精品解析：2024年重庆市南岸区中考指标到校数学试卷

南岸区2024年九年级质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 若两个相似三角形面积的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 5. 用火柴棒拼成如图所示的图案，其中第①个图案是由12根火柴棒组成的，第②个图案是由18根火柴棒组成的，第③个图案是由24根火柴棒组成的，…若按此规律拼下去，则第10个图案需要火柴棒的根数是（ ） A. 54 B. 60 C. 66 D. 72 6. 如图，，平分，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，是半径为1的的切线，C为切点，连接，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形纸片中，，E是边的中点，连接，F是边上一点，连接，将矩形纸片沿着翻折，使得点C落在上（如图中的点G），则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小恩的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 在一个不透明的袋子里装有除标号外完全相同的三个小球，小球上分别标有数字，从袋子中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字和为0的概率为______． 13. 如图，正五边形中，M，N分别是的中点，连接相交于点O，那么的度数为______． 14. 如图，点A，B，C，D在同一直线上，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为______． 15. 已知m为方程的一个根，则代数式的值为______． 16. 如图，在正方形中，对角线与扇形的交于点D，分别与垂直．若，则图中阴影部分的面积为______． 17. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是______． 18. 若一个正整数M能分解成，其中p与q都是两位数，且p与q的个位数字相同，十位数字相加等于10，则称M为“方加数”，并把M分解成的过程，称为“方加分解”．例如：因为，13与93的个位数字相同，十位数字相加等于10，所以262是“方加数”，则最小的“方加数”是______；把一个四位“方加数”M进行方加分解，即中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位上的数字之和能被3整除，则满足条件的M的最大值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 为丰富学生课余生活，培养学生生活实践能力，某校在4月初举办了研学活动，全体七八年级学生参与了此次活动．活动结束后学校随机从七八年级各抽取了20名学生对研学活动进行满意度调查．（满意度得分用x表示，共分为四组：非常满意，满意，基本满意，不满意）七年级的满意度得分数据： 58，86，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，63，88，67，89，88，80，91，83． 八年级包含“满意”的所有得分数据：72，78，75，73，78，84，80，78，84． 年级 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占的百分比 七年级 81 84 a 八年级 81 b 78 （1） ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生对本次研学活动更加满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知七八年级共有学生1200人，请估计七八年级对本次研学活动“非常满意”的学生人数大约是多少？ 21. 学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段：再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： 已知：线段h，a，b． 求作：，使得，，边上的高．（只保留作图痕迹） 结论： 通过作图，发现的形状和大小______唯一的；（填“是”或“不是”）因此，有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”） 22. 如图，中，．D为的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动到点B停止．连接，设点P的运动时间为x秒，的面积为y． （1）请求出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（要写解答过程） （2）在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出的面积为6时x的值． 23. 为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校园农场，培养学生的劳动能力．农场去年春季种植蔬菜和水果共收获．由于同学们劳动技能提高，今年春季蔬菜产量比去年增加，水果产量比去年增加，蔬菜和水果的总产量比去年增加． （1）去年春季蔬菜和水果的产量各多少千克？ （2）今年4月，收获劳动成果时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘水果和收割蔬菜．每小时收割蔬菜的质量是采摘水果的质量的1.2倍，两组同学同时开始劳动，结果水果采摘小组比蔬菜收割小组提前20分钟完成任务．问水果采摘小组每小时采摘水果多少千克？ 24. 重庆东站位于重庆南岸茶园新区，是全国在建的最大城景融合的高铁枢纽站之一，目前正处于紧密锣鼓施工中．从设计图纸中，发现从广场A到B，受地形的影响，不能直接到达．施工设计图设计了两条线路，如图2所示：线路①A→C→B，线路②A→D→E→B．经勘测，C位于广场A的东北方向且到AB的距离为，D位于广场A南偏东方向，也在F的正南方，．E在D的正东方向处，也在B的南偏西方向．（参考数据：，结果保留整数） （1）求的长度； （2）为缩短施工时间，决定从线路①和线路②中选择一条较短线路先进行施工，应该选择哪一条线路先施工？ 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数，），与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线于点F，过点P作，垂足为D．求周长的最大值以及此时点P的坐标； （3）将抛物线（a，b是常数，），沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点Q的坐标． 26. 在中，，D是平面内一点，连接．将绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到，且满足，连接． （1）如图1，，D是边上一点，求的度数； （2）如图2，D是平面内一点，F是的中点，连接．猜想与存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； （3）在（2）的条件下，若，在直线上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南岸区2024年九年级质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项B找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，解题关键是明确图象上点的坐标满足函数解析式．