精品解析：吉林省长春市第四十五中学2022-2023学年九年级下学期开考试数学试题

2022—2023学年度（春季）质量监测九年级（数学） 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. 11 C. D. 121 2. 下列二次根式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的判别式的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 4. 若将抛物线向上平移个单位后所得的抛物线记为，则抛物线对应的与之间的函数关系式为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，有点，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小后得到线段 ，点A的对应点为点C．若与的相似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，O为跷跷板的中点．支柱与地面垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板与地面的夹角为，经测得，则的长为（ ） A. B. C. m D. m 7. 如图，在中，，是斜边的中线，过点D作，垂足为点E．若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 方程的两个根是 C. D. 若，则x的取值范围是 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：=__________． 10. 某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是_____．（精确到0.01） 投篮次数（单位：次） 10 50 100 150 200 500 1000 2000 命中次数（单位：次） 9 40 70 108 143 361 721 1440 命 中 率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72 11. 如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，，，，则______． 12. 如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．经测量，得，，．设，，则y与x之间的函数关系式为_____． 13. 如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴正半轴于点A，点B是y轴负半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，连结OC、AD．若点C的横坐标为﹣2，则四边形OCDA的面积为 _____． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率． 17. 2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．某特许零售店发现该“冰墩墩”的销售非常火爆．据统计，该店2021年10月的销量为1万件，2021年12月的销量为1.21万件．若该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的另一交点为点A，与y轴垂直的直线l交该抛物线于点B和点C，设点B的纵坐标为n． （1）求线段的长． （2）当函数值y随x增大而增大时，直接写出自变量x的取值范围． （3）当线段的长小于时，直接写出n的取值范围． 19. 图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画的高 ． （2）在图②中画的中位线，使点分别在边上． （3）在图③中画，使，与的相似比为，且于点M． 20. 如图，一个水池的两端分别为A，B两点，在岸上选一点C，使点C能直接到达A，B两点，连接AC，BC．若BC＝221m，∠ABC＝58°，∠ACB＝45°，求A，B两点之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．） 21. 如图①，有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合．如图②，水柱距水池中心处到达最大高度为6，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）选择图②中一条抛物线求其对应的函数关系式． （2）求点M的纵坐标． （3）如图③，在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头，且喷射水柱竖直向上，高度均为m，相邻两个直线型喷头的间距均为 m，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布，且每相邻的两个直线型喷头的间距为 m．直接写出离中心O最远的两个直线型喷头的水平距离． 22. 【操作一】如图①，将矩形沿过点D的直线折叠，使点A的对称点F落在边上，折痕为DE．则的大小为 度． 【操作二】如图①，在操作一的基础上，将矩形沿过点C的直线折叠，点B的对称点H落在边上，折痕为．求证：． 【应用】如图②，延长图①中的交边于点M．若，则EH的长为 ，点M到边的距离为 ． 【拓展】如图③，点N为【操作二】图①中的边DE上的点，连结、．若，，则的最小值为 ． 23. 如图，在中，，D是边的中点．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点B运动，过点P作于点Q，当点P不与点A、D、B重合时，以为邻边作，设点P的运动时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示线段的长． （2）当点E到点A、D的距离相等时，求的长． （3）当的某条对角线与边垂直时，求t的值． （4）作点P关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在抛物线上，点为该抛物线的顶点．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）连结，当轴时，顺次连结点，求四边形的面积． （3）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分图象的最低点和最高点到轴的距离分别为，若，求的取值范围． （4）当点在第四象限时，作点关于点的对称点，以为对角线构造矩形，该矩形的边均与坐标轴垂直，且点在该矩形的内部．设抛物线在该矩形内部及边界的图象记为，图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，最低点在该矩形边所在的直线记为，若点到直线l的距离等于，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年度（春季）质量监测九年级（数学） 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. 11 C. D. 121 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2. 下列二次根式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将各数化为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义即可解答． 【详解】，故与是同类二次根式，故A符合题意； ，故与不是同类二次根式，故B不符合题意； 与不是同类二次根式，故C不符合题意； ，故与不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的判断．掌握几个二次根式，当它们化到最简形式后，根号里的部分相同，则它们是同类二次根式． 3. 一元二次方程根的判别式的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的各项系数，结合根的判别式，可求出结论． 【详解】解：，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键． 4. 若将抛物线向上平移个单位后所得的抛物线记为，则抛物线对应的与之间的函数关系式为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位后所得的抛物线为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，有点，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小后得到线段 ，点A的对应点为点C．若与的相似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似变换的性质可知，，相似比是，根据已知数据可以求出点的坐标． 【详解】解：由题意得，，相似比是， ， 又，， ，， 点的坐标为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 6. 如图，O为跷跷板的中点．支柱与地面垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板与地面的夹角为，经测得，则的长为（ ） A. B. C. m D. m 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：为跷跷板的中点，， ， 在中，， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键． 7. 如图，在中，，是斜边的中线，过点D作，垂足为点E．若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得，再由，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：在中，∵是斜边的中线，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 8. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 方程的两个根是 C. D. 若，则x的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴的交点进行判断即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． ∵该抛物线与y轴交点位于x轴上方， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵该抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴该抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两个根是，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵求时，x的取值范围，即求抛物线位于x轴上方时，x的取值范围， 又∵结合图象可知当时，抛物线位于x轴上方， ∴若，则x的取值范围是，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的对称轴公式，抛物线与坐标轴的交点，图象法解一元二次方程等知识．利用数形结合的思想准确分析判断是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：=__________． 【答案】2 【解析】 【详解】解： 故答案为：2 10. 某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是_____．（精确到0.01） 投篮次数（单位：次） 10 50 100 150 200 500 1000 2000 命中次数（单位：次） 9 40 70 108 143 361 721 1440 命 中 率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72 【答案】0.72 【解析】 【分析】利用频率估计概率时，要进行大量试验，实验次数越多，用频率估计概率就越精确． 【详解】解：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是0.72， 故答案为：0.72． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 11. 如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例，熟悉掌握线段成比例的比值关系是解题的关键． 根据线段成比例的比值关系列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．经测量，得，，．设，，则y与x之间的函数关系式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得：，，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 13. 如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴正半轴于点A，点B是y轴负半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，连结OC、AD．若点C的横坐标为﹣2，则四边形OCDA的面积为 _____． 【答案】16 【解析】 【分析】利用中心对称的性质得到A（2，0），则把A（2，0）代入求出m得到抛物线解析式为，计算当x=-2时的函数值得到C（-2，-4），接着求出抛物线的对称轴为直线x=1，从而得到D点坐标，然后根据梯形的面积公式计算四边形OCDA的面积． 【详解】解：∵点A与点B关于点C对称， 而点C的横坐标为-2， ∴A（2，0）， 把A（2，0）代入得-2+2m=0，解得m=1， ∴抛物线解析式为， 当x=-2时，，则C（-2，-4）， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴D（4，-4）， ∴CD=4-（-2）=6， ∴四边形OCDA的面积=×(2+6)×4=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查二次函数的性质． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答； 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 16. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法． 17. 2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．某特许零售店发现该“冰墩墩”的销售非常火爆．据统计，该店2021年10月的销量为1万件，2021年12月的销量为1.21万件．若该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，利用2021年12月的销量年10月的销量该店“冰墩墩”销量的月平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可求出结论． 【详解】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的另一交点为点A，与y轴垂直的直线l交该抛物线于点B和点C，设点B的纵坐标为n． （1）求线段的长． （2）当函数值y随x增大而增大时，直接写出自变量x的取值范围． （3）当线段的长小于时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）3 （2）或均正确 （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出的值即可得到点A的坐标； （2）求出抛物线的对称轴可得结论； （3）求出抛物线的顶点坐标，结合线段在线段下方可得结论． 【小问1详解】 令，则． 解得（舍去），． ∴点A的坐标为． ∴． 【小问2详解】 出抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数值y随x增大而增大； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当线段的长小于时，即线段在线段下方， ∴ 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标是解答本题的关键． 19. 图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画的高 ． （2）在图②中画的中位线，使点分别在边上． （3）在图③中画，使，与的相似比为，且于点M． 【答案】（1） 如图①中，线段，即为所求； （2） 如图②中，线段即为所求． （3） 如图③中，即为所求 【解析】 【分析】（1）线段即为所求； （2）找出的中点即可； （3）在上找一点，使得，再根据相似即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 20. 如图，一个水池的两端分别为A，B两点，在岸上选一点C，使点C能直接到达A，B两点，连接AC，BC．若BC＝221m，∠ABC＝58°，∠ACB＝45°，求A，B两点之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．） 【答案】160m 【解析】 【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可． 【详解】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可． 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ACD中， ∵∠ACB＝45°， ∴AD＝CD， 设AB＝xm， 在Rt△ADB中， ∵sin∠ABC＝ ， ∴AD＝AB•sin58°≈0.85x， 又∵cos∠ABC＝ ， ∴BD＝AB•cos58°≈0.53x， 又∵BC＝221m，即CD+BD＝221m， ∴0.85x+0.53x＝221， 解得，x≈160（m）， 答：AB的长约为160m． 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法． 21. 如图①，有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合．如图②，水柱距水池中心处到达最大高度为6，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）选择图②中一条抛物线求其对应的函数关系式． （2）求点M的纵坐标． （3）如图③，在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头，且喷射水柱竖直向上，高度均为m，相邻两个直线型喷头的间距均为 m，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布，且每相邻的两个直线型喷头的间距为 m．直接写出离中心O最远的两个直线型喷头的水平距离． 【答案】（1）或； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设解析式为由题意的到顶点坐标及与x轴交点坐标带入求解即可得到答案； （2）令，代入求解即可得到答案； （3）令，解出交点，根据对称及间距即可得到安装个数及距离，即可得到答案； 【小问1详解】 解：选择图②中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 选择图②中第二象限内的抛物线求其对应的函数关系式． 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为， 将点代入，得． 解得， ∴抛物线对应的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点M的纵坐标为； 【小问3详解】 解：当时， ， 解得：，， ∵安装后关于OM成轴对称分布，实心石柱直径为，邻的两个直线型喷头的间距为 m， ∴，，， ∴， ∴每边能装7个碰头，总的个喷头， ∴离中心O最远的两个直线型喷头的水平距离为：． 【点睛】本题考查二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标． 22. 【操作一】如图①，将矩形沿过点D的直线折叠，使点A的对称点F落在边上，折痕为DE．则的大小为 度． 【操作二】如图①，在操作一的基础上，将矩形沿过点C的直线折叠，点B的对称点H落在边上，折痕为．求证：． 【应用】如图②，延长图①中的交边于点M．若，则EH的长为 ，点M到边的距离为 ． 【拓展】如图③，点N为【操作二】图①中的边DE上的点，连结、．若，，则的最小值为 ． 【答案】【操作一】45； 【操作二】证明：∵四边形是正方形， ∴． 由折叠，得， ∴， ∴， ∴； 【应用】2，8；【拓展】 【解析】 【分析】操作一：证明四边形是正方形即可； 操作二：先证明，进而可证； 应用：由勾股定理求出，进而求出，过点M分别作，，垂足分别为P，Q．由得，代入数值求出，然后利用即可求出的长； 拓展：在上截取，连接，证明，得，从而可证当C，N，M三点共线时，有最小值，根据勾股定理求出的值即可求解． 【详解】操作一： ∵四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，， ∴四边形是正方形， ∴． 故答案为：45； 操作二：略 应用： ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴， 过点M分别作，，垂足分别为P，Q． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2，点M到的距离为8， 故答案为：2，8； 拓展： 如图，在上截取，连接， 由应用可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C，N，M三点共线时，即，有最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，以及勾股定理等知识，难度较大，属中考压轴题． 23. 如图，在中，，D是边的中点．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点B运动，过点P作于点Q，当点P不与点A、D、B重合时，以为邻边作，设点P的运动时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示线段的长． （2）当点E到点A、D的距离相等时，求的长． （3）当的某条对角线与边垂直时，求t的值． （4）作点P关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3），或 （4），或 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理得到．在中，根据正弦定义得到．得到； （2）根据线段垂直平行线的判定和性质得到，，根据余弦定义得到，解得； （3）当时，求出，得到，解得；当时，求出，得到，解得； （4）连接，交直线于点I，根据轴对称得到垂直平分， 得到，，得到，得到，得到，根据，得到，得到，当点P在线段上，，解得；；当点P在线段上，，解得；． 【小问1详解】 ∵在中，， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴． ∴； 【小问2详解】 如图①，当点E到点A、D的距离相等时，点E在的中垂线上． ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 【小问3详解】 如图②，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 如图③，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 故，或； 【小问4详解】 连接，交直线于点I， ∵点P与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P在线段上，如图④， ， 解得；， 当点P在线段上，如图⑤， ， 解得；， 综上， 或． 【点睛】此题考查了直角三角形和平行四边形，熟练掌握勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，轴对称的性质，运用数形分类讨论，是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在抛物线上，点为该抛物线的顶点．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）连结，当轴时，顺次连结点，求四边形的面积． （3）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分图象的最低点和最高点到轴的距离分别为，若，求的取值范围． （4）当点在第四象限时，作点关于点的对称点，以为对角线构造矩形，该矩形的边均与坐标轴垂直，且点在该矩形的内部．设抛物线在该矩形内部及边界的图象记为，图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，最低点在该矩形边所在的直线记为，若点到直线l的距离等于，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）的取值范围为，； （4），，． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （）根据配方法可得抛物线的对称轴和顶点坐标，可得出，再根据三角形的面积即可得到结论； （）根据图象可得当抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分图象的最低点和最高点到轴的距离和，根据建立关于的方程，可分四种情况讨论； （）分两种情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵点 在抛物线 上， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数关系式为； 【小问2详解】 如图，连接， 将抛物线配方，得， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵轴， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴四边形的面积为， ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 当时，，， ∵， ∴， 解得：（舍去）， 当时，，， ∵， ∴的取值范围为； 当时，，， ∵， ∴， 解得：（舍去），（舍去）， 当时，，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， 综上所述，的取值范围为，； 【小问4详解】 ∵， ∴当时，点在矩形的内部， ∵点在抛物线上，横坐标为， ∴， ∵点和点关于点对称， ∴， 当时，， ∵最低点在矩形的顶点上， ∴点到直线的距离：或， 如图，当点在抛物线的上方时， 图象的最高点坐标为，最低点， ∴， ∵点到直线的距离等于， 有以下两点情况： 第一种： 解得：（舍去），（舍去）， 第二种： 解得：或（舍去）， 当点在抛物线的下方时， 图象的最高点纵坐标为的纵坐标，最低点， ∴， ∵点到直线的距离等于， 有以下两点情况： 第一种：， 解得：，（舍去）， 第二种：， 解得：，（舍去），（舍去），（舍去）， 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，原点对称，轴对称的性质，利用分割法求四边形的面积等知识，解题的关键是正确理解方程和分类讨论的思想及掌握知识点的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $