x x t f x t x      ，若对任意的 1x ， 2 1[ ,1] 2 x  ， 1 2 15| ( ) ( ) | 4 h x h x „ ，求实数 t的 最小值. 19. (本小题 17分 )如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，PD 底面 ABCD，PB AC ， E，F分别为线段 PA，DC的中点. (1)证明： ;PA PC (2)证明： //EF 平面 ;PBC (3)若 1PD  ， 60DAB  ，记 PA与平面 PBC所成角为 ，求 sin 的最大值. 竞培、实验班数学大运动量训练（一） 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查复数的概念及复数的运算，属于基础题. 根据复数的模及复数的除法运算化简复数z，根据虚部的定义即可求解. 【解答】 解：， 故， 所以复数z的虚部为 故选 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间中的线、面位置关系，属于基础题. 利用空间中线、面平行、垂直关系逐个判断即可. 【解答】 解：对于A、若，，则或m与n异面，故A错误； 对于B、若，，且，则或与相交，故B错误； 对于C、若，，由面面平行的性质可知，故C正确； 对于D、若，，则m与位置不确定，故D错误 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查空间向量的概念，空间向量的数量积运算，空间向量基本定理，属于基础题. 结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【解答】 解：对于命题①，当与反向时， 与的夹角为，此时，但不是钝角， 故命题①错误； 对于命题②，单位向量的方向不一定相同， 故命题②错误； 对于命题③，取，，， 满足，且，但是， 故命题③错误； 对于命题④，若，，共面， 则存在实数，，使， 即， ， ，，共面，这与为空间的一个基底矛盾， 故命题④正确. 所以命题①②③④中，只有命题④正确. 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了空间向量基本定理的应用，涉及到空间向量的线性运算，属于基础题． 取BC的中点E，连接AE，然后根据空间向量的线性运算即可求解． 【解答】解：如图所示： 取BC的中点E，连接AE， 因为G是的重心， 所以G 在AE上， 可得， 所以 ， 所以，，， 则 故选： 5.【答案】B  【解析】【分析】本题考查复数的加、减法运算及其几何意义、复数的模及其几何意义、共轭复数、复数的乘法运算，属于基础题. 举反例即可判定CD；由复数的运算法则即可判定 【解答】解：对于A，若 ，，则 ， 于是 或者 ，即可能存在 或 ，故A说法不正确； 对于B， 时，，故B说法正确; 对于C， 当，时，，而，故C说法不正确； 对于D，当，时，，，，故D说法不正确. 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查正余弦定理的运用．三角形面积公式，属于基础题． 由正弦定理求得进而用余弦定理求B，即可求解； 【解答】 解：， 由正弦定理可得，所以，，， 由余弦定理可得，故， 故选： 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了函数的对称性，单调性，奇偶性，根据性质得到，从而得到，从而得到结果. 【解答】 解：的图象关于点对称， 的图象关于原点对称， 为奇函数． ， ， 在R上是减函数， ， ， 在区间上是减函数，则 故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象与性质，属于较难题 利用三角函数图象与性质逐个分析即可. 【解答】 解：， 为偶函数，其图象关于y轴对称，故①错； ， 为函数的周期，故②正确； 当时，， ，，此时， 为函数的周期，的值域为，故③正确； 函数为偶函数，为偶函数，，故， 又，，，即， 由，，得， 函数在上单调递减，，解得，故④错误． 故选 9.【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积，向量的模，异面直线成角，点到直线的距离，是中档题． 利用向量数量积公式判断A；向量的模判断C；利用异面直线所成角的余弦值公式判断B；利用投影公式判断 【解答】 解：，，， ，A正确； ， 所以， 设异面直线OB与AC所成角为， 则 ，B正确； ，，C错误；  ， 所以  在  上的投影向量的模为 ，D错误． 故选： 10.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查正、余弦定理，考查二倍角公式以及三角形面积公式，属于较难题. 由题意得，由余弦定理可判定A；根据三角形的面积公式判定B；根据正弦定理可得外接圆直径判定C；利用等面积可判断 【解答】 解：，， 又，， 由余弦定理，， ，故A正确； 且C为三角形内角，，则的面积为，故B错误； 根据正弦定理其中R表示外接圆的半径得，，即外接圆的直径为，故C正确； 如图， 设内切圆圆心为O，半径为r，连接OA，OB，OC， 因为内切圆与边AB，BC，AC相切，故设切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，可知，，且，，， 由选项B分析得， 利用等面积可得：，即， ，故D正确. 故选： 11.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查线面平行的性质，二面角，空间中直线与直线的位置关系，属于中档题. 根据各选项的条件，分别确定动点P的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断. 【解答】 解：对A：如图：   当P点位于边上时，因为平面，所以，故A正确； 对B：如图：   当时，P点轨迹为矩形AMND，其中分别为，中点，所以动点P轨迹的周长为：，故B错误； 对C：如图：   当平面时，P点轨迹是正六边形FIJKLM，其中均为棱的中点，故C正确； 对D：如图：   当点P在侧面上运动，且满足时，P点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当P与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以故D错误. 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查事件的相互独立事件的概率，考查数学运算能力，属于较易题． 根据公式可解决此题． 【解答】 解：已知事件A与B相互独立， ，， ，得， 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由，利用基本不等式，即可得出．  【解答】 解：因为，，且， 所以， 则 ， 当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值 故答案为： 14.【答案】3 ；   【解析】【分析】 本题考查诱导公式以及两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的运用，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于较难题. 由诱导公式以及两角和的正切公式，化简求值. 由题意得到，所以，求出三角形的面积，利用换元法结合二次函数的性质求最值即可； 【解答】 解：当时，， 故答案为3； 由得到，， 即， 即， 所以， ， 故 令，，则， ， 所以，等号成立条件为 故最大值为， 故答案为 15.【答案】解：，因为M为BC的中点， 所以， 由得， 所以， 又，，， 所以， 所以 因为N为AC的中点，所以， 所以 ， ， 又即为，的夹角， 所以， 故的余弦值为   【解析】本题主要考查平面向量的基本定理，平面向量的加减数乘运算，平面向量数量积的运算，平面向量的模，考查计算能力，题目较难。 根据向量的加减法，结合向量的数量积运算，即可求解； 根据向量的加减法和数量积，求得，，，即为，的夹角，结合向量夹角公式即可求解。 16.【答案】解：因为在中，， 由正弦定理可得， 即 ， 即 又，，故，即， 所以，即， 因为，，所以，得 因为的面积，所以，即，， 由余弦定理得， 所以， 因为AC平分， 所以， 所以  【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理及三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，属于中档题． 直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出B的值； 利用三角形的面积公式和余弦定理进行求解可得． 17.【答案】解：设“甲答对第一题”，“乙答对第一题”，则，， 因为A与B相互独立，所以与相互独立. 由于事件“第一题至少一人答对”的对立事件是“第一题甲、乙都答错”， 根据对立事件的性质，得第一题至少一人答对的概率为， 由题意可知，，解得 设表示甲答对1道题目，表示甲答对2道题目表示乙答对1道题目，表示乙答对2道题目，则， ，， 设C表示甲、乙得分之和为30分的事件，则， 因为甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响， 所以与相互独立，与相互独立，且与互斥， 则  【解析】本题主要考查相互独立事件概率乘法公式，互斥事件与概率加法公式，对立事件，属于中档题. 根据条件，列出关于p的方程，求解即可； 根据条件，分为甲答对1题，乙答对2题；甲对2题，乙对1题两种情况进行求解即可. 18.【答案】解：是奇函数，， ，解得， ； 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：取，且， ， ，且， ，，即， ，即， 函数在上的单调递减， 当，，且时，， ，，所以，所以，即，所以在区间上单调递增. 由题意知，令，则 由可知函数在区间上单调递减，所以 因为函数图象的对称轴方程为，所以函数在区间上单调递增. 当时，取得最小值，当时，取得最大值，， 所以， 又因为对任意的，，， 所以，即，解得， 所以t的最小值是  【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算求解能力，属于中档题． 由，，可得a，b的方程，解方程可得所求， 函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性的定义即可证明； 求得的解析式，令，，结合的结论和二次函数的单调性，求得的最值，可得t的不等式，解不等式可得所求范围． 19.【答案】解：证明：连接DB交AC于点O， 则O为AC中点， 底面ABCD，底面ABCD， ， 又，，PB，平面PBD， 平面PBD， 而平面PBD， ， 故； 证明：取PB中点G，连接EG， 因为E为线段PA的中点， 则， 故， 即四边形EFCG为平行四边形， 所以， 又平面PBC，平面PBC， 故平面PBC； 设，， 由得四边形ABCD为菱形，而， 故， 因为平面ABCD，平面ABCD， 故， 故，同理， 而， 故， 设d为点A到平面PBC的距离，PA与平面PBC所成的角为， 故， 则， 而， 由，解得， 故， 当且仅当即时等号成立.  【解析】本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质、线面平行的判定、棱锥的体积、直线与平面所成的角、由基本不等式求最值或取值范围，属于较难题. 连接DB交AC于点O，证出平面PBD，即可证出结果； 取PB中点G，连接EG，证出，即可证出结果； 设，，设d为点A到平面PBC的距离，PA与平面PBC所成的角为，故，利用等体积法求出，得出，利用基本不等式，即可求出结果. 第23页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$