由反比例函数得到，即反比例函数的图象上的点横纵坐标的积为，再逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， 反比例函数的图象上的点横纵坐标的积为， ， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：A． 4. 若两个相似三角形面积的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴由相似三角形面积的比为，得对应边的比是， 故选：B 5. 用火柴棒拼成如图所示的图案，其中第①个图案是由12根火柴棒组成的，第②个图案是由18根火柴棒组成的，第③个图案是由24根火柴棒组成的，…若按此规律拼下去，则第10个图案需要火柴棒的根数是（ ） A. 54 B. 60 C. 66 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是发现规律，并用代数式表示第n个图形需要的火柴数，然后代入数字求解即可．根据图形可知，第①，②，③个图形所用的火柴数分别是12、18、24，可推断出第n个图形的火柴数量是，即可求出第10个图形需要的火柴数． 【详解】解：根据图形可推断出，第①个图形所用的火柴数为：（根）， 第②个图形所用的火柴数为：（根）， 第③个图形所用的火柴数为：（根）， ， 第n个图形中火柴数为：（根）， 第10个图形中火柴数为：（根）， 故选：C． 6. 如图，，平分，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，求出度数，再根据角平分线的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 7. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键． 先估算的范围，再根据不等式的性质估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，是半径为1的的切线，C为切点，连接，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求正弦值，根据切线的性质及等腰三角形三线合一的性质得到，利用勾股定理求出，由正弦的定义求解即可． 【详解】解：连接， 是半径为1的的切线，C为切点， ，， ，， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，在矩形纸片中，，E是边的中点，连接，F是边上一点，连接，将矩形纸片沿着翻折，使得点C落在上（如图中的点G），则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，由勾股定理求出，根据折叠的性质得到，设，则，，由勾股定理，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：在矩形纸片中，， ，， E是边的中点， ， 矩形纸片沿着翻折，使得点C落在上（如图中的点G）， ， ， 设，则，， ， ，即， 整理得：， 解得：， ， 故选：D． 10. 用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的判定和不等式的性质，在等式的两边同时加上或者减去同一个数，不等号的方向不变． 根据题意得出6个命题，由不等式的性质和举反例判断真假即可． 【详解】解：根据题意，一共有6种命题组合， ①若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ②若，，则，∵，，∴，∴，即，故该命题是真命题； ③若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ④若，，则，∵，∴，即，∵，∴，∴，故该命题是真命题； ⑤若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ⑥若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题， 故真命题一共有2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小恩的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：1． 12. 在一个不透明的袋子里装有除标号外完全相同的三个小球，小球上分别标有数字，从袋子中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字和为0的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，画树状图，共有9个等可能的结果，则两次记下的数字和为0的结果有3个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，则两次记下的数字和为0的结果有3个， 两次记下的数字和为0的概率为， 故答案为：． 13. 如图，正五边形中，M，N分别是的中点，连接相交于点O，那么的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和问题，轴对称图形的性质，三角形内角和定理，根据正多边形的内角相等求出，由轴对称图形的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ， 正五边形中，M，N分别是的中点， 正五边形关于对称， ， ， 故答案为：． 14. 如图，点A，B，C，D在同一直线上，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形全等的判定与性质，根据题意得到是的中位线，得到，推出，证明，得到，由，求出，即可得出结果． 【详解】解：点C，F分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ，点F分别是的中点， ， ， 故答案为：4． 15. 已知m为方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 16. 如图，在正方形中，对角线与扇形的交于点D，分别与垂直．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，扇形的面积，先证明四边形是正方形，解直角三角形求出正方形的边长，用扇形的面积减去正方形的面积即可． 【详解】解：在正方形中，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键． 先解不等式组，根据有且仅有4个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是正整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， 解分式方程，得：， 而分式方程的解为正整数， ∴，解得：， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，是增根，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． ∴满足条件的a只有1和， ∴满足条件的整数a的值之积为， 故答案为：． 18. 若一个正整数M能分解成，其中p与q都是两位数，且p与q的个位数字相同，十位数字相加等于10，则称M为“方加数”，并把M分解成的过程，称为“方加分解”．