专题03 一元一次不等式（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题03一元一次不等式思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式的整数解 【解惑】不等式的正整数解有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【融会贯通】 1．若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 2．关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 3．不等式的负整数解的和等于 ． 类型二、一元一次不等式组的整数解 【解惑】解不等式组该不等式组的最大数解是（    ） A．3 B．4 C．2 D． 【融会贯通】 1．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 2．不等式组的正整数解是 ． 3．若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是 ． 类型三、一元一次不等式解的最值 【解惑】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【融会贯通】 1．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 3．对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是 ． 类型四、一元一次不等式组解集求参 【解惑】若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 3．已知不等式组的解集是，则 ． 类型五、不等式组与方程组结合 【解惑】若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 3．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 类型六、绝对值中的不等式 【解惑】（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【融会贯通】 1．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 2．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 3．数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 类型七、一元一次不等式的实际问题 【解惑】上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． (1)他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． (2)若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 【融会贯通】 1．甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？ 2．骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 3．淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变） (1)求A，B两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 类型八、一元一次不等式的几何问题 【解惑】如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【融会贯通】 1．如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 2．如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．    (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 3．如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    类型九、一元一次不等式组的应用 【解惑】在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【融会贯通】 1．市食品部门需运输一批生鲜到某区，现有和型两种冷链运输车，其中型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜．型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元． (1)市食品部门用两种冷链车共辆运输这批生鲜．若运输生鲜不少于千克，且总费用小于元，请罗列所有的运输方案． (2)在（1）问的条件下，由于型和型两种冷链运输车，运输时走不同高速路线，型需元过路费，型需元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？ 2．每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司要将一批新研发的物资运往A 市，计划租用A，B两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过725箱，若该公司计划租用A，B两种型号的货车共40辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 3．某商店计划采购甲乙两种不同型号的平板电脑20台，已知每台甲型号平板电脑的进价是1000元，售价是1500元；每台乙型号平板电脑的进价是1500元，售价是2100元． (1)若该商店购进这20台平板电脑恰好用去23000元，求购进甲乙两种型号的平板电脑各多少台？ (2)若要使该商店全部售出甲乙两种型号的平板电脑20台后，所获的利润不低于11200元，乙种型号的平板电脑数量不多于甲种型号的平板电脑数量的3倍，则采购甲乙两种不同型号的平板电脑有多少种方案？ 类型十、一元一次不等式(组)的新定义 【解惑】在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【融会贯通】 1．对a、b定义一种新运算：. 如： (1)计算： . (2)若，求m、n的值. (3)若，求x的取值范围. 2．定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 3．定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围之内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，易知在的范围内，所以方程是不等式组的“子方程”． (1)在方程①，②，③中，是不等式组的“子方程”的是______（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 【一览众山小】 1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元一次不等式组恰好有2个整数解，且关于y的方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（  ） A． B． C． D．6 4．已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 5．关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解，则m的取值范围是 7．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少?（列二元一次方程组解答） (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．该校共有哪几种购买方案? 8．若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；   是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； (3)关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 9．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：∵ ∴可化为 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为　　； (2)分式不等式的解集为　　； (3)解一元二次不等式． 10．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数，已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y 的方程组中，y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度，求 m 的取值范围以及等腰三角形周长C 的取值范围； (3)若 关 于 x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为______． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03一元一次不等式思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式的整数解 【解惑】不等式的正整数解有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的整数解．先求出不等式的解集，然后找出正整数解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴正整数解有1，2，3共3个． 故选：B． 【融会贯通】 1．若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解．解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 2．关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵不等式有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．不等式的负整数解的和等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项、合并，得：， 系数化为1，得：， ∴不等式的负整数解有，这2个， ∴负整数解的和等于， 故答案为：． 类型二、一元一次不等式组的整数解 【解惑】解不等式组该不等式组的最大数解是（    ） A．3 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出最大整数解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， ∴该不等式组的最大数解是3． 故选A． 【融会贯通】 1．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组的解集恰好有3个整数解， ， ， ， ， 解得：， 分式方程有非负整数解， ，为整数且， 符合条件的所有整数的值为：，7， 符合条件的所有整数的和为：6， 故选：A． 2．不等式组的正整数解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的正整数解，熟练掌握解不等式的运算法则是解题的关键．根据题意求出不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， 故不等式的解集为， 故不等式组的正整数解是． 故答案为：． 3．若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解法，求不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．求出关于x的方程的解，由方程有非负数解确定出a的取值范围，求出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的值相加即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， ∵数a使关于x的方程解：有非负数解， ， ， 不等式组整理得：， 解得， 由不等式组有解且恰好有个偶数解，得到偶数解为2，0， ， 解得， ， 则满足题意a的值有， 则符合条件的所有整数a的和是． 故答案为：． 类型三、一元一次不等式解的最值 【解惑】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 2．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 3．对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是 ． 【答案】0 【分析】根据新定义法则，逐步计算，转化为一元一次不等式，解之取其中的最大整数解即可得出． 【详解】∵， ∴ 解得： ∴最大整数解是0． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出是解题的关键． 类型四、一元一次不等式组解集求参 【解惑】若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵解集是， ∴， 解得， 故选D． 【融会贯通】 1．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：∵关于的不等式组的解集为， ∴． 故选：D 2．已知不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确不等式组解集的取法．先解一元一次不等式得到含参数的解集，然后根据不等式组的解集为，即可得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：， 由不等式①，得：， 由不等式②，得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 3．已知不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可，正确求出每一个不等式解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 类型五、不等式组与方程组结合 【解惑】若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了解二元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．首先应用加减法，求出，然后根据解一元一次不等式的方法，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，可得， 解得：， ∵， ， 解得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 2．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 3．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 类型六、绝对值中的不等式 【解惑】（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 【融会贯通】 1．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 2．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 类型七、一元一次不等式的实际问题 【解惑】上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． (1)他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． (2)若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 【答案】(1)他们购买团体票比购买普通票便宜，理由见解析 (2)25人 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找出题中的等量关系从而解决问题． （1）依题意算出不购买团体票的花费及购买团体票的花费，比较一下即可； （2）先由题意找出不等关系列出方程为，解出即可解决问题． 【详解】（1）解：他们购买团体票比购买普通票便宜． 理由如下： 不购买团体票需花费（元， 购买团体票需花费（元， 2880元元， 他们购买团体票比购买普通票便宜； （2）解：设去这些景点旅游的人数为人，则，解得， 结合题意可知最小值为25， 若买团体票的人数不足30人时，则至少有25人才可买30人的团体票比买普通票便宜． 【融会贯通】 1．甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？ 【答案】当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算 【详解】根据题意，得，解得． 答：当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算． 2．骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 【答案】商店老板每辆最多可以降价160元 【分析】设商店老板每辆可以降价元，根据利润售价进价结合利润不低于进价的，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设商店老板每辆可以降价元，依题意，得： ， 解得：， ∴商店老板每辆最多可以降价160元 答：商店老板每辆最多可以降价160元． 3．淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变） (1)求A，B两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A规格香肠的销售单价是30元/袋，B规格香肠的销售单价是45元/袋 (2)B规格香肠最多能采购30袋 (3)不能实现利润为1065元的目标，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设A规格香肠的销售单价是x元/袋，B规格香肠的销售单价是y元/袋，根据表格中的数据列出方程组，解方程组即可； （2）设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠袋，根据两种规格香肠总价格不超过1800元，列出不等式，解不等式即可； （3）根据利润为1065元，列出方程，求出m的值，然后再与（2）中m的范围进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设A规格香肠的销售单价是x元/袋，B规格香肠的销售单价是y元/袋， 根据题意得：， 解得：． 答：A规格香肠的销售单价是30元/袋，B规格香肠的销售单价是45元/袋； （2）解：设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠袋， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为30， 答：B规格香肠最多能采购30袋； （3）解：在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不能实现利润为1065元的目标，理由如下： 根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴不符合题意，舍去， ∴在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不实现利润为1065元的目标． 