专题03 图形的相似（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题03图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、重心的有关性质 【解惑】如图，点是的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点为斜边上的中点，点为的重心，那么（    ） A． B． C． D． 2．如图，、是中的两条中线，且交于点G，点F是线段上一点，且满足，连接，若的面积是7，则的面积是 ． 3．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 类型二、相似三角形的判定——双角相等 【解惑】如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【融会贯通】 1．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 2．如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 3．如图将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点，连结、、． (1)求证：； (2)如图，擦去折痕、线段，连结动点在线段上（点M与点P、A不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点探究：当点M、在移动过程中，线段与线段有何数量关系？并说明理由． 类型三、相似三角形的判定——夹边比例一等角 【解惑】已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 【融会贯通】 1．如图，已知，点E、F在线段BD上，，，求证： 2．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 3．综合与实践 在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知在中，．请解答下面的问题． 观察猜想： （1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为______． 探究证明： （2）如图2，D，E分别是边的中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． ①求证：； ②若，，求的长． 类型四、相似三角形的判定——三边比例 【解惑】在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，求证：．    2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．求证：．    3．如图，在中，点D，E，F分别在上，．设， (1)证明： (2)求的长． 类型五、相似三角形的应用 【解惑】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【融会贯通】 1．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 2．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． 3．如图1，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小丽从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小丽身高． (1)求灯杆的长； (2)若小丽从D处继续沿直线前进到达G处（如图2），求此时小丽的影长的长． 类型六、三角形中位线的实际应用 【解惑】图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 【融会贯通】 1．如图，的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中画一个三边都为无理数的直角，并写出斜边长为______． (2)在图②中画线段，点E在边上，点F在边上，且． (3)在图③中的线段上找一点O，使． 2．【问题情境】 图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体． 如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取中点，中点，连接，沿将分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将绕点旋转，与四边形拼接成平行四边形．此时，的面积与的面积相等． 【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题： 如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计． 【拓展应用】如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形，保留作图痕迹．    (1)在网格①中的边上找点，在边上找点，连接，使． (2)在网格②中的边上找点，连接，使． (3)在网格③中的边上找点，连接，使的面积是面积的4倍． 类型七、相似中的最值 【解惑】如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 【融会贯通】 1．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 2．【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将线段绕点逆时针旋转得到，连接，直接写出线段的最大值为______．（提示：可在上方作，并使，连接） 3．已知点是边长为的正方形内部一个动点，始终保持．    【初步探究】（1）如图，延长交边于点．当点是的中点时，求的值； 【深入探究】（2）如图，连接并延长交边于点．当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】（3）如图，连接并延长交边于点．当取得最大值时，求的值． 类型八、相似三角形动点求t 【解惑】如图，在矩形中，，，为对角线．点为线段上一动点，点从点出发，向点匀速运动，速度为；点为上一动点，过点作的垂线，交于点，交于点，点从点向点运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动；设运动时间为． (1)当为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在中，，于点，，是的一半．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，过点作于点，在右侧以为直角顶点作直角，并使得．设点的运动时间为． (1)线段的长为______． (2)当点落在边上时，求的值． (3)连结，当是直角三角形时，求的值． (4)当点与的一个顶点所连直线平分的面积时，直接写出的值． 2．如图，在四边形，，，，，．动点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、、重合时，作点关于直线的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．    (1)线段的长为_____； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)作点关于直线的对称点，连接，当时，直接写出的值． 3．如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向点C运动，到达点C停止．过点D作于点H，作点A关于的对称点E，连结．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，设点D的运动的时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)点F落在内部时，求t的取值范围： (3)当F到直线的距离为1时，求t的值； (4)取的中点M，当点M落在的中位线所在直线上时，直接写出t的值． 类型九、相似三角形的新定义 【解惑】【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）； (2)，为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为． ①若，求的长； ②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 2．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 3．【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角． 【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数； 【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为． （1）用的代数式表示； （2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变． ①求证：； ②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，两个边长为的等边三角形和，点，，在同一直线上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图不写作法，保留作图痕迹：    (1)在图中作出的中点； (2)在图中作出的一个三等分点，连接，求的值． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在的边上找一点D，连结，使； (2)在图②中，在的边上找一点P，在边上找一点Q，连结，使，且相似比为； (3)在图③中，在的边上找一点E，连结，使． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，D在上，先将沿方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段，再在射线上画点F，使； (2)在图2中，先在上画点G，使，再将绕点A逆时针旋转至，在上画点Q，使． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，点D是线段与竖网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作的角平分线，再在上画点Q，使； (2)在图2中，连接，画的中点M； (3)在图3中，在上画点E，使得． 【一览众山小】 1．如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的中线，点是的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，已知正方形对角线的交点M的坐标为．规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2024次变换后；正方形的对角线交点M的坐标变为 ． 5．如图，四边形是边长为12的正方形，点C、D在边上，且，点P是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作正方形和正方形，E、F分别为、的中点，连接，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长等于 ． 6．如图，在矩形 中，，若 ，则的值为 ． 7．已知，，．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，过点作，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过作，垂足为，若，，求的长． 8．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 9．如图，在矩形中，，，点E在上，，P是上一点，将矩形沿折叠，点A落在点处．连接，与相交于点F，设． (1)______； (2)若点在上，求的长； (3)求点，D距离的最小值； (4)若点在的内部，直接写出x的取值范围． 10．等腰中，，，于，点在延长线上，点是线段上的一个动点，连接，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，当点在线段上时，若，，求证：； (3)如图3，当点在线段上时（包括端点），连接，将沿对称，得到，以为长作矩形，点在线段上，若，，连，，请直接写出的最小值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、重心的有关性质 【解惑】如图，点是的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查重心的性质及相似三角形．利用三角形重心的性质得出，通过作平行线得到．进而证出，由，得解． 【详解】解：连接并延长交于点，过点作交于点． 点是的重心， ，， ， ． ． 又， ． 又， ， ， ． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点为斜边上的中点，点为的重心，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交于，过点作交的延长线于，先求出，根据三角形重心的定义得，为的中线，则，证和全等得，则，再证为的中位线得，由此可得出，据此可得的长． 【详解】解：连接并延长交于，过点作交的延长线于，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 点为的重心， ，为的中线， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 即， ，， ∴ 为的中位线， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的重心的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，理解三角形的重心的定义，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键． 2．如图，、是中的两条中线，且交于点G，点F是线段上一点，且满足，连接，若的面积是7，则的面积是 ． 【答案】7 【分析】本题考查利用三角形中线求三角形的面积，三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是对于三角形面积的应用． 过点，分别作，，，为垂足，根据三角形的重心和相似三角形的判定与性质求出，再根据和的面积公式得出两者之间的关系，从而求出的面积，再根据，，得出，再根据和面积公式求出的面积． 【详解】解：过点，分别作，，，为垂足，如图所示： 是两条中线和的交点， ， 即， ，， ， ∴， ， ， 的面积是7， ， 是的中点， ， ， 又，即，， ， 设点到的距离为， 则， ． 故答案为：7． 3．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型二、相似三角形的判定——双角相等 【解惑】如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【详解】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 2．如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．如图将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点，连结、、． (1)求证：； (2)如图，擦去折痕、线段，连结动点在线段上（点M与点P、A不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点探究：当点M、在移动过程中，线段与线段有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，矩形的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的折叠与性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可知得到，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）作交于Q，根据等角对等边，得，再见由等腰三角形的性质得，然后证明，得，得出，最后由求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ． 由折叠可得：， ． ， ∽； （2）解：作，交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 类型三、相似三角形的判定——夹边比例一等角 【解惑】已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【融会贯通】 1．如图，已知，点E、F在线段BD上，，，求证： 【答案】见解析 【分析】由，可得，又由，，由此即可判定； 【详解】证明：∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握有两边对应成比例且夹角相等三角形相似是关键． 2．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 3．综合与实践 在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知在中，．请解答下面的问题． 观察猜想： （1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为______． 探究证明： （2）如图2，D，E分别是边的中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）如图1，根据旋转的性质得到，则根据等边三角形的判定方法可判断为等边三角形得到，再由即可求出答案； （2）①由于点分别是边的中点，所以，再根据旋转的性质得到，，所以，从而可判断；②先利用勾股定理计算出，则5，过点作于点，如图2，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：（1）如图1，∵绕点按顺时针方向旋转得到 ，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵点分别是边的中点， ， ∵绕点按顺时针方向旋转得到， ， ， ， ； ② ， 过点作于点，如图2， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键，也考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质； 类型四、相似三角形的判定——三边比例 【解惑】在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 【答案】见解析 【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18c m，B′C′＝24cm，A′ C′＝30cm， ∴，， ∴ ∴△ABC∽△A′B′C′． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，求证：．    【答案】证明见详解； 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明； 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理求得各边的长，再利用三边对应成比例的两个三角形是相似三角形即可证明． 【详解】证明：由图可知，，，，    ∴， ∴ ∴． 3．如图，在中，点D，E，F分别在上，．设， (1)证明： (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）利用可直接得到； （2）利用平行线分线段成比例可得：，从而代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）∵， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与平行线分线段成比例，掌握由平行判断相似的方法和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 类型五、相似三角形的应用 【解惑】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 【融会贯通】 1．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为14米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例．求出，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据旗杆的高度代入数据计算即可得解． 【详解】解：，， ， ， 即， 解得， ，，， ， 四边形是矩形， ， （米）． 答：旗杆的高度为14米． 2．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． 【答案】(1) (2)乙树的高度为米 (3)丙树的高度为米 【分析】（1）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； （2）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； （3）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； 本题考查了同一时刻物体的高度与影长比例相同，熟练运用同一时刻物体的高度与影长比例相同是解题的关键． 【详解】（1）解：∵设甲树的高度为米，根据题意得， ， 解得：， ∴甲树的高度为米， 故答案为米； （2）解：如图，设为乙树的高度， ∵米，米， ∴米 ， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴乙树的高度为米． （3）解：设影长所对应的树高为米，根据题意得， ∴， 解得：， ∴影长所对应的树高为米； 设影长所对应的树高为米，根据题意得， ∴， 解得：， ∴影长所对应的树高为米， 设影长所对应的树高为米，根据题意得， ∴， 解得：， ∴影长所对应的树高为米， ∴丙树的高度为（米）． 3．如图1，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小丽从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小丽身高． (1)求灯杆的长； (2)若小丽从D处继续沿直线前进到达G处（如图2），求此时小丽的影长的长． 【答案】(1)灯杆的高度为 (2)此时小丽的影长的长是 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出． （1）根据题意得出，由平行线得出，得出对应边成比例，即可得出结果． （2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可． 【详解】（1）解：如图1，根据题意得：，（米， ， ， 即， 解得：（米； 答：灯杆的高度为； （2）如图2，根据题意得：，（米， ， ， 即， 解得：（米； 答：此时小丽的影长的长是． 类型六、三角形中位线的实际应用 【解惑】图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是中位线性质、无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握无刻度直尺作图的方法． （1）根据中位线性质即可得到； （2）用无刻度直尺作垂线即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 依题得：点是中点， 取中点，连接， 此时是中位线， ， ． （2）解：如图，过中点作的垂线交于点，点即为所求． 此时， 即， 又中，， ． 【融会贯通】 1．如图，的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中画一个三边都为无理数的直角，并写出斜边长为______． (2)在图②中画线段，点E在边上，点F在边上，且． (3)在图③中的线段上找一点O，使． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、矩形的性质等知识． （1）根据勾股定理及其逆定理正确作图即可； （2）利用矩形的性质和三角形的中位线定理找到线段即可； （3）利用矩形的性质找到O即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∵， ∴， ∴是直角三角形，满足要求，斜边的长为； 故答案为：； （2）如图，线段即为所求， （3）如图所示，点O即为所求， 2．【问题情境】 图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体． 如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取中点，中点，连接，沿将分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将绕点旋转，与四边形拼接成平行四边形．此时，的面积与的面积相等． 【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题： 如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计． 【拓展应用】如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计． 【答案】见解析 【分析】本题考查图形设计，三角形中位线的性质，矩形的判定； 探究实践：参考问题情境中的操作，进行图形的分割和合并即可； 拓展应用：先过的垂线，即可得到两个直角三角形，参考探究实践中的思路进行图形的分割和合并． 【详解】探究实践： 图形的分割：取中点，中点，连接，延将分割成两个图形； 图形的拼合：如图②所示，将绕点旋转，与四边形拼接成矩形，此时，矩形的面积与的面积相等， 拓展应用：如图： 图形的分割：过作于，取中点，中点，连接交于，延，将分割成四个图形； 图形的拼合：如图③所示，将绕点旋转，将绕点旋转，与四边形拼接成矩形，此时矩形的面积与的面积相等． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形，保留作图痕迹．    (1)在网格①中的边上找点，在边上找点，连接，使． (2)在网格②中的边上找点，连接，使． (3)在网格③中的边上找点，连接，使的面积是面积的4倍． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据中位线性质可知，当是的中位线即可得到，取边上中点，边上中点，连接即可得到答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可知，根据，若要使，过点作交于，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式，和以边上的高为高，从而两个三角形高相等，若的面积是面积的4倍，则，取中点，再利用三角形中位线性质取中点，连接即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：   点、点即为所求； （2）解：如图所示：   点即为所求； （3）解：如图所示：   点即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是读懂题意，灵活运用所学的几何性质解决问题是关键． 类型七、相似中的最值 【解惑】如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，，通过证明是等腰直角三角形，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （2）通过证明，可得，通过证明，可得 ，即可求解； （3）①先表示出，和，在证明基础上，代入求得结果； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，求得，表示出，，根据列出，进一步得出结果． 【详解】（1）过点作于，交于；如图， ，四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，， ，，， ， ， 线段绕点逆时针旋转， ， ， 又， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2），， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）将绕点逆时针旋转至，如图2， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ①设，则，，，， 由（1）知：， ， ， ， ，舍去； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． 【融会贯通】 1．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 【答案】初探猜想：，理由见解析 类比探究： 知识迁移： 拓展应用： 【分析】初探猜想：证明，进而结论得证； 类比探究：如图2，过作于，过作于，则四边形均为矩形，，，证明，进而可求结果； 知识迁移：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于，则四边形是矩形，四边形是矩形，，同理类比探究，，则，由为等边三角形，，可得，，由勾股定理得，，然后计算求解即可； 拓展应用：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，先根据勾股定理求出的长，再证和全等得出，求的最小值转化为求的最小值，当A、G、N在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】初探猜想：解：，理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 类比探究：解：如图2，过作于，过作于， ∴， ∵矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 知识迁移：解：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ∵， 同理类比探究，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴； 拓展应用：解：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将线段绕点逆时针旋转得到，连接，直接写出线段的最大值为______．（提示：可在上方作，并使，连接） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）通过证明，可得，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，即可求解． 【详解】解：（1）和是等边三角形， ，，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 和是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ， ； （3）如图，过点作，且，连接，， ，， 是等腰直角三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当在的延长线上时，的值最大，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点，解答本题的关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大． 3．已知点是边长为的正方形内部一个动点，始终保持．    【初步探究】（1）如图，延长交边于点．当点是的中点时，求的值； 【深入探究】（2）如图，连接并延长交边于点．当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】（3）如图，连接并延长交边于点．当取得最大值时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）首先推导出，由推导出，结合点是的中点，得到． （2）延长交边于点，利用勾股定理求得，，继而推导出，与（1）同理可得：． （3）延长交边于点，明确点在以为直径的半圆上运动，取中点，连接，当与半圆相切时，有最大值，同时推导出也为半圆的切线，点在线段的垂直平分线上，同理：点在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线，推导出，结合，得到四边形是平行四边形，求得，，与（1）同理可得：． 【详解】（1）解：如图，在正方形中，，， ∴，    ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． （2）延长交边于点，如图，    ∵点是的中点时，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 与（1）同理可得： ． （3）延长交边于点，如图，    ∵， ∴点在以为直径的半圆上运动， 取中点，连接， ∴当与半圆相切时，有最大值． ∵且为半径， ∴也为半圆的切线， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理：点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 与（1）同理可得：． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及勾股定理． 类型八、相似三角形动点求t 【解惑】如图，在矩形中，，，为对角线．点为线段上一动点，点从点出发，向点匀速运动，速度为；点为上一动点，过点作的垂线，交于点，交于点，点从点向点运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动；设运动时间为． (1)当为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，图形面积的分割计算，函数表达式的确定，熟练运用平行线的性质判定三角形的相似，正确进行图形面积的分割是解题的关键． （1）当时，，则，即可求出答案； （2）证明，则，即，解得，证明，则，解得，利用四边形的面积为梯形的面积的面积即可求出答案； （3）假设存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，则，即，方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，， ∴，即， 解得， ∴当为时，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴四边形的面积为梯形的面积的面积 ， 即与之间的函数关系式为. （3）解：假设存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的， 则，即， 解得或 （舍去）， ∴存在，使四边形的面积是矩形面积的. 【融会贯通】 1．如图，在中，，于点，，是的一半．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，过点作于点，在右侧以为直角顶点作直角，并使得．设点的运动时间为． (1)线段的长为______． (2)当点落在边上时，求的值． (3)连结，当是直角三角形时，求的值． (4)当点与的一个顶点所连直线平分的面积时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)或或时，点与的一个顶点所连直线平分的面积． 【分析】（）根据勾股定理和线段和差即可求解； （）由题意得：，，，则，，，四边形是矩形，证明，根据性质得，故有，，最后用勾股定理即可求解； （）分当时，当时两种情况分析即可； （）分当为中点，即为中线，当为中点，当为中点，建立平面直角坐标系，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图， 由题意得：，，， ∴，，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即有， 则由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：； （3）如图，当时， 由（）得：， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 同理：，即， 解得：， 如图，当时， 同（）理得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：， 综上可知：或； （4）如图，当为中点，即为中线， ∴， 由（）得：， 解得：； 如图，当为中点，过作于点，建立平面直角坐标系， 则， ∴， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴， 由（）得：，，则，， ∴， 解得：； 如图，当为中点，过作于点，建立平面直角坐标系， 则，， ∴， 设解析式为，，解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴， 由（）得：，，则，， ∴， 解得：； 综上可知：或或时，点与的一个顶点所连直线平分的面积． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形中线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．如图，在四边形，，，，，．动点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、、重合时，作点关于直线的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．    (1)线段的长为_____； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)作点关于直线的对称点，连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1)10； (2)2或5.5； (3)或． 【分析】（1）过点D作于E，先证明四边形是矩形，得，，从而得出，然后由勾股定理求解； （2）分两种情况：①当点P在上时，只能是， 当时，得，解得：；②当点P在上时，只能是，过点D作于E，证明，则，求得，故，此时，解得：； （3）分两种情况： 1)当点P在上时，延长到F，证明出，则，解得：；2)当点P在上时，延长、相交于E，延长到F，由，解得：，，可得，则，此时，故，解得：． 【详解】（1）解：过点D作于E，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得， 故答案为：10； （2）解：分两种情况：①当点P在上时， ∵点P不与点A、B、C重合 ∴只能是，如图，    当时，由（1）知，， ∴， 解得：； ②当点P在上时，∵点P不与点A、B、C重合 ∴只能是，过点D作于E，如图，      由翻折得： 由（1）知：，，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 解得：； 综上，当为直角三角形时，t的值为2或． （3）解：①分两种情况：1)当点P在上时，延长到F，如图，    由（1）知：， ∵点B与点关于对称， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 解得：； 2)当点P在上时，延长、相交于E，延长到F，如图，    ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：，， ∵点B与点关于对称， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：． 综上，当时，t的值为或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定．注意分类讨论思想的应用，以免漏解． 3．如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向点C运动，到达点C停止．过点D作于点H，作点A关于的对称点E，连结．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，设点D的运动的时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)点F落在内部时，求t的取值范围： (3)当F到直线的距离为1时，求t的值； (4)取的中点M，当点M落在的中位线所在直线上时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，根据题意，画出图形，熟练利用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由对称的性质可知，进而得出结论； （2）找到临界点，当点正好落在上时，画出图形，过点作于点，再根据相似和全等得出的长，建立方程即可得出结论； （3）分两种情况：当点在内部时，当点在外部时，作出图形，求解即可； （4）分三种情况，画出图形，分别求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由点的运动可知， 点关于的对称点， ； （2）解：在中，，，， ， 当点正好落在上时，过点作于点， ， 由旋转可知，，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ，即， ， ，解得； 点落在内部时，的取值范围； （3）解：分两种情况： ①当点在内部时，如图2，过点F作于点Q，交于点， ，， ，即， 解得， ， 解得； 当点在外部时，如图3，过点F作于点Q，交于点， ，， ，即， 解得， ， 解得； 综上，当到直线的距离为1时，t的值为或； （4）解：点是的中点，过点作于点， 则，，， ； 分三种情况： ①取的中点O，取的中点，连接，过点E作于点K，交于点P，过点F作于点Q，如图， 由题意可知，点是的中点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴，， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ②取的中点L，取的中点，连接，过点E作于点K，过点F作于点Q，交于点N，如图， 则四边形是矩形， ∴， 由①可知，，， ∴，， ∴， 解得； ③取的中点L，的中点J，作直线，过点作于点N，过点M作于点Q，如图， 则四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴； 综上，当点落在的中位线所在直线上时t的值为或或． 类型九、相似三角形的新定义 【解惑】【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）； (2)，为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为． ①若，求的长； ②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，，得出，即可得出答案； （2）①由，得出直线解析式为，作轴于，于，证明，得出，，推出，代入函数解析式，计算出的值即可得解；②作轴，由题意得出，推出，设，则，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， ∴的“度比坐标”为； （2）解：①∵， ∴直线解析式为， 如图，作轴于，于， ， ∴ 设， ∵的“度比坐标”为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 代入直线得：， 解得：， ∴，， ∴； ②作轴， ， ∵的“度比坐标”与的“度比坐标”相等， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴由勾股定理可得：， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【融会贯通】 1．【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 【答案】（1）①是；②；（2）见解析；（3）或8 【分析】题目主要考查三角形内角和定理，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 （1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②根据“准直角三角形”的定义得到，根据三角形内角和定理得到，据此求解即可； （2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”； （3）根据题意分两种情况分析：和，结合图形，利用等角对等边及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”， 故答案为：是； ②∵是“准直角三角形”，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”． （3）∵，，， ∴， ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 综上可得：的长为或8． 2．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)①见解析；②或． 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线； 在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论： 第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：，为的中点，，，， ，， ，即，解得， ， ； 故答案为：1；； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线； 在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ,， ， ，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 3．【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角． 【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数； 【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为． （1）用的代数式表示； （2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变． ①求证：； ②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】定义理解：；拓展提升：（1）；（2）①见解析；②是定值， 【分析】定义理解：由倍对角四边形的定义，结合四边形内角和可以推出的度数； （1）方法一：根据倍对角四边形的定义，结合等腰三角形的性质，四边形内角和证明出是等边三角形，再证和是等边三角形，从而得到, ，从而表示出； 方法二：延长、交于点H，证、是等边三角形，再证也是等边三角形，从而变出从而表示出； （2）①由定义理解，可知，，结合为等边三角形，可以知道，，再结合是的外角，可以得到 ，得证； ②延长、交于点H，可证，结合，可以得到，从而证明出和相似，根据相似三角形对应边成比例，得到，从而算出定值． 【详解】定义理解： 解：， 又，， ， ， ． （1）方法一：， ， 又四边形BDEC是倍对角四边形， ， ， 是等边三角形， ， ，是倍角， ， ， 是等边三角形， ， ， 等边三角形， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 方法二：延长、交于点H，易证、是等边三角形， ，， 也是等边三角形， ， ． （2）①∵四边形BDEC是倍对角四边形，， ， 等边三角形， ， ， ，， 又， ， ． ②延长、交于点H，同①可证：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了倍对角四边形的定义，四边形的内角和公式，等边三角形的证明与性质，等角对等边，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，两个边长为的等边三角形和，点，，在同一直线上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图不写作法，保留作图痕迹：    (1)在图中作出的中点； (2)在图中作出的一个三等分点，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）连接交于点，点即为所求，理由：证明≌，即可求解； （2）延长，交于点，连接，，与交于点，接，并延长交于点，连接交于点，点即为所求，理由：证明是等边三角形，可得，再证得四边形是菱形，可得，点是的中点，从而得到，再由点为的中点，可得，从而得到点为的中点，继而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，点即为所求；    理由：和为两个全等的等边三角形， ，， ， ，， ， 即点为的中点； （2）解：如图，延长，交于点，连接，，与交于点，连接，并延长交于点，连接交于点，点即为所求，    理由：和为两个全等的等边三角形， ，，， ，，， 四边形是平行四边形， 是等边三角形． ， ， 四边形是菱形， ，点是的中点， ， 类比（1）得：点为的中点， ， 即点为的中点， ， ：：：， ：：， 点为的三等分点． 连接，过点作， ，， ，， ， ， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理，菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、熟练掌握等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在的边上找一点D，连结，使； (2)在图②中，在的边上找一点P，在边上找一点Q，连结，使，且相似比为； (3)在图③中，在的边上找一点E，连结，使． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）在上取一点D，使得即可； （2）取的中点P，取格点T，连接交于点Q，线段即为所求； （3）取格点P，Q，连接交于点E，连接即可， 本题考查作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图2中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点E即为所求． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，D在上，先将沿方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段，再在射线上画点F，使； (2)在图2中，先在上画点G，使，再将绕点A逆时针旋转至，在上画点Q，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用平移变换的性质作出点的对应点即可，在上取点，使得，延长交于点，线段，点即为所求； （2）作线段的垂直平分线，交于点，连接，取，的中点，，连接交于点，连接，延长交于点，连接即可（可以证明得出结论）． 本题考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，作图平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图所示：线段，点即为所求 （2）解：如图所示：点，线段，点即为所求 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，点D是线段与竖网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作的角平分线，再在上画点Q，使； (2)在图2中，连接，画的中点M； (3)在图3中，在上画点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图，取格点，，连接，，连接交于点，取格点，，连接交于，连接并延长交于点，即为所求； （2）如图，取格点，，连接顺次四边形，结合图形可知四边形为平行四边形，连接交于，则为的中点，取格点，可知为的中点，连接，交于，即为所求； （3）由图可知，，如图，取格点，连接，，可得是等腰直角三角形，取线段与横网格线的交点，连接交于，即为所求． 【详解】（1）解：如图，取格点，，连接，，连接交于点， 由勾股定理易知，，，， 则， ∴，即平分， 由网格可知，，取格点，，连接交于，连接并延长交于点， 则， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 则如图所示，即为所求； （2）如图，取格点，，连接顺次四边形，结合图形可知四边形为平行四边形，连接交于，则为的中点， 取格点，可知为的中点，连接，交于， 则为的中位线， ∴，则， ∴点为的中点， 则如图所示，即为所求； （3）由图可知，， 如图，取格点，连接，，可知，， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 取线段与横网格线的交点，连接交于，由网格可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， 则如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查格点作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【一览众山小】 1．如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】解： 是的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， 相似比为， ， ， ， 故选：B． 2．如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 3．如图，是的中线，点是的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 取的中点，连接，可以证明，进而根据全等的性质和三角形中位线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ，分别为、的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故选：B． 4．如图，已知正方形对角线的交点M的坐标为．规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2024次变换后；正方形的对角线交点M的坐标变为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质，得到规律：第次变换后的对角线交点的对应点的坐标为：当为奇数时为，当为偶数时为是解此题的关键． 根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点的对应点的坐标，即可得规律：第次变换后的点的对应点的为：当为奇数时为，当为偶数时为，继而求得把正方形连续经过2024次这样的变换得到正方形的对角线交点的坐标． 【详解】解：对角线交点的坐标为， 根据题意得：第1次变换后的点的对应点的坐标为，即， 第2次变换后的点的对应点的坐标为：，即， 第3次变换后的点的对应点的坐标为，即， … 第次变换后的点的对应点的为：当为奇数时为，当为偶数时为， 连续经过2024次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为，即． 故答案为：． 5．如图，四边形是边长为12的正方形，点C、D在边上，且，点P是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作正方形和正方形，E、F分别为、的中点，连接，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长等于 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理，设的中点为S，连接、、、、和，由三角形相似，结合E为的中点，S为的中点可得A、E、S共线，F为的中点，S为 的中点得B、F、S共线，再由三角形相似得到：，，结合G为的中点，可得G为的中点，即G的移动路线为的中位线，由三角形的中位线长是底的一半得答案． 【详解】解：设的中点为S，连接、、、、和，如图， 则， ∵E为的中点，S为的中点， ∴， ∴A、E、S共线 ∵F为的中点，S为 的中点， ∴B、F、S共线， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， 同理，得， ∴， 则四边形为平行四边形，则G为的中点 ∴点G移动路径为的中位线， ∵， ∴点G移动路径长为． 6．如图，在矩形 中，，若 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点G、F作、垂直，利用相似三角形对应边成比例即可得到与的比值． 【详解】解： 如图：过点G、F作、垂直， ∵在矩形中，， ∴，, ∵，, ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 7．已知，，．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，过点作，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过作，垂足为，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了矩形的判断与性质，全等三角形综合，三角形内角和定理，垂直定理，熟练作出辅助线是解题的关键． （1）先证，得，再根据三角形内角和定理即可解答． （2）先证，得，再根据垂直定理解答即可． （3）过作于，于，由（2）得，再证明，再判定四边形为矩形，得到，，设，则，再根据三角形的面积即可解答． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ； （3）解：过作于，于，    则 ， ， 由（2）知，又， ，， 又， ， 四边形为矩形 ， 设，则 8．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 9．如图，在矩形中，，，点E在上，，P是上一点，将矩形沿折叠，点A落在点处．连接，与相交于点F，设． (1)______； (2)若点在上，求的长； (3)求点，D距离的最小值； (4)若点在的内部，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)12； (2)； (3)8； (4)． 【分析】（1）先根据矩形性质以及勾股定理列式计算，即可作答． （2）先作图，再由折叠性质得，因为矩形性质，所以，然后证明，再代入数值进行计算，即可作答． （3）点在以E为圆心，为半径的圆E上，所以连接交圆E于点，此时，D距离有最小值，由矩形性质得，．运用勾股定理，则 （4）然后由折叠性质得：是的垂直平分线，证明，因为折叠，所以，，再结合，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ 在矩形中，， ∴ 故答案为：12； （2）解：如图，若点在上，根据折叠性质可知，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴． ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，点在以E为圆心，为半径的圆E上，所以连接交圆E于点，此时，D距离有最小值． ∵四边形是矩形，， ∴，． ∵， ∴． ∴，即最小值为8． （4）解： 由（2）可知，当点落在上时，． 当落在BC上时，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠性质得：是的垂直平分线， ∴． ∴． ∴， ∴， 即． ∵折叠 ∴，， 在中， ∴， ∴， 解得． ∴若点在的内部时，x的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，要求学生熟练运用数形结合思想，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．等腰中，，，于，点在延长线上，点是线段上的一个动点，连接，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，当点在线段上时，若，，求证：； (3)如图3，当点在线段上时（包括端点），连接，将沿对称，得到，以为长作矩形，点在线段上，若，，连，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形综合题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练构造辅助线进行计算或构造全等、熟练掌握轨迹圆和阿氏圆是解题的关键． （1）过点作于点，利用等腰直角三角形的性质计算出和，再在中利用勾股定理求解； （2）过点作交于点，过点作于点，同（1）方法可得，证，得，再证即可得； （3）先得点的轨迹为以点为圆心，长为半径的圆，利用阿氏圆模型构造和，求出和，则，当最小时，最小，即当 、、共线时，最小，计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，，于， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作交于点，过点作于点， 同（1）方法可得， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵，，， ∴， 由， 得点的轨迹为以点为圆心，长为半径的圆，如图， 在上取一点，使，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在延长线上取一点，使，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 当、、共线时，最小，如图， 此时，过点作于点， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$