第五章 投影与视图（压轴专练）（八大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第五章 投影与视图（压轴专练）（八大题型） 题型1：需要最多或最少小正方体问题 1．如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】根据主视图和左视图分析即可． 【解析】解：∵主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成， ∴几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体的个数为个， 故选：． 【点睛】本题考查由几何体判断三视图，考查了对三视图的熟练掌握程度，也体现了对空间想象能力的考查，解题的关键是掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 2．由个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则的最大值是（ ） A．16 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形即可求出答案． 【解析】∵由主视图知在最左边前后两层每层3个立方体，中间3个每层2个立方体和最右边前两排每层3个立方体， ∴n的最大值是：3×2+3×2+3×2=18， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 3．用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题： (1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 　　个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图； (2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 　　个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 　　种不同形状． (3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？ 【答案】(1)10，图见解析 (2)7，6 (3)9 【分析】（ 1）在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论； （2 ）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可； （3 ）根据题意判断即可． 【解析】（1）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：2+2+2+2+2＝10（个），左视图如图所示． 故答案为：10； （2）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要3个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有6种不同形状． 故答案为：7，6； （3）∵从俯视图可知下层有5块小正方体， ∴上层有3个小正方体， 当右侧放2个小正方体时，有3种形状， 当右侧放1块小正方体时，有2×3=6种形状， ∴用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有9种不同形状． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 4．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． （2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可； （2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2在俯视图中标出个数即可． 【解析】解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形，如图 从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形， 如图所示： （2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形， 从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形， 左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2． 根据题意，填图如下： 【点睛】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键． 题型2：与表面积有关的喷漆问题 5．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示. (1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图; (2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变， Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体; Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体; Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米? 【答案】(1)见解析；(2)Ⅰ.2个小正方体；Ⅱ.2个小正方体；Ⅲ.1900平方厘米. 【分析】（1）根据几何体可知主视图为3列，第一列是三个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是2个小正方形；左视图是三列，第一列是3个正方形，第二列是3个正方形，第三列是1个正方形； （2）I.可在正面第一列的最前面添加2个小正方体， 故答案为：2 II.可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个， 故答案为：2 III. 若拿走最左侧第2排两个，能喷漆的面有19个，若拿走最左侧第3排两个，能喷漆的面有21个，根据面积公式计算即可. 【解析】(1)画图 (2)Ⅰ. 可在正面第一列的最前面添加2个小正方体； Ⅱ. 可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个； 2个小正方体; Ⅲ.若拿走最左侧第2排两个，喷涂面积为平方厘米； 若拿走最左侧第3排两个，喷涂面积为平方厘米； 综上所述，需要喷漆的面积最少是1900平方厘米. 【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确观察几何体得到不同方位的视图是解题的关键，根据三视图对应添加或是减少时注意保证某些视图的正确性，需具有很好的空间想象能力. 6．在桌面上，有6个完全相同的小正方体对成的一个几何体，如图所示． （1）请画出这个几何体的三视图． （2）若将此几何A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有____个． （3）若另一个几何体B与几何体A的主视图和左视图相同，而小正方体个数则比几何体A多1个，则共有______种添法. 请在图2中画出几何体B的俯视图可能的两种不同情形． （4）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添___________个． 【答案】（1）详见解析；（2）2个；（3）4种；（4）4个. 【分析】见详解. 【解析】（1）如下图 （2）三个面是红色的有2个,为从上往下数第二行第一列的那两个. （3）4种添发；见下图,答案不唯一. （4）由图可知该几何体最多有10个正方体,几何体A只有6个小正方体, 10-6=4,所以最多可以添加4个正方体. 【点睛】本题考查了物体的三视图,中等难度,培养看图能力、空间感是解题关键. 题型3：规律猜想题 7．如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见，… (1)第6个图形中，看得见的小立方体有___个； (2)猜想并写出第n个图形中看不见的小立方体的个数. 【答案】（1）91；（2）(n－1)3个． 【解析】分析：由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 详解：(1)当n＝1时，看不见的小立方体的个数为(1－1)3＝0(个)； 当n＝2时，看不见的小立方体的个数为(2－1)3＝1(个)； 当n＝3时，看不见的小立方体的个数为(3－1)3＝8(个)； … 当n＝6时，看不见的小立方体的个数为(6－1)3＝125(个)， ∴看得见的小立方体有63－125＝216－125＝91(个)； (2)第n个图形中看不见的小立方体的个数为(n－1)3个． 点睛：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 8．如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，其俯视图中小正方形个数为；图（2）是由块这样的小正方体木块叠放而成，其俯视图中小正方形总数为；图（3）是由块这样的小正方体木块叠放而成，第个叠放的图形俯视图中小正方形总数应是 ；    【答案】 【分析】根据前三个图形，俯视图中小正方形的个数总结得到规律即可求解． 【解析】解：观察图形可得： 第个图形，俯视图中小正方形的个数为个， 第个图形，俯视图中小正方形的个数为个， 第个图形，俯视图中小正方形的个数为个， ······ 第个图形，俯视图中小正方形的个数为个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的变化规则，组合图形的三视图，解题的关键是根据前三个图形俯视图中小正方形的个数得到规律． 题型4：分类讨论题 9．综合与实践 问题情境：在棱长为1的正方体右侧拼搭若干个棱长小于或等于1的其它正方体，使拼成的立体图形为一个长方体．如图1，是两个棱长为1的正方体搭成的长方体，图2是从上面看这个长方体得到的平面图形，它由两个正方形组成． 操作探究： (1)如图3是在棱长为1的正方体右侧拼搭了4个棱长小于1的正方体形成的长方体，请画出从上面看这个长方体得到的平面图形； (2)已知一个长方体是按上述方式拼成的，组成它的正方体不超过10个，且若从上面看这个长方体得到的平面图形由4个正方形组成． 请从A，B两题中任选一题作答，我选择　 　题． A．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形） B．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形，并在所画图形的下方直接写出拼成该长方体所需的正方体的总个数） 【答案】(1)画图见解析；(2)见解析. 【分析】(1)根据题意画出图形即可； (2)有四种可能的图形， 第一种：4个棱长为1的正方体排成一行； 第二种：左右各1个棱长为1的正方体，中间4个棱长为的正方体（2行2列摆放）； 第三种：左边1个棱长为1的正方体，右边9个棱长为的正方体（3行3列摆放）； 第四种：左边1个棱长为1的正方体，右边1个棱长为和10个棱长为的正方体. 【解析】解：(1)由图3可得，从上面看这个长方体得到的平面图形为： (2) 若选A题：由题可得，从上面看这个长方体得到的平面图形为：    若选B题：由题可得，从上面看这个长方体得到的平面图形为：    【点睛】本题涉及的知识点：物体的三视图. 10．老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有 种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    【答案】16 【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方形；②从左往右依次是3个正方形、1个正方形、2个正方形；③从左往右依次是3个正方形、2个正方形、1个正方形；④从左往右依次是3个正方形、2个正方形、2个正方形；⑤从左往右依次是2个正方形、3个正方形、1个正方形；⑥从左往右依次是2个正方形、3个正方形、2个正方形；⑦从左往右依次是2个正方形、1个正方形、3个正方形；⑧从左往右依次是2个正方形、2个正方形、3个正方形；⑨从左往右依次是1个正方形、3个正方形、1个正方形；⑩从左往右依次是1个正方形、3个正方形、2个正方形；（11）从左往右依次是1个正方形、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个正方形、2个正方形；（15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次是1个正方形、3个正方形； 【解析】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排． 三排的左视图有：种； 两排的左视图有：种； 共种． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查三视图，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 题型5：投影有关的实际应用 11．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则： （1）小山包的半径为 ； （2）小山包的高为 ．（取） 【答案】 【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【解析】连接，过作于， 由题意可知， ∴ ∵圆锥底面周长为． ∴，解得， ∵, ∴ ∴小山包的高为． 故答案为：，． 12．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 【答案】(1)学校旗杆的高度为12m (2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2) 【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可； （2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可． 【解析】（1）解：由题意，可知：， ∴，即：， ∴； 答：学校旗杆的高度为． （2）解：①根据题意可知，， ∴，即． ∴， ∴灯罩底面半径的长为24 cm． ②∵太阳光为平行光， ∴， ∴， 由题意，可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴从正面看灯罩为矩形，面积为：， 从上面看灯罩为圆形，面积为：． 【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 题型6：投影有关的学科综合、古代问题等 13．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行光线，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【解析】解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 14．如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm． 【答案】 【分析】连接BE，BF，过点作于J．首先证明∠EBF=90°，利用勾股定理求出EB，再利用相似三角形的性质求出BF，利用勾股定理可得EF．设=16k cm，=11k cm，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出k即可． 【解析】解：连接BE，BF，过点作于J． 由题意，CE=CF=CB， ∴∠EBF=90°， ∵AB=24cm，AE=30cm， ∴EB=（cm）， ∵∠AEB+∠FEB=90°，∠F+∠FEB=90°， ∴∠AEB=∠F， ∵∠ABE=∠EBF=90°， ∴△ABE∽△EBF， ∴ ， ∴， ∴FB=， ∴EF=（cm）， ∵， ∴设=16k cm，=11k cm， ∵四边形是矩形， ∴=16k（cm）， ∴16k-11k=5k（cm）， ∵（cm）， ∴cm， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（cm）， 在Rt△中，则有， 解得，（不合题意的根已舍去） ∴（cm）． 故答案为： ． 【点睛】本题考查三视图的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 15．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．    （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ． 【答案】 【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可； （2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可． 【解析】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度， ∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为； 故答案为：； （2）过点作于点，如图所示：    则， ∴， 根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此， ∵，   ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投影得出． 题型7：投影有关的几何问题 16．如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 【答案】 【分析】据已知首先得出DH=HP=x米，NO=（20+40-x）米，PO=（60+x）米，再利用平行线分线段成比例定理和三角形面积求出即可． 【解析】连接MD并延长，连接NC并延长，使其两延长线相交于点P， 作PO⊥MN于O，作CG⊥MP于G， 根据题意可得出： ME=60，DE=HO=FC=60米，FN=20米，EF=40， ∴NC=， =40米， 设EO=x米， ∴DH=x米， ∵ME=DE=60米， ∴∠MDE=45∘， ∴DH=HP=x米，NO=(20+40−x)米，PO=(60+x)米， ∵FC∥PO， ∴， ∴x， 解得：x=60−20， ∴PO=(120−20)米，NO=(40−20)米， CD⋅HP=DP⋅CG， ×40×(120−20−60)= × [20+40−(40−20)]⋅CG， CG=20米， ∴行走的最短距离长为：NC+CG=(40+20)米． 故答案为40+20 【点睛】此题主要考查了盲区有关知识以及相似三角形的判定与性质，根据已得出，求出NO与PO的长是解题关键． 17．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据题意，即可解答； （2）通过证明得到，然后利用比例性质即可得到； （3）①根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到结论； （2）②先计算出，，，再利用（1）中结论得到，代入数据即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是． 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 而， ∴； ②∵， 而， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 题型8：材料题、空间问题 18．小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164 【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可； 探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可. 【解析】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体， ∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．． ∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体， ∴，即， 解得或（舍去）， 故答案为：6，20； 探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体， 图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 故答案为：18； 探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成， ∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段， ∴图1中一共包含个长方体， 故答案为：； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：∵拿走前后的三视图需要一样， ∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求， ∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体， ①当剩下正方体按如下俯视图摆放时， 表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124 ②当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142 ③同理，当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158 ④当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164 故答案为：124或142或158或164 【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意． 19．空间任意选定一点，以点为端点，作三条互相垂直的射线，，．这三条互相垂直的射线分别称作轴、轴、轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为（水平向前），（水平向右），（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为，，，且的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，如图1所示．若将轴方向表示的量称为几何体码放的排数，轴方向表示的量称为几何体码放的列数，二轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了排列层，用有序数组记作，如图3的几何体码放了排列层，用有序数组记作．这样我们就可用每一个有序数组表示一种几何体的码放方式． （1）有序数组所对应的码放的几何体是______________； A．B．C．D． （2）图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为（______，_______，_______），组成这个几何体的单位长方体的个数为____________个． （3）为了进一步探究有序数组的几何体的表面积公式，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格： 几何体有序数组 单位长方体的个数 表面上面积为S1的个数 表面上面积为S2的个数 表面上面积为S3的个数 表面积 根据以上规律，请直接写出有序数组的几何体表面积的计算公式；（用，，，，，表示） （4）当，，时，对由个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，我们可以对个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，请你根据自己探究的结果直接写出使几何体表面积最小的有序数组，这个有序数组为（______，_______， ______），此时求出的这个几何体表面积的大小为____________（缝隙不计） 【答案】(1)  B；(2) 2，3，2　， 12 ；(3)S(x，y，z)＝2(yzS1＋xzS2＋xyS3)；(4)2，2，3，92 【分析】（1）根据几何体码放的情况，即可得到答案； （2）根据几何体的三视图，可知：几何体有2排，3列，2层，进而即可得到答案； （3）根据有序数组的几何体，表面上面积为S1的个数为2yz个, 表面上面积为S2的个数为2xz个，表面上面积为S3的个数为2xy个，即可得到答案； （4）由题意得：xyz=12，＝4yz＋6xz＋8xy，要使的值最小，x，y，z应满足x≤y≤z（x，y，z为正整数），进而进行分类讨论，即可求解． 【解析】（1）∵有序数组所对应的码放的几何体是：3排列4层， ∴B选项符合题意， 故选B． （2）根据几何体的三视图，可知：几何体有2排，3列，2层， ∴这种码放方式的有序数组为(2，3，2)， ∵几何体有2层，每层有6个单位长方体， ∴组成这个几何体的单位长方体的个数为12个． 故答案是：2，3，2；12． （3）∵有序数组的几何体，表面上面积为S1的个数为2yz个, 表面上面积为S2的个数为2xz个，表面上面积为S3的个数为2xy个， ∴＝2(yzS1＋xzS2＋xyS3)． （4）由题意得：xyz=12，＝4yz＋6xz＋8xy， ∴要使的值最小，x，y，z应满足x≤y≤z（x，y，z为正整数）． ∴在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为(1，1，12)，(1，2，6)，(1，3，4)，(2，2，3)， ∵，，，， ∴由12个单位长方体码放的几何体中，表面积最小的有序数组为：(2，2，3)，最小表面积为：92． 故答案是：2，2，3；92． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图与表面积的综合，掌握几何体的三视图的定义和表面积公式，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 投影与视图（压轴专练）（八大题型） 题型1：需要最多或最少小正方体问题 1．如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．由个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则的最大值是（ ） A．16 B．18 C．19 D．20 3．用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题： (1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 　　个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图； (2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 　　个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 　　种不同形状． (3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？ 4．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． （2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数． 题型2：与表面积有关的喷漆问题 5．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示. (1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图; (2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变， Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体; Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体; Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米? 6．在桌面上，有6个完全相同的小正方体对成的一个几何体，如图所示． （1）请画出这个几何体的三视图． （2）若将此几何A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有____个． （3）若另一个几何体B与几何体A的主视图和左视图相同，而小正方体个数则比几何体A多1个，则共有______种添法. 请在图2中画出几何体B的俯视图可能的两种不同情形． （4）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添___________个． 题型3：规律猜想题 7．如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见，… (1)第6个图形中，看得见的小立方体有___个； (2)猜想并写出第n个图形中看不见的小立方体的个数. 8．如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，其俯视图中小正方形个数为；图（2）是由块这样的小正方体木块叠放而成，其俯视图中小正方形总数为；图（3）是由块这样的小正方体木块叠放而成，第个叠放的图形俯视图中小正方形总数应是 ；    题型4：分类讨论题 9．综合与实践 问题情境：在棱长为1的正方体右侧拼搭若干个棱长小于或等于1的其它正方体，使拼成的立体图形为一个长方体．如图1，是两个棱长为1的正方体搭成的长方体，图2是从上面看这个长方体得到的平面图形，它由两个正方形组成． 操作探究： (1)如图3是在棱长为1的正方体右侧拼搭了4个棱长小于1的正方体形成的长方体，请画出从上面看这个长方体得到的平面图形； (2)已知一个长方体是按上述方式拼成的，组成它的正方体不超过10个，且若从上面看这个长方体得到的平面图形由4个正方形组成． 请从A，B两题中任选一题作答，我选择　 　题． A．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形） B．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形，并在所画图形的下方直接写出拼成该长方体所需的正方体的总个数） 10．老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有 种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    题型5：投影有关的实际应用 11．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则： （1）小山包的半径为 ； （2）小山包的高为 ．（取） 12．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 题型6：投影有关的学科综合、古代问题等 13．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为（    ） A． B． C． D． 14．如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm． 15．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．    （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ． 题型7：投影有关的几何问题 16．如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 17．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 题型8：材料题、空间问题 18．小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 19．空间任意选定一点，以点为端点，作三条互相垂直的射线，，．这三条互相垂直的射线分别称作轴、轴、轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为（水平向前），（水平向右），（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为，，，且的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，如图1所示．若将轴方向表示的量称为几何体码放的排数，轴方向表示的量称为几何体码放的列数，二轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了排列层，用有序数组记作，如图3的几何体码放了排列层，用有序数组记作．这样我们就可用每一个有序数组表示一种几何体的码放方式． （1）有序数组所对应的码放的几何体是______________； A．B．C．D． （2）图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为（______，_______，_______），组成这个几何体的单位长方体的个数为____________个． （3）为了进一步探究有序数组的几何体的表面积公式，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格： 几何体有序数组 单位长方体的个数 表面上面积为S1的个数 表面上面积为S2的个数 表面上面积为S3的个数 表面积 根据以上规律，请直接写出有序数组的几何体表面积的计算公式；（用，，，，，表示） （4）当，，时，对由个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，我们可以对个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，请你根据自己探究的结果直接写出使几何体表面积最小的有序数组，这个有序数组为（______，_______， ______），此时求出的这个几何体表面积的大小为____________（缝隙不计） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$