精品解析：2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试题（4月份）

2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试卷（4月份） 一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 算式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用乘法的意义，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2. 已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出x，y的值，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵x，y满足， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故选：D． 3. 若分式的值为整数，则正整数x的个数为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算化简，然后再根据其值为整数确定x的值即可解答． 【详解】解： ＝ ＝， ∵分式的值为整数， ∴或或或且， ∴正整数或2或5或1或6或9，共6个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的化简、分式的值为整数的条件等知识点，正确化简分式是解答本题的关键． 4. 若关于x的不等式组 有解且至多有4个整数解，且多项式能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数m的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有4个整数解，即可求得m的取值范围，再根据多项式能在有理数范围内因式分解，可知，然后即可写出符合条件的m的值． 【详解】解：由不等式组得：， ∵不等式组有解且至多有4个整数解， ∴， 解得， 又∵多项式能在有理数范围内因式分解， ∴，且或4或9或…， ∴， ∴， ∴符合条件的整数m的值为， 即符合条件的整数m的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题考查了已知不等式组的解集求参数，运用平方差公式因式分解，熟练掌握一元一次不等式组的解集的确定方法是解题的关键． 5. 若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（　　） A. B. C. D. 条件不足，无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的应用，关键是掌握二次根式有意义时，被开方数是非负数．由二次根式有意义时，被开方数是非负数，即可得到，在代入等式得，从而可以解决问题． 详解】解：由题意得：， ， 等式变形为：， ， ， ． 故选：A． 6. 我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（　　） A. 4 B. 2 C. 0 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数，代数式求值及有理数的运算，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．根据题意求得x，y的值后代入中计算即可； 【详解】解：由题可得，集合A中， ， ∴集合B中的， ， ， ∵， ∴x与y都为负数， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ． 故选：D． 7. 如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于M，于N，连接，在上截取连接，可以证明得到推出是等腰直角三角形， 得到由P是的内心，推出 本题考查三角形的内心，三角形外接圆与外心，等腰直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造全等三角形，并掌握三角形内心的性质． 【详解】解：作于M，于N，在上截取，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵P是的内心， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定，则， ∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设，则，，则， ∵，， ∴C点的运动轨迹为阿氏圆， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最大， ， ∴， 故选：D． 二、填空题 9. 一元二次方程的解是____． 【答案】x1=-1，x2=2 【解析】 【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程整理得：x（x+1）-2（x+1）=0， 分解因式得：（x+1）（x-2）=0， 可得x+1=0或x-2=0， 解得：x1=-1，x2=2． 故答案为：x1=-1，x2=2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 平面直角坐标系中，点与点 关于轴对称，如果函数的图象经过点，那么____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知点坐标；代入函数关系式求解．主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和特殊角的三角函数值及坐标系中的对称点的坐标特点． 【详解】解：， 点， ∵点与点 关于轴对称 ∴点为， 函数的图象经过点， ． 故答案为：． 11. 给出下列函数：①；②；③．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当时，函数值y随x增大而减小”的概率是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单概率计算，一次函数，二次函数，反比例函数的性质．注意概率=所求情况数与总情况数之比．利用一次函数、二次函数、反比例函数的性质确定当 时，函数值y随x增大而减小的个数，然后利用概率公式求解即可； 【详解】解：①是一次函数，， y随着x的增大而减小，符合条件； ②是反比例函数，，当时，y随着x的增大而减小，因此当时，函数值y随x增大而减小，符合条件； ③是二次函数，当时，y随着x的增大而增大，因此当时，函数值y随x增大而增大，不符合条件． 综上：符合条件的函数有①②，共2个． ∴取出的函数符合条件“当时，函数值y随x增大而减小”的概率是． 故答案为：． 12. 一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 _______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数及众数的意义，解题的关键是熟练掌握相关概念并应用求解．先根据数据的平均数为12，得出，再根据唯一众数为14，得出或，然后按照从小到大排列即可得出答案． 【详解】解：数据，，，的平均数是， ，即， 数据，，，唯一的众数是14， 或， 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 故答案为：． 13. 如图，扇形圆心角为直角，，点在 上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．连接，利用勾股定理求出，根据计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】首先把关于，的方程组整理为，再根据关于，的二元一次方程组解为，得出，解出即可． 【详解】解：方程组整理为， 关于，的二元一次方程组解为， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键． 15. 已知实数，满足，．且，则 的值为___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ， 、可看作方程的两根， ，， ， ． 故答案为：． 16. 直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则____________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与直线交点问题，根据直线解析式可得都经过点，分别讨论直线与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解，利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由，可得直线与抛物线交于点， ①直线与y轴重合满足题意，则直线与y轴交点为，如图， ， 为等腰直角三角形， ， ∴点B坐标为， 将代入得， 解得； ②直线不与y轴重合时，设直线解析式为， 令， ， 当时满足题意． ， 把代入得， ∴直线与x轴交点D坐标为，即， 作交直线于点E，过点E作轴于点F， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴点E坐标为． 将代入直线解析式得， 解得． ， ． 故答案为：或． 17. 如图，中，，，，连接交于P点，则的值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 延长和交于N，过C作，交的延长线于M，设，根据相似三角形的判定得出，，，根据相似三角形的性质得出，，求出，，求出，再根据相似三角形的性质得出即可． 【详解】解：延长和交于N，过C作，交的延长线于M，设， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，适当建立直角坐标系，利用数形结合的思想解决问题是关键． 以B为原点，、所在的直线分别为轴、轴建立坐标系，设，则，过点作于M，过点作于N，根据正方形的性质，易证，得出，即H的运动轨迹为直线，再由得到两个端点坐标，根据坐标两点的距离公式求解即可． 【详解】解：如图，以B为原点，、所在的直线分别为轴、轴建立坐标系， 则，，， 设，则， 过点作于M，过点作于N， 则，四边形是矩形， ∴，， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ， ∴H的运动轨迹为直线， ∵， ∴当时，，当时，， ∴H运动的路径长为， 故答案为： 三、解答题 19. 先化简，再求值：，然后从，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】按照分式的化简法则，将分式化简，再根据分式无意义的条件，选择合适的值，代入求值即可． 【详解】解：原式 当，，时，原分式无意义， ∴取时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，考虑分式无意义的情况是解题的关键． 20. 科技创新是发展的第一动力．某科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间满足一次函数关系，部分数据如下表： x（件） 10 15 20 … （元/件） 58 57 56 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求销售利润w(元)关于销售量x(件)的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？ （3）为了保证销售利润不低于420元，求该产品的销售价格的取值范围． 【答案】（1） （2）当销售量为50件时，销售利润最大，最大值是500元 （3） 【解析】 【分析】（1）设，用待定系数法可得与之间的函数关系式为； （2）根据题意，由二次函数的性质可得答案； （3）当时，，解得或，结合（1）可得当销售利润不低于420元，该产品的销售价格的取值范围是． 【小问1详解】 设，把，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得： ， ， 当时，取最大值，最大值为500， 当销售量为50件时，销售利润最大，最大值是500元； 【小问3详解】 当时，， 解得或， 当时，； 当时，； 当销售利润不低于420元，该产品的销售价格的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 21. 如图，是的正方形网格，每个小正方形的单位长为．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺分别画图： 　 　 （1）在图1中，过点作边上的高，并在图中找一格点使得； （2）在图2中，在上作点，使； （3）在图3中，点为与网格的交点，在上作点，使． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高的定义，利用数形结合的思想作出高即可，连接，则点即为所求∶ （2）取格点，连接交于点，点即为所求构造等腰直角三角形解决问题； （3）取格点，连接交于点，点即为所求构造等腰直角三角形解决问题． 【小问1详解】 解∶如图1中，线段，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图2中，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图3中，点即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 【答案】（1）， （2），或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，对称轴公式求出对称轴即可； （2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）设，利用勾股定理得到，，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把代入抛物线解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为； ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ∴点C的坐标为； 在中，令，则， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由图象可知：或； 【小问3详解】 解：存在， 设， ∴，，， 当时，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，则， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 23. 对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： （1）已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； （2）已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． （3）在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 【答案】（1）①；②或；③ （2）①或；② （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象及性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握函数的图象及性质，正方形性质，圆的性质，根据定义确定点在正方形边界上是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可； ②根据定义可得方程，求出的值即可； ③由定义可得，分类讨论求值即可； （2）①设，由题意可得，整理得，分别讨论当时和当时求解即可； ②点在以，，，的正方形上，再结合图象即可求解； （3）由题可知点在以为中心，边长为的正方形上，根据题意得出，讨论当时，满足即可；当时，只需即可；再利用对称性得出的情况． 