类型八、一元一次不等式的几何问题 【解惑】如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 【融会贯通】 1．如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 2．如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．    (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 【答案】(1) (2)2.5秒 (3)秒或12秒 【分析】（1）根据当时，点F在线段上运动可得答案； （2）根据当平分的面积时，点F是线段的中点可得答案； （3）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案； 【详解】（1）当时，， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵平分的面积， ∴， ∴， ∴； （3）分两种情况讨论： ①点F在点C左侧时，， 则， 解得； ②当点F在点C的右侧时，， 则， 解得， 综上所述，或12时，； 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，三角形中线的性质，数形结合是解答本题的关键． 3．如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 类型九、一元一次不等式组的应用 【解惑】在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料，然后根据要求至少含有4200单位的蛋白质列出不等式求解即可； （2）根据购买甲、乙两种原料的费用不超过72元结合（1）所求，建立关于x的不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设需要甲种原料，则需要乙种原料， 由题意得， ∴， 解得； （2）解：由题意得， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 【融会贯通】 1．市食品部门需运输一批生鲜到某区，现有和型两种冷链运输车，其中型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜．型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元． (1)市食品部门用两种冷链车共辆运输这批生鲜．若运输生鲜不少于千克，且总费用小于元，请罗列所有的运输方案． (2)在（1）问的条件下，由于型和型两种冷链运输车，运输时走不同高速路线，型需元过路费，型需元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？ 【答案】(1)运输方案有种： ①用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ②用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ③用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆： (2)安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少． 【分析】（1）型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜，运输生鲜不少于千克，型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元，总费用小于元，设用型冷链运输车辆，则型冷链运输车辆，由此即可求解； （2）由（1）可知，运输方案有种，型需元过路费，型需元过路费，过路费总和最少，设过路费总和为元，由此即可求解． 【详解】（1）解：设用型冷链运输车辆，则型冷链运输车辆， 根据题意得，解得， ∵是整数， ∴可取，，，           ∴运输方案有种： ①用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ②用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ③用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆． （2）解：设过路费总和为元，则，                 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取最小值，最小值为（元）， ∴安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式，理解题目中的数量关系，列不等式组是解题的关键． 2．每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司要将一批新研发的物资运往A 市，计划租用A，B两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过725箱，若该公司计划租用A，B两种型号的货车共40辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 【答案】(1)A型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资 (2)租车方案共有3种，具体如下：①型货车10辆，型货车30辆；②型货车11辆，型货车29辆；③型货车12辆，型货车28辆 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设A型号的货车每辆可装载x箱物资，B型号的货车每辆可装载y箱物资，由题意：若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用m辆A型号的货车，则租用辆B型号的货车，由题意：公司要运输的这批防疫物资不超过725箱．且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A型货车每辆可装载箱物资，型货车每辆可装载箱物资， 由题意，得：， 解得， 答：A型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资． （2）解：设租用A型货车辆，型货车辆．由题意，得 ， 解得， 因为是整数， 所以或， 所以租车方案共有3种，具体如下：①型货车10辆，型货车30辆；②型货车11辆，型货车29辆；③型货车12辆，型货车28辆． 3．某商店计划采购甲乙两种不同型号的平板电脑20台，已知每台甲型号平板电脑的进价是1000元，售价是1500元；每台乙型号平板电脑的进价是1500元，售价是2100元． (1)若该商店购进这20台平板电脑恰好用去23000元，求购进甲乙两种型号的平板电脑各多少台？ (2)若要使该商店全部售出甲乙两种型号的平板电脑20台后，所获的利润不低于11200元，乙种型号的平板电脑数量不多于甲种型号的平板电脑数量的3倍，则采购甲乙两种不同型号的平板电脑有多少种方案？ 【答案】(1)该商店购进14台甲种型号平板电脑，6台乙种型号平板电脑 (2)采购甲乙两种不同型号的平板电脑共有4种方案 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设该商店购进x台甲种型号平板电脑，y台乙种型号平板电脑，根据题意列出方程组即可求解； （2）设采购m台甲种型号平板电脑，则采购台乙种型号平板电脑，列出不等式组并求出整数解即可． 【详解】（1）解：设该商店购进x台甲种型号平板电脑，y台乙种型号平板电脑，根据题意得：， 解得：． 答：该商店购进14台甲种型号平板电脑，6台乙种型号平板电脑； （2）设采购m台甲种型号平板电脑，则采购台乙种型号平板电脑， 根据题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以为5，6，7，8． ∴共有4种采购方案． 答：采购甲乙两种不同型号的平板电脑共有4种方案． 类型十、一元一次不等式(组)的新定义 【解惑】在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) (3)最大整数解是 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：． （2）解：，， 则， 解得：． （3）解：，， 则， 解得：， 所以最大的整数解为． 【融会贯通】 1．对a、b定义一种新运算：. 如： (1)计算： . (2)若，求m、n的值. (3)若，求x的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义下的运算，掌握新定义下的运算，加减消元法，解一元一次不等式是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可得； （2）相据新定义进行计算得，再运用加减消元法进行计算即可得； （3）根据题意计算得，去括号，移项，系数法为1进行计算即可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 整理得， ，得， ， 将代入③，得， ， ∴方程组的解集为 （3）解： ． 2．定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 【答案】(1)构成“和谐不等式”，理由见解析 (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是： （1）根据“和谐不等式”的定义判断即可； （2）分，，三种情况讨论即可； （3）分，，三种情况讨论，依据新定义求出a，b 的关系，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：构成“和谐不等式” 理由：∵的解集为， ∴代数式，，是构成“和谐不等式” （2）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上，m的值为或2； （3）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得， ∴不等式无解； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，. 3．定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围之内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，易知在的范围内，所以方程是不等式组的“子方程”． (1)在方程①，②，③中，是不等式组的“子方程”的是______（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，不等式组的求解，解题的关键是理解“子方程”的定义，正确的求解方程与不等式组． （1）求得每个方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义进行判断即可； （2）求得方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集为， 方程①的解为，不在范围内，故方程①不是不等式组的“子方程”； 方程②的解为，在范围内，故方程①是不等式组的“子方程”； 方程③的解为，在范围内，故方程①是不等式组的“子方程”； 故答案为：②③； （2）解：由方程得：， 由不等式组解得：， 关于x的方程是不等式组的“子方程”， 在范围内， ， 解得：． 【一览众山小】 1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据一元一次不等式组的解集求解参数范围，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解． 【详解】解：∵， 由①得：， 由②得：， ∴关于的一元一次不等式组可得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：； 故选A． 2．关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先求出不等式组的解集为，再根据这个不等式组只有4个整数解，确定，再进行求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 又∵x的一元一次不等式组只有4个整数解， ∴整数解为：，，，； ∴， ∴， 故选：C． 3．若关于x的一元一次不等式组恰好有2个整数解，且关于y的方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（  ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】此题考查根据一元一次不等式的解集情况求参数，根据一元一次方程的解的情况求参数，分别解不等式及方程，求出k的取值范围，即可得到答案 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于x的一元一次不等式组恰好有2个整数解， ∴， ∴， 得； 解得， ∵关于y的方程的解为非正数， ∴， 得 ∴， 符合条件的所有整数k的和为 故选A 4．已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 解得，解得，由不等式组无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得，， 故答案为：． 5．关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，掌握整体求未知数的方法是解本题的关键．得，根据得出关于n的不等式求解． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，先利用加减消元法求出，再根据得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解， ∴， ∴， 故答案为： 7．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少?（列二元一次方程组解答） (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．该校共有哪几种购买方案? 【答案】(1)每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元 (2)共有3种购买方案：方案一：购进30套甲种“文房四宝”，则购进120套乙种“文房四宝”：方案二：购进31套甲种“文房四宝”，则购进119套乙种“文房四宝”；方案三：购进32套甲种“文房四宝”，则购进118套乙种“文房四宝” 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组解决实际问题，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组与一元一次不等式组的综合运用是解题的关键． （1）设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进m套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元，根据题意得：， 解得：， 答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； （2）解：设购进m套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意可得：， 解得：， ∵m是正整数， ∴m可取30，31，32， ∴共有3种购买方案： 方案一：购进30套甲种“文房四宝”，则购进120套乙种“文房四宝”： 方案二：购进31套甲种“文房四宝”，则购进119套乙种“文房四宝”； 方案三：购进32套甲种“文房四宝”，则购进118套乙种“文房四宝”． 8．若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；   是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； (3)关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【答案】(1)2；1 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了求不等式组和不等式的整数解： （1）根据题目中的定义进行分析即可； （2）根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围； （3）先解不等式得到，解方程得到，则，根据是阶不等式组，得到最大的正整数解为，再由得到，解方程求出m的值，进而求出p的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵不等式有2个正整数解， ∴是2阶不等式； 解不等式组得， ∴这个不等式组有1个正整数解， ∴不等式组是1阶不等式； 故答案为：2，1； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组是4阶不等式组， ∴关于的不等式组有4个正整数解， ∴有4个正整数解， ∴；即； （3）解：解不等式组得， 解方程得， ∴， ∵是正整数， ∴m为偶数， ∵是阶不等式组， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴整数解为， ∴． 9．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：∵ ∴可化为 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为　　； (2)分式不等式的解集为　　； (3)解一元二次不等式． 【答案】(1)或； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过分析获得解决此类问题的方法． （1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可； （3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可化为 ， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ① ，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得； ∴的解集为或； （2）解：∵， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ∴①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得； ∴的解集为或； （3）解：∵， ∴， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解； ∴的解集为； 10．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数，已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y 的方程组中，y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度，求 m 的取值范围以及等腰三角形周长C 的取值范围； (3)若 关 于 x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）先根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组用m表示出x、y，再根据等腰三角形的三边关系得到，代入即可求出m的取值范围，进而表示出三角形的周长C，即可解答； （3）可令再根据同解题意可知关于m、n的方程组的解为，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度， ∴ ∴， ∴ ∵该等腰三角形的周长， ∴． （3）解：可变形为， ∴令， ∴， ∵关于 x，y的方程组的解为， ∴关于m、n的方程组的解为， ∴， 解得． 故答案为： 6 学科网（北京）股份有限公司 $$