例如：因为，13与93的个位数字相同，十位数字相加等于10，所以262是“方加数”，则最小的“方加数”是______；把一个四位“方加数”M进行方加分解，即中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位上的数字之和能被3整除，则满足条件的M的最大值为______． 【答案】 ①. 190 ②. 5510 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，二次函数的应用，根据被3整除数的规律确定n的取值是解题的关键．设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是，个位数是n，列出的代数式，当，时，最小，根据二次函数的性质求解即可；同理，中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，N的各位数字之和是，由N能被3整除，可知或或；再由N能被7整除，进一步确定m的值即可． 【详解】解：设的十位数是，个位数是，则的十位数是，个位数是， 则， 当时，， 此时，， 为正整数， 当时，最小，最小值为； 同理，中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N， 的各位数字之和是． 各个数位上的数字之和能被整除， 或或 当时，， ，能被整除， ； 当时，， ，能被整除， ， ； 当时，， ，能被整除， ， ； 综上所述：满足条件的有和和， ， M的最大值为， 故答案为：190；． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，分式的混合运算． （1）利用单项式乘以多项式法则及完全平方公式去掉括号，再计算加减即可； （2）先计算括号内分式减法，再将除法转化为乘法，将分子分母分解因式，利用分式乘法运算法则运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 为丰富学生课余生活，培养学生生活实践能力，某校在4月初举办了研学活动，全体七八年级学生参与了此次活动．活动结束后学校随机从七八年级各抽取了20名学生对研学活动进行满意度调查．（满意度得分用x表示，共分为四组：非常满意，满意，基本满意，不满意）七年级的满意度得分数据： 58，86，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，63，88，67，89，88，80，91，83． 八年级包含“满意”的所有得分数据：72，78，75，73，78，84，80，78，84． 年级 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占的百分比 七年级 81 84 a 八年级 81 b 78 （1） ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生对本次研学活动更加满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知七八年级共有学生1200人，请估计七八年级对本次研学活动“非常满意”的学生人数大约是多少？ 【答案】（1） （2）七年级学生对本次研学活动更加满意（答案不唯一），理由如下： 七、八年级的满意度得分数据中平均数相等，七年级中位数大于八年级中位数， 七年级学生对本次研学活动更加满意； （3）540 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求出值，再求出八年级包含“满意”的人数所占的百分比，即可求出m的值； （2） 从平均数及中位数的角度分析即可（答案不唯一）； （3）用七、八年级的学生总数乘以七八年级对本次研学活动“非常满意”的学生人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：七年级的满意度得分数据中：77出现的次数最多， 众数为77， ， （人），（人） （人） 八年级“非常满意”所占的百分比为：， ， 将八年级的满意度得分数据从小到大排列，第10个数据和第11个数据分别是80，84， 中位数为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七、八年级的满意度得分为“非常满意”的人数分别为10和8， （人） 答：七八年级对本次研学活动“非常满意”的学生人数为540人． 【点睛】本题主要考查了平均数，中位数，众数，统计表，扇形统计图等，熟练掌握中位数，众数的意义和求法，统计表和扇形统计图的互补性，用样本数据估计总体，是解答本题的关键． 21. 学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段：再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： 已知：线段h，a，b． 求作：，使得，，边上的高．（只保留作图痕迹） 结论： 通过作图，发现的形状和大小______唯一的；（填“是”或“不是”）因此，有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”） 【答案】 如图，△ABC即为所求， 是；一定 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，以及三角形的全等．通过题意画出相对应的线段即可得到正确图形． 【详解】解：在直线上取H、K两点， 分别以H、K为圆心，以为半径画圆交于O点，连接，则， 在上截取； 这能确定唯一一个点C， 在直线上找点A，作线段， 这能确定唯一一个点A， 再在直线上找点B，作线段 这能确定唯一一个点B， 发现的形状和大小是唯一的 有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形一定全等． 故答案为：是；一定． 22. 如图，中，．D为的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动到点B停止．连接，设点P的运动时间为x秒，的面积为y． （1）请求出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（要写解答过程） （2）在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出的面积为6时x的值． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值12； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象： （1）先利用勾股定理求出，则，，再分点P在和上两种情况，过点P作于E，解直角三角形求出，进而根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可； （3）根据（2）所求进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴； 当，即点P在上时，过点P作于E， 由题意得：， ∴， ∴； 当，即点P在上时，过点P作于E， ∴ ∴， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 由函数图象可知，当时，或． 23. 为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校园农场，培养学生的劳动能力．农场去年春季种植蔬菜和水果共收获．由于同学们劳动技能提高，今年春季蔬菜产量比去年增加，水果产量比去年增加，蔬菜和水果的总产量比去年增加． （1）去年春季蔬菜和水果的产量各多少千克？ （2）今年4月，收获劳动成果时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘水果和收割蔬菜．每小时收割蔬菜的质量是采摘水果的质量的1.2倍，两组同学同时开始劳动，结果水果采摘小组比蔬菜收割小组提前20分钟完成任务．问水果采摘小组每小时采摘水果多少千克？ 【答案】（1）去年春季蔬菜产量，去年春季水果产量 （2）水果采摘小组每小时采摘水果40千克 【解析】 【分析】（1）设去年春季蔬菜产量，则去年春季水果产量，根据“今年春季蔬菜产量比去年增加，水果产量比去年增加，蔬菜和水果的总产量比去年增加”列一元一次方程，即可求解； （2）设每小时采摘水果千克，则每小时收割蔬菜千克，根据“水果采摘小组比蔬菜收割小组提前20分钟完成任务”列分式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设去年春季蔬菜产量，则去年春季水果产量， 根据题意得：，解得：， 则：， 答：去年春季蔬菜产量，去年春季水果产量； 【小问2详解】 解：设每小时采摘水果千克，则每小时收割蔬菜千克， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解， 答：水果采摘小组每小时采摘水果40千克． 24. 重庆东站位于重庆南岸茶园新区，是全国在建的最大城景融合的高铁枢纽站之一，目前正处于紧密锣鼓施工中．从设计图纸中，发现从广场A到B，受地形的影响，不能直接到达．施工设计图设计了两条线路，如图2所示：线路①A→C→B，线路②A→D→E→B．经勘测，C位于广场A的东北方向且到AB的距离为，D位于广场A南偏东方向，也在F的正南方，．E在D的正东方向处，也在B的南偏西方向．（参考数据：，结果保留整数） （1）求的长度； （2）为缩短施工时间，决定从线路①和线路②中选择一条较短线路先进行施工，应该选择哪一条线路先施工？ 【答案】（1） （2）线路② 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，由角直角三角形性质即可求解； （2）过点C作于点K，过点E作于点H，解中，得到，解，得到，，即可求线路②路程；解可求，，最后在中，由勾股定理得，即可求线路①路程，再比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴在中，， 答：的长度为． 【小问2详解】 解：过点C作于点K，过点E作于点H， 由题意得：，，，，，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，，， ∴沿着A→D→E→B施工路程为：， 在中，， ∴， ∴，则， 在中，由勾股定理得， 而， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴A→C→B施工路程为：， ∵ ， ∴选择线路②． 答：该选择哪一条线路②先施工． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数，），与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线于点F，过点P作，垂足为D．求周长的最大值以及此时点P的坐标； （3）将抛物线（a，b是常数，），沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）时，的周长有最大值，最大值为， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，则，则，，，求出，，，由，得到， 求出，由，得出，进一步得到的周长，利用函数的性质求解即可； （3）由，得到，可设将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线；连接交x轴于点D，过点C作轴的平行线交抛物线于点F，求出直线的解析式，联立抛物线与直线分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入， 得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：抛物线的函数表达式为：， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为：， ， 当时，的周长有最大值，最大值为， 此时，； 【小问3详解】 解：， ， 将抛物线（a，b是常数，），沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 设抛物线向右平移n个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线， ， 解得：或（舍去）， 抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线， ； 连接交x轴于点D，过点C作轴的平行线交抛物线于点F， ，， ， ，即， ， ， ， ， 或， 当时，点D与点B重合， ， ， （与题意矛盾） （舍去）； 当时， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立抛物线与直线得：， 解得：或， 此时，点的坐标为或； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，等腰三角形的性质，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 在中，，D是平面内一点，连接．将绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到，且满足，连接． （1）如图1，，D是边上一点，求的度数； （2）如图2，D是平面内一点，F是的中点，连接．猜想与存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； （3）在（2）的条件下，若，在直线上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 【答案】（1） （2），证明如下： 延长到M，使得，连接， A是的中点， F是的中点， 是的中位线， ， ，， ，即， ， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，由，，得到，进而推出，结合，证明，得到，由即可得出结果； （2）延长到M，使得，连接，推出，证明，得到，即可得出结论； （3）证明为等边三角形，再证明，得到，由，当为菱形的边时，推出点M与点C重合，进而得到，即，根据，推出，点是的中点，根据，同理，当为菱形对角线时，根据，即可得出结果． 【小问1详解】 解：旋转的性质得到，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ， ， ， 为等边三角形， ， 当为菱形的边时， 四边形是锐角为的菱形， ，，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点M与点C重合， ， ， ， ， ， ， ； 当为菱形的对角线时，点M在点处， 四边形是锐角为的菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 综上，． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，求正切值，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $