第四章 一次函数（压轴专练）（十大题型）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第四章 一次函数（压轴专练）（十大题型） 题型1：存在性问题 1．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴、轴分别交于点、，连接、．    (1)求直线的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)在直线上是否存在点，使得的面积是四边形面积的倍若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2：最值问题 3．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． (1)求点A，B的坐标； (2)设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 4．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)的坐标为_________，线段的长为_________． (2)求直线的解析式和点的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 题型3：动点问题 5．如图（1），点为平面直角坐标系中两点，过点作交于，交轴于点．且． (1)求直线解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接． ①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②当面积最小时，求点的坐标和面积． 6．在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点．直线与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点． (1)若点坐标为． ⅰ)求的值； ⅱ)点在直线上，若，求点的坐标； (2)点是线段的中点，点为轴上一动点，是否存在点使为以为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，点． (1)经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，试求B点坐标，并直接写出的度数； (2)如图1，若，过的直线与直线所夹锐角为，求该直线与直线交点的横坐标； (3)如图2，在（1）的条件下，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．直接写出当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ． 题型4：对称问题 8．在平面直角坐标系中，点、分别是轴和轴上的两点，点，且满足． (1)如图1，求、两点坐标． (2)点是内一点，点的坐标为，点在第二象限，连接，，，，请用含的式子表示点的坐标． (3)在（2）的条件下，点在轴上与点关于轴对称，过做于点，延长交于点，延长交轴于点，连接，取的中点，连接并延长交轴于点，当时，求点的坐标． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线与直线相交于点C． (1)求点A，C的坐标． (2)现有一动点P沿折线以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为t秒． ①当为等腰三角形时，求出所有满足条件的t的值． ②如图2，已知x轴正半轴上有一动点Q，当点P在线段上运动时，连接，．作关于直线的对称图形，作关于直线的对称图形，射线交x轴于点M．当时，是否存在t的值，使恰好是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 题型5：旋转问题 10．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点． (1)求的长； (2)如图1，点在轴的负半轴上，点在上，连接交轴于点，点为的中点，设点的横坐标为的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转，交轴的负半轴于点，连接，若，求S的值． 11．如图，平面直角坐标系中，直线分别交、轴于、两点，点为线段的中点．    (1)直接写出点的坐标 ； (2)如图1，点是轴负半轴上的一动点，过点作交轴正半轴于点，连接，点、分别是、的中点，连接，求的度数； (3)如图2，点是轴上的一个动点，连接．把线段绕点顺时针旋转至线段，连接、．当的值最小时，求此时点的坐标． 12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），AB＝8，C点到x轴的距离CD为2，且∠ABC＝30°． （1）求点C坐标； （2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，请求出这个最小值； （3）如图3，将△ACB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B′G′H′，在平移过程中，设直线B′H′与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 题型6：取值范围问题 13．已知，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，轴，且、满足． (1)则 ， ， ； (2)如图1，在轴上是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接交于点，是否存在一点在y轴上，使得的面积大于的面积，若有，请求出n的取值范围；若没有，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点． (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 15．如图，在直角中，，若点在斜边上不与，重合满足，则称点是直角的“近点”． 在平面直角坐标系中，，一次函数图象与轴，轴分别交于点，．    (1)若，点是直角的“近点”，则的长度可能是______ ；填序号 ① ；② ；③ ；④ (2)若线段上的所有点不含和都是直角的“近点”，求的取值范围； (3)当时，若一次函数与的交点恰好是直角的“近点”，则直接写出的取值范围是______ ． 题型7：定值问题 16．如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点． (1)当时，求点A坐标及直线l的解析式； (2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长． (3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 题型8：新定义题 17．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 18．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． (1)已知点，B为y轴上的一个动点． ①若点A与点B的“非常距离”为2，直接写出点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)已知点是直线m上的一个动点． ①如图2，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3，正方形的边长为1，边在x轴上，点E是正方形边上的一个动点，记d为点C与点E的“非常距离”的最小值，当正方形沿x轴平移，在平移过程中点G的横坐标大于等于0，且小于等于9时，直接写出d的最大值． 题型9：两点间的距离与一次函数综合题 19．在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对值函数”：，请类比探究函数． (1)当时，______，当时，______用含的代数式表示； (2)过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，分别与函数的图像相交于、两点点在点的左侧，若，求的值； (3)若一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，直接写出的取值范围． 题型10：一次函数的实际应用 20．“一方有难、八方支援”，在某地发生自然灾害后，某公司响应“助力乡情献爱心”活动，捐出了九月份的全部利润．已知该公司九月份只售出了A、B、C三种型号的产品若干件，每种型号产品不少于4件，九月份支出包括这批产品进货款20万元和其他各项支出1.9万元（含人员工资和杂项开支）．这三种产品的售价和进价如下表，人员工资（万元）和杂项支出（万元）分别与销售总量（件）成一次函数关系（如图）． 型号 A B C 进价（万元/件） 0.5 0.8 0.7 售价（万元/件） 0.8 1.2 0.9 （1）写出与的函数关系式为______；九月份A、B、C三种型号产品的销售的总件数为_____件． （2）设公司九月份售出A种产品件，九月份总销售利润为（万元），求与的函数关系式并直接写出的取值范围； （3）请求出该公司这次爱心捐款金额的最大值． 21．一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：    (1)学校与劳动基地之间的距离为________千米； (2)________，B点的坐标是________． (3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数（压轴专练）（十大题型） 题型1：存在性问题 1．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分 (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【解析】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：    ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：    ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 2．如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴、轴分别交于点、，连接、．    (1)求直线的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)在直线上是否存在点，使得的面积是四边形面积的倍若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的解析式为； (2)四边形的面积为； (3)存在或． 【分析】（）利用待定系数法求出的解析式，根据平移得到点的坐标及的值相等，再利用待定系数法即可求出的解析式； （）由图可得，，即可求解； （）设，由勾股定理求出，过点作于点，由得到，根据两点间距离公式可得，再根据的面积是四边形面积的倍即可求得点的坐标． 【解析】（1）设的解析式 为， 把，代入，得 ， 解得， ∴ 由平移知，， 设的解析式是， ∵ 点向左平移个单位长度得到点， ∴， 解得， ∴的解析式为； （2）由 () 知，， ∴， 中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴四边形的面积为； （3）存在或， 理由：设， ∵，，， ∴，， ∴， 过点作于点，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积是四边形面积的倍， ∴， 即， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数，平移，一次函数与一元一次方程，一次函数与三角形，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式，直线平移的性质，点平移的坐标性质，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与三角形面积的关系． 题型2：最值问题 3．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． (1)求点A，B的坐标； (2)设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)28 【分析】（1）令，得以关于的一元一次方程，令，得到的值，解方程后即可得出点，的坐标； （2）确定的解析式为，表示出，再根据定值的条件即可得解； （3）分①当时，②当时两种进行讨论即可． 【解析】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B， ∴当时，得：， 解得：， 当时，得：， ∴，； （2）解：设的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴的解析式为， ∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，， ∴，， ∴， ∵为定值，即为定值， ∴， 解得：； （3）①当时， （定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即， ∴长方形周长的最大值：， ②当时， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∴， ∴长方形的周长为：， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，长方形周长的最大值为：， 综上所述，长方形周长的最大值为． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数的解析式，两点之间的距离，长方形的周长，一次函数的图像与性质等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 4．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)的坐标为_________，线段的长为_________． (2)求直线的解析式和点的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 【答案】(1)， (2)， (3)①相等，不变，见解析，②， 【分析】（1）分别将、时，代入解析式，即可求出点、坐标，即可求解， （2）根据，可得，通过，，求直线的解析式，与联立方程组，即可求解， （3）①由已知可证，即可求解，②由，得到为定值，当最小时最大， 由，得：当时，取最小值，即可求解， 本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，实现面积之间的等量代换． 【解析】（1）解：当时，直线， 当时，直线，解得：， ， ， 故答案为：，， （2）解：过点作交于点，交轴于点，且， ，， ， 设过点，，直线的解析式为：， 则：解得：， 直线的解析式为：， 、交于点， 解得：， ， 故答案为：， ， （3）解： ①， ，， ，， ， ， ， ， ，即线段与线段数量关系，保持不变， ②， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， ， ，，， ，， ， ∴为定值， ， ∴要使最大，求最小即可， ， ∴当取最小值时，最小， ，，， ， 当时，取最小值， ，即：，解得：， 面积最小为， ， 故答案为：①相等，不变，见解析；②，． 题型3：动点问题 5．如图（1），点为平面直角坐标系中两点，过点作交于，交轴于点．且． (1)求直线解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接． ①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②当面积最小时，求点的坐标和面积． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①线段与数量关系是保持不变，证明见解析；②点，面积是 【分析】（1）根据求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①先证明，根据全等三角形的判定和性质得出；②根据三角形的面积公式可得面积=，从而得到当最小时，的面积最小，则当时，最小，此时的面积最小，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴． 设解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴解析式为； （2）解：①线段与数量关系不变，，证明如下： ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②由①得：， ∵， ∴的面积， ∴当最小时，的面积最小， ∴当时，最小，此时的面积最小， ∵， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 联立得：，解得， ∴； ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系，以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系是解答本题的关键． 6．在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点．直线与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点． (1)若点坐标为． ⅰ)求的值； ⅱ)点在直线上，若，求点的坐标； (2)点是线段的中点，点为轴上一动点，是否存在点使为以为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)ⅰ)；ⅱ) 或； (2)或 【分析】（1）ⅰ)先求出，把代入即可求出m的值； ⅱ)得出，分别求出，，，，进而得出，则，再求出，再进行分类讨论：当点P在点E下方时：，当点P在点E上方时：，即可解答； （2）设点，则，进行分类讨论：①当时，过点F分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M，N，通过证明，得出，求出n的值，进而得出点E的坐标，即可解答；②当时，过点F作x轴的垂线，垂足为点P，过点C作的垂线，交y轴于点G，通过证明，得出，求出n的值，进而得出点E的坐标，即可解答． 【解析】（1）解：ⅰ)把点代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：； ⅱ)∵， ∴， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴，， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 当点P在点E下方时： ∴， ∴， 解得：， ∴， 当点P在点E上方时： ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或； （2）解：设点， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵点F为中点， ∴， ①当时， 过点F分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M，N， ∵为以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：． ②当时， 过点F作x轴的垂线，垂足为点P，过点C作的垂线，交y轴于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 则， 把代入得：， 解得：． 综上：或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，具有分类讨论的思想． 7．在平面直角坐标系中，点． (1)经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，试求B点坐标，并直接写出的度数； (2)如图1，若，过的直线与直线所夹锐角为，求该直线与直线交点的横坐标； (3)如图2，在（1）的条件下，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．直接写出当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意得到直线的解析式，令可求解B点坐标，取的中点P，连接，再利用直角三角形的特征得到，进而可求解的度数； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设这样两条直线与直线交点为E、F（其中点E在点F上方），作轴于G，轴于H，证明，令，从而得到点F的坐标，代入直线的解析式，即可得到结果． （3）根据C、D坐标得到点M坐标，由C从点A开始运动，到点B停止运动，得到点M的运动轨迹，再用两点之间距离的求法求解即可． 【解析】（1）解：设直线的解析式为， 将代入关系式，得， ∴直线的解析式为：， 令时，解得：， ∴， ， ， 取的中点，连接， ， ， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入关系式，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过的直线与直线所夹锐角为， 这样两条直线与直线交点为E、F（其中点E在点F上方），作轴于G，轴于H， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，可得， ∵， ∴， ∴， 将F点坐标代入直线解析式得可求得， 解得：，此时F点横坐标为， 综上所述，所求横坐标为或； （3）解：将代入直线解析式可得， ， 点M是的中点，， ， 点C在直线上运动，点C从点A开始运动，到点B停止运动， 当时，此时的中点坐标为， 当时，此时的中点坐标为， 设过这两个中点坐标的直线解析式为，代入这两点，得：， 解得： ∴过这两个中点坐标的直线解析式为， 将点代入直线解析式， 即，点M满足直线解析式， ∴点M的运动轨迹是一条从点运动到的线段， ， ∴M点的运动轨迹长度为； 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，知识点较多，难度较大，解题的关键是根据题意得到相应点的坐标，以及根据坐标与图形的性质得到相应线段的长度． 题型4：对称问题 8．在平面直角坐标系中，点、分别是轴和轴上的两点，点，且满足． (1)如图1，求、两点坐标． (2)点是内一点，点的坐标为，点在第二象限，连接，，，，请用含的式子表示点的坐标． (3)在（2）的条件下，点在轴上与点关于轴对称，过做于点，延长交于点，延长交轴于点，连接，取的中点，连接并延长交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）先把利用完全平方公式分解成，利用非负性求出，的值，代入即可； （）过作轴于点，过作轴于点，证明，根据全等三角形的性质即可解答； （）根据题意画出图形，设解析式为：且过，，求出解析式为，求得，又，则可得，从而表示出的坐标，再证，得到，根据列出关系式，计算即可． 【解析】（1）解：由， 则， ∴，， ∴，； （2）如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点在第二象限， ∴； （3）如图， 由（）可知，， ∴， ∵，延长交于点， ∴点的纵坐标为， 设解析式为：且过，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 由代入得，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在轴上与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了非负数之和为零，完全平方公式因式分解，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式和点的坐标与线段长之间的关系，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线与直线相交于点C． (1)求点A，C的坐标． (2)现有一动点P沿折线以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为t秒． ①当为等腰三角形时，求出所有满足条件的t的值． ②如图2，已知x轴正半轴上有一动点Q，当点P在线段上运动时，连接，．作关于直线的对称图形，作关于直线的对称图形，射线交x轴于点M．当时，是否存在t的值，使恰好是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①或6或或12；②或 【分析】（1）利用函数关系式，求出点A、C的坐标即可； （2）①根据两点间距离公式求出，，，分四种情况进行讨论：当点P运动到点C时，当点P在上运动，时，当点P在上运动，时，当点P在上运动，时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据折叠说明，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【解析】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴； 联立， 解得：， ∴． （2）解：把代入得：， ∴， ∴， ， ； ①当点P运动到点C时，如图所示： 此时，为等腰三角形， ∴； 当点P在上运动，时，如图所示： 此时为等腰三角形， ∴； 当点P在上运动，时，过点O作于点D，如图所示： 此时为等腰三角形， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴ ∴； 当点P在上运动，时，如图所示： 此时为等腰三角形， ； 综上分析可知，或6或或12． ②当时，如图所示： 设交y轴于点N，交y轴于点E， 根据折叠可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∵，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴轴， ∵，点P在y轴上， ∴此时点在y轴上， ∵关于直线的对称图形， ∴此时轴， ∴， ∴； 根据折叠可知：， ∵， ∴； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，折叠的性质，求两条直线的交点坐标，勾股定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，并注意进行分类讨论． 题型5：旋转问题 10．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点． (1)求的长； (2)如图1，点在轴的负半轴上，点在上，连接交轴于点，点为的中点，设点的横坐标为的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转，交轴的负半轴于点，连接，若，求S的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定及性质、勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）令，可求出点A的坐标，从而得出，再根据勾股定理即可得出答案； （2）过作于于，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，根据点C的坐标可得出，最后根据三角形面积公式即可得出答案； （3）根据题意可得出，根据角之间的关系可得出，设，可得出，在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形的性质得出，过点作轴于点，利用证明，最后根据全等三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【解析】（1）对于，当时，， 在中，， （2）过作于于 在和中 ， ， 设直线解析式为： ； （3）， ， ，且， ， 设， 则， ， ， 由题得：， ， 又 在上截取，连接， 在和中 ， 过点作轴于点， ， 在和中 ， ， 又， 在中，， 解得： 11．如图，平面直角坐标系中，直线分别交、轴于、两点，点为线段的中点．    (1)直接写出点的坐标 ； (2)如图1，点是轴负半轴上的一动点，过点作交轴正半轴于点，连接，点、分别是、的中点，连接，求的度数； (3)如图2，点是轴上的一个动点，连接．把线段绕点顺时针旋转至线段，连接、．当的值最小时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出、点的坐标，再由中点坐标公式求出点坐标即可； （2）过点作轴交于点，过点作交于点，过点作轴交于，可证明，设，，则，，，求出，可得，即可求； （3）过点作轴，过点作交于点，延长，使，过点作交于，作点关于过点垂直于轴的直线的对称点，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，可证明，设，，则，，，，，，求出直线'的解析式为，再将点坐标代入即可求的值，从而求出点坐标． 【解析】（1）解：在中，令，则， ，， 令，则， ，， 点为线段的中点，， ，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴交于点，过点作交于点，过点作轴交于，    ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ，， 是的中点， ， ， 是的中点， ，， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，过点作交于点，延长，使， 过点作交于，    ，， ， 点是的中点，， ， ，， 作点关于过点垂直于轴的直线的对称点，连接， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为，如图所示，    ， ， ， ， ，， 设，， ，， ，， ，， 是的中点， ，， 设直线的解析式为， ， 解得 ， ，在上， ， 解得， ，． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），AB＝8，C点到x轴的距离CD为2，且∠ABC＝30°． （1）求点C坐标； （2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，请求出这个最小值； （3）如图3，将△ACB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B′G′H′，在平移过程中，设直线B′H′与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）点C的坐标为（1，2）；（2）线段CE+EF+AF的最小值为；（3）存在，点M的坐标为（3，0）或（﹣5+8，0）或（﹣5﹣8，0）或（19，0）． 【分析】（1）在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，利用勾股定理可以求得BD＝，从而得到AD=2，OD＝1即可得到答案； （2）过点A作AG∥EF，且AG＝EF，连接EG，作点C关于y轴的对称点C′，连接C′E，可以得到四边形EFAG是平行四边形，线段CE+EF+AF＝CE+EG+EF＝+CE+EG＝+C′E+EG，用“将军饮马”模型求解即可； （3）分两大类：①点M在x轴负半轴，②点M在x轴正半轴，利用含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质求解即可. 【解析】解：（1）∵在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，∠CDB=90°，A（3，0） ∴BC=2CD=，，OA=3 ∴BD＝， ∵AB=8， ∴AD=2， ∴OD＝1， ∴点C的坐标为（1，）； （2）过点A作AG∥EF，且AG＝EF＝，连接EG，作点C关于y轴的对称点C′，连接C′E，得EC′＝EC， ∴四边形EFAG是平行四边形， ∴EG＝AF，点G的坐标为（3，）， ∴线段CE+EF+AF＝CE+EG+EF＝+CE+EG＝+C′E+EG， 当C′、E、G三点共线时，线段CE+AF+有最小值， ∵点C′的坐标为（﹣1，2），点G的坐标为（3，）， ∴ ∴线段CE+EF+AF的最小值＝； （3）存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形， 由平移性质可知∠BB′G′＝∠CBG＝60°， 又∵∠G′B′H′＝30°， ∴∠MB′B＝90°，G′B′＝GB＝CB＝， 分两种情形 ①点M在x轴负半轴， 如图4，∠MB′G′＞90°， ∴MB′＝G′B′＝4， 在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°， ∴MB＝2MB′＝8， ∴点M的坐标为（﹣5﹣8，0）； ②点M在x轴正半轴， 如图5，M与A重合，此时MB′＝MG′， ∴点M的坐标为（3，0）； 如图6，此时MB′＝G′B′＝4， 在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°， ∴MB＝2MB′＝8， ∴点M的坐标为（﹣5+8，0）， 如图7，， 在中，， ， ， ， 点的坐标为， 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 题型6：取值范围问题 13．已知，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，轴，且、满足． (1)则 ， ， ； (2)如图1，在轴上是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接交于点，是否存在一点在y轴上，使得的面积大于的面积，若有，请求出n的取值范围；若没有，请说明理由． 【答案】(1)，4，2 (2)存在， (3)有， 【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，求出a和b，再根据轴，可得c的值； （2）设与轴交于点，如图1中，先求出直线与轴的交点．设．，根据三角形面积公式构建方程，可得结论． （3）设，利用面积法求出a的值，分当点点A的上方时、当点点A的下方时，求出时，n的值，结合图象可得结论． 本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用未知数构建方程解决问题，对于初一学生来说题目有一定的难度． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴，，， 故答案为：，，； （2）在轴上存在点D，使的面积等于的面积，理由如下： 如图1，设与轴交于点， 设直线的解析式为，代入A、C得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， ∴P点坐标为； ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 当D在P的左边时，D的坐标为， 当D在P的右边时，D的坐标为， ∴D的坐标为或； （3）存在一点在y轴上，使得的面积大于的面积，理由如下： 如图2.1中，当点点A的上方时，连接，，， 设， ∵， ∴ 解得， 当时，则有 解得， 如图2.2，当点N在点A的下方时， 当时，则有 解得， 观察图象可知，满足条件的n的值为． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点． (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）把代入求出点A的坐标即可； （2）①先根据的面积是5，求出点C的纵坐标即可，再代入求出点C的横坐标即可； ②根据函数图象，写出不等式组的解集即可； ③根据平移特点，分两种情况，当沿x轴向右平移时，当沿x轴向左平移，求出m的值即可． 【解析】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：①∵，， ∴， ∵，点C在第二象限， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②由图象即可知：不等式组的解集为：； ③连接，如图所示： 把代入得：， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ， 当点在直线上时，点的横坐标为：， 当点在点D上时，点的横坐标为：， ∴当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时； 当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时； 综上分析可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象与不等式的解集，三角形面积问题，掌握以上知识点是解题的关键． 15．如图，在直角中，，若点在斜边上不与，重合满足，则称点是直角的“近点”． 在平面直角坐标系中，，一次函数图象与轴，轴分别交于点，．    (1)若，点是直角的“近点”，则的长度可能是______ ；填序号 ① ；② ；③ ；④ (2)若线段上的所有点不含和都是直角的“近点”，求的取值范围； (3)当时，若一次函数与的交点恰好是直角的“近点”，则直接写出的取值范围是______ ． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或 【分析】（1）取的中点，连接，作于，求出，的长，进而得出结果； （2）找出临界：当时，上所有的点都是直角的“近点”，进而得出结果； （3）找出临界：由得，进而得出结果． 【解析】（1）解：如图，    取的中点，连接，作于， 由得， ， ， ， ， ， ， 由得， ， 当时，点是直角的“近点”， 故答案为：； （2）如图，    当时，上所有的点都是直角的“近点”， 或； （3）如图，    由得， 由得，， 由得， ， 或． 【点睛】本题考查了新定义的理解能力，直角三角形的性质，一次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是找出临界，数形结合． 题型7：定值问题 16．如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点． (1)当时，求点A坐标及直线l的解析式； (2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长． (3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)的长度为定值，理由见详解 【分析】（1），令，则，所以，则，可求得，即可求得直线的解析式为； （2）由，得，即可证明，由，，，根据勾股定理求得，所以，则的长是6； （3）作轴于点，可证明，得，，再证明，得，则的长度为定值，它的值为5． 【解析】（1），当时，则， 解得， ， ，且点在轴正半轴上， ， 将代入，得， 解得， ，直线的解析式为． （2）如图2，于，于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 的长是 （3）的长度为定值， 如图3，作轴于点， 和都是等腰直角三角形，且点为直角顶点， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 的长度为定值，它的值为5． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 题型8：新定义题 17．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【解析】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． (1)已知点，B为y轴上的一个动点． ①若点A与点B的“非常距离”为2，直接写出点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)已知点是直线m上的一个动点． ①如图2，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3，正方形的边长为1，边在x轴上，点E是正方形边上的一个动点，记d为点C与点E的“非常距离”的最小值，当正方形沿x轴平移，在平移过程中点G的横坐标大于等于0，且小于等于9时，直接写出d的最大值． 【答案】(1)①或；② (2)①最小值为：， ；② 【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为．由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得y的值； ②设点B的坐标为．因为，所以点A与点B的“非常距离”最小值为； （2）①设点C的坐标为．根据材料“若，则点与点的“非常距离”为”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点C的坐标； ②当点F在点处，且点E在与点N重合时，求出的最小值符合题意；再结合当C，E的“非常距离”最小且，由此列出方程即可求解． 【解析】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为． ∵， ∴，解得或； ∴点B的坐标是或； 故答案是：或； ②设点B的坐标为 ∵ ∴点A与点B的“非常距离”的最小值为． 故答案是：． （2）解：①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时， 根据运算定义，若，则点点与点的“非常距离”为知：．即， 由题意可知，点C是直线上的一个动点，点D的坐标是， ∴设点C的坐标为， ∴，解得：， ∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：， 此时；    ②如图3，根据“非常距离”的定义可知，当点F与重合，且点E与点N重合时，C，E的“非常距离”最小，且，此时最大，    ∴，解得：， ∴． 此时，点C的坐标为， ∴最大值为： 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征、解一元一次方程等知识点，弄清题意、理解“非常距离”的定义是解题的关键． 题型9：两点间的距离与一次函数综合题 19．在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对值函数”：，请类比探究函数． (1)当时，______，当时，______用含的代数式表示； (2)过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，分别与函数的图像相交于、两点点在点的左侧，若，求的值； (3)若一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)1或 (3) 【分析】（1）根据绝对值的意义即可得到结论； （2）表示出、的坐标，由，得到，即可或； （3）联立两个函数解析式，求得、的坐标，利用两点间距离公式表示出，由，得到，两边平方得到，进而求得，由一次函数图像与函数的图像相交于、两点，把点代入求得的值，利用图像可得答案． 【解析】（1）当时，， ， ； 当时，， ； 故答案为：；； （2）过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线， ，， ， ， 解得或； （3）画出函数的图像如图， 一次函数图像与函数的图像相交于、两点， ，， 解得，， 设，， ， ，， ， ， ， 把点代入得，， 一次函数图像与函数的图像相交于、两点， ， ． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了绝对值的意义，一次函数图像上点的坐标特征，两点间的距离，表示出、、、的坐标是解题的关键． 题型10：一次函数的实际应用 20．“一方有难、八方支援”，在某地发生自然灾害后，某公司响应“助力乡情献爱心”活动，捐出了九月份的全部利润．已知该公司九月份只售出了A、B、C三种型号的产品若干件，每种型号产品不少于4件，九月份支出包括这批产品进货款20万元和其他各项支出1.9万元（含人员工资和杂项开支）．这三种产品的售价和进价如下表，人员工资（万元）和杂项支出（万元）分别与销售总量（件）成一次函数关系（如图）． 型号 A B C 进价（万元/件） 0.5 0.8 0.7 售价（万元/件） 0.8 1.2 0.9 （1）写出与的函数关系式为______；九月份A、B、C三种型号产品的销售的总件数为_____件． （2）设公司九月份售出A种产品件，九月份总销售利润为（万元），求与的函数关系式并直接写出的取值范围； （3）请求出该公司这次爱心捐款金额的最大值． 【答案】（1）；30件；（2），；（3）8.1万元 【分析】（1）利用待定系数法，，两点代入解析式，求一次函数解析式；由人员工资（万元）和杂项支出（万元）分别与销售总量（件成一次函数关系，直接将两者相加即可； （2）由设公司九月份售出A种产品件，售出B种产品件，售出C种产品件，再根据九月份该公司的总销售量是30件，结合统计表即可求出； （3）根据一次函数的增减性即可求出． 【解析】（1）设与的函数关系为， 如图所示：图象过，两点，代入解析式得： ， 解得：，， 与的函数关系为， ， 整理得：， 解得：（件； 九月份A、B、C三种型号产品的销售的总件数为30件； （2）设公司九月份售出A种产品件，售出B种产品件，售出C种产品件， ∵九月份该公司的总销售量是30件； ∴， 整理得：， ∴九月份总销售利润为： ， ， ， ∴与的函数关系式为：， ∵每种型号产品不少于4件， 的取值范围是：； （3）∵与的函数关系式为：， ∴随的增大而增大，当n取最大值时，最大， ∴当时，万元， 该公司这次爱心捐款金额的最大值是8.1万元. 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，解题的关键是掌握函数的增减性来研究． 21．一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：    (1)学校与劳动基地之间的距离为________千米； (2)________，B点的坐标是________． (3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围． 【答案】(1)15 (2)2.7； (3)和 【分析】（1）根据函数图象求出学生队伍的速度，即可求出距离； （2）根据通讯员比学生队伍早18分钟到达基地建立等式求解； （3）先求出通讯员的函数解析式，然后求学生的函数解析式，然后进行分类讨论，分两种情况进行讨论即可解答． 【解析】（1）解：学生队伍的速度是（千米小时）， 所以（千米）， 故答案为：15； （2）解：由图（小时）， 由题意得，通讯员返回时的速度是（千米小时）， 所以点即； 故答案为：2.7；； （3）解：当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系为， 把代入可得， ； 当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为， 把、两点代入得，， 解得，， ； 当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为， 把、两点代入得，， 解得，， ； 综上，与的关系式为． 设的关系式为， 由题意得，， ①当时，， 解得，即； ②当时，，解得， 此时通讯员与学生队伍相遇，相遇点坐标为，即相遇后他们的距离小于3千米， ∵，解得，即； 综上：和． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出解析式，然后分类讨论求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$