【小问1详解】 解：①， 故答案为：； ②由题意得：， ， 解得：或， 故答案为：或； ③点是直线上的一个动点， ， ， 当时，， 解得：， 则； 当时，恒成立， 当时，， 解得：， 则； 综上，当时，； 【小问2详解】 解：①点在图象上， 设， ， ， ， ，即， 当时，，解得或， 当时，，解得（舍)或（舍)； 或； ②由，， 可知点在以，，，的正方形上， 如图1，当点为时，有最小值， 当点为时，有最大值， ； 【小问3详解】 解：， 点在以为中心，边长为的正方形上， ，圆的半径为1， ， ， ， 当时，如图2，， ， ； 当时，如图3，只需即可， ， ； 由对称性，同理可得； 综上所述：或． 24. 如图，为等腰直角三角形，且，点D为线段上的动点，过点A作，使得，作的外接圆交于点F，连结，分别交于点M、N， （1）已知，求； （2）求证:； （3）若，求． 【答案】（1）10.5 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的判定与性质求得线段 ，的长度，再利用梯形的面积减去两个直角三角形：和的面积即可得出结论； （2）过点C作，交的延长线于点G，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用圆周角定理，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质得到为等腰三角形，则，利用等量代换即可得出结论； （3）过点C作，交的延长线于点G，利用平行线分线段成比例定理得到，设，则，，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，分别求得线段，，，，则结论可求． 【小问1详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ∴等腰直角三角形， ． ， ， ∴四边形为梯形， ， ，， ； 【小问2详解】 证明：过点C作，交的延长线于点G， ， ， ， ∵， ∴为的外接圆的直径， ， ∵， ∴， ∴． 由知：， ， ， 即为的垂直平分线， ． ， ． ． ，， ． ∵， ． ， ． ； 【小问3详解】 解：过点C作，交的延长线于点G， 由（2）知：为等腰三角形， ， ， ， ， ． 设，则， ， ， ． 由（2）知：． ∵为等腰直角三角形， ， ， ． ． ， ， ． ． ，， ． ， ， ， ， ； 【点睛】本题主要考查了圆的有关概念与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，梯形，三角形的面积，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，过点C 作是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试卷（4月份） 一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 算式的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　） A. B. 2 C. D. 3. 若分式的值为整数，则正整数x的个数为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 4. 若关于x的不等式组 有解且至多有4个整数解，且多项式能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数m的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（　　） A. B. C D. 条件不足，无法计算 6. 我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（　　） A 4 B. 2 C. 0 D. ﹣2 7. 如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　） A. 4 B. C. 2 D. 8. 如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 9. 一元二次方程的解是____． 10 平面直角坐标系中，点与点 关于轴对称，如果函数的图象经过点，那么____________________． 11. 给出下列函数：①；②；③．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当时，函数值y随x增大而减小”的概率是 __________________． 12. 一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 _______． 13. 如图，扇形圆心角为直角，，点在 上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为_________． 14. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为______ ． 15. 已知实数，满足，．且，则 的值为___________________． 16. 直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则____________． 17. 如图，中，，，，连接交于P点，则的值为__________________． 18. 矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 _________________． 三、解答题 19. 先化简，再求值：，然后从，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 科技创新是发展的第一动力．某科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间满足一次函数关系，部分数据如下表： x（件） 10 15 20 … （元/件） 58 57 56 … （1）求y与x之间函数关系式； （2）求销售利润w(元)关于销售量x(件)的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？ （3）为了保证销售利润不低于420元，求该产品的销售价格的取值范围． 21. 如图，是的正方形网格，每个小正方形的单位长为．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺分别画图： 　 　 （1）在图1中，过点作边上的高，并在图中找一格点使得； （2）在图2中，在上作点，使； （3）在图3中，点为与网格的交点，在上作点，使． 22. 如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 23. 对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： （1）已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； （2）已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． （3）在平面直角坐标系中，为动点，且，圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 24. 如图，为等腰直角三角形，且，点D为线段上的动点，过点A作，使得，作的外接圆交于点F，连结，分别交于点M、N， （1）已知，求； （2）求证:； （3）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$