九年级数学第一次月考卷（北京版，九年级上册第18章-第19章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册第18章-第19章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 5．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 7．如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ）    A． B． C． D．2 8．某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边，，上，记，，图中阴影部分的面积为S，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（     ）    A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，二次函数关系 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数的表达式为 ． 10．在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 11．将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ． 12．如图，在中，于点，，则 ．    13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ． 14．如图，若点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为 ． 15．如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ． 16．如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为 ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）如图，，相交于点，． 求证：△∽△ 18．（5分）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 19．（6分）已知二次函数，过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当取何值时，． 20．（5分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高是？ 21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，且与轴交于点，点A的坐标为． (1)求及的值； (2)求的面积． 22．（5分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 23．（5分）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若点在该抛物线上，求t的值； (2)当时，对于，都有，直接写出的取值范围． 24．（6分）商场经销一种商品，进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件． (1)要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？ (2)该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？ 25．（5分）已知与成正比，当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求函数的值；5 （3）将所得函数的图象向右平移个单位，使它过点，请求出的值． 26．（5分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高．高度为3m． (1)在给出的图中画出平面直角坐标系； (2)求出水管的长度． 27．（8分）如图，在等腰直角中，，D为平面上一动点，在运动过程上保持于点D，将沿翻折得到，在直线上取点F，作． (1)如图，若与相交于点G，求证； (2)猜想的形状，并说明理由． 28．（8分）在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线给出如下定义：过抛物线C上一点作垂直于x轴的直线，交直线l于点，若存在实数满足，则称点是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”． (1)若， ①在点，，，中，抛物线C的“如意点”是______； ②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出的最大值______； (2)若边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册第18章-第19章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 5．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 7．如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ）    A． B． C． D．2 8．某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边，，上，记，，图中阴影部分的面积为S，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（     ）    A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，二次函数关系 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数的表达式为 ． 10．在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 11．将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ． 12．如图，在中，于点，，则 ．    13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ． 14．如图，若点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为 ． 15．如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ． 16．如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为 ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）如图，，相交于点，． 求证：△∽△ 18．（5分）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 19．（6分）已知二次函数，过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当取何值时，． 20．（5分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高是？ 21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，且与轴交于点，点A的坐标为． (1)求及的值； (2)求的面积． 22．（5分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 23．（5分）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若点在该抛物线上，求t的值； (2)当时，对于，都有，直接写出的取值范围． 24．（6分）商场经销一种商品，进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件． (1)要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？ (2)该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？ 25．（5分）已知与成正比，当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求函数的值；5 （3）将所得函数的图象向右平移个单位，使它过点，请求出的值． 26．（5分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高．高度为3m． (1)在给出的图中画出平面直角坐标系； (2)求出水管的长度． 27．（8分）如图，在等腰直角中，，D为平面上一动点，在运动过程上保持于点D，将沿翻折得到，在直线上取点F，作． (1)如图，若与相交于点G，求证； (2)猜想的形状，并说明理由． 28．（8分）在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线给出如下定义：过抛物线C上一点作垂直于x轴的直线，交直线l于点，若存在实数满足，则称点是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”． (1)若， ①在点，，，中，抛物线C的“如意点”是______； ②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出的最大值______； (2)若边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版九年级上册第18章-第19章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：． 2．若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故该函数的图象经过点； ，故该函数的图象经过点； ，故该函数的图象经过点； ，故该函数的图象经不过点． 故选：D． 3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项错误； B、添加，可用两角法判定，故本选项错误； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误； D、添加，不能判定，故本选项正确； 故选：D． 4．如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选C． 5．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴正好是抛物线的顶点坐标， ∴是二次函数的最大值， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 6．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 8．某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边，，上，记，，图中阴影部分的面积为S，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（     ）    A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，二次函数关系 【答案】B 【详解】解：设 (m为常数)， 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵四边形是矩形， ， ，即， ∴y与x成一次函数关系， ， ∴S与x成二次函数关系． 故选 B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同， ∴， ∵顶点是， ∴， ∴这个函数解析式为， 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵， ∴点，在第四象限，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 11．将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ． 【答案】 【详解】解：， 由题意得，新图象函数的表达式为： . 故答案为：． 12．如图，在中，于点，，则 ．    【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴, ∴, 则=． 故答案为：. 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点和在二次函数的图象上， 该函数图象的对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于，两点， 点的横坐标为：， 点的坐标为， 故答案为：． 14．如图，若点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为 ． 【答案】3 【详解】解：设PN＝a，PM＝b， ∵P点在第二象限， ∴P（﹣a，b），代入y＝﹣中，得 ﹣ab＝﹣3， ∴矩形PMON的面积＝PN•PM＝ab＝3， 故答案为：3． 15．如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ． 【答案】 【详解】解：设， ∵四边形为矩形，对角线、交于点O， ∴，，，， ∵，则， ∴，则是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为 ． 【答案】4 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4. 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（4分）如图，，相交于点，． 求证：△∽△. 【详解】解：∵，， ∴，...........................................................2分 ∵， ∴△∽△. ...........................................................4分 18．（5分）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）抛物线经过点，， ， 解得， ...........................................................2分 ；...........................................................3分 （2）， 顶点坐标为．...........................................................5分 19．（6分）已知二次函数，过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当取何值时，． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 所以二次函数的表达式为；...........................................................2分 （2）解：令， 解得：或， ...........................................................4分 ∴二次函数的图象与x轴交于和， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，x的取值范围是．...........................................................6分 20．（5分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高是？ 【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：，...........................................................1分 ∵， ∴，...........................................................2分 ∴，...........................................................3分 ∴，即，...........................................................4分 ∴， ∴该古城墙的高度是．...........................................................5分 21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，且与轴交于点，点A的坐标为． (1)求及的值； (2)求的面积． 【详解】（1）解：由题意可得：点在函数的图象上， ，即， ..........................................................1分 在反比例函数的图象上， ， ； ....................................................................................................................3分 （2）解：连接、， 由（1）可知一次函数解析式为，令，得， 点的坐标是， ...........................................................4分 由解得，， 由图象可得：点的坐标为， . ...........................................................6分 22．（5分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 【详解】（1）证明：于点，， ， ， ； ..........................................................2分 （2）解：， ， ，，， ， ． ...........................................................5分 23．（5分）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若点在该抛物线上，求t的值； (2)当时，对于，都有，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∴； ...........................................................3分 （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大； 当时， ∵， ∴此时满足； 当时， ∵， ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， ∴此时满足； 当时，一定会有的值满足，即此时，不符合题意； 当时，若，且时，此时，不符合题意； 综上所述，. ...........................................................5分 24．（6分）商场经销一种商品，进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件． (1)要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？ (2)该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？ 【详解】（1）设涨价x元时，由题意得 ， ...........................................................2分 解得（舍去），， ∴（元）， 答：要想获得6000元的利润，该商品应定价为70元；...........................................................3分 （2）设涨价x时，每周售出商品的利润为y元， ， ...........................................................4分 ∴当时，y有最大值，最大值为6250， ∴定价为（元）， 答：每件商品定价为65元时利润最大，最大利润为6250元． ...........................................................6分 25．（5分）已知与成正比，当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求函数的值；5 （3）将所得函数的图象向右平移个单位，使它过点，请求出的值． 【详解】（1）设， ∵当时，， ∴，解得， ∴， ∴与之间的函数关系式为； ...........................................................2分 （2）当时，； ...........................................................3分 （3）设平移后的解析式为， 将代入得：，解得：． ..........................................................5分 26．（5分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高．高度为3m． (1)在给出的图中画出平面直角坐标系； (2)求出水管的长度． 【详解】（1）解：以水池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的方向为x轴建立平面直角坐标系；如图所示： ...........................................................2分 （2）解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点， ∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3． ∵该抛物线过点（3，0）， ∴0=a（3-1）2+3， 解得：a=-． ∴y=-（x-1）2+3(0≤x≤3)， ...........................................................4分 ∵当x=0时，y=-×（0-1）2+3=-+3=， ∴水管的长度为m． ...........................................................5分 27．（8分）如图，在等腰直角中，，D为平面上一动点，在运动过程上保持于点D，将沿翻折得到，在直线上取点F，作． (1)如图，若与相交于点G，求证； (2)猜想的形状，并说明理由． 【详解】（1）∵是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ...........................................................3分 （2）为等腰直角三角形，...........................................................4分 理由：由（1）得． 又∵， ∴， ...........................................................5分 ∴， ∴， 由翻折得． ∴， ...........................................................6分 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ...........................................................8分 28．（8分）在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线给出如下定义：过抛物线C上一点作垂直于x轴的直线，交直线l于点，若存在实数满足，则称点是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”． (1)若， ①在点，，，中，抛物线C的“如意点”是______； ②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出的最大值______； (2)若边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值______． 【详解】（1）解：①在中，当时，，时，，时，，时，； 在中，当时，，时，，时，，时，； ∵，，，， ∴只有，是抛物线C的“如意点”， 故答案为：； ...........................................................2分 ②点E是点D与抛物线C的“称心点”， ∴点E和点D关于直线对称， ∴的长等于点D到直线的距离的两倍， ∴当点D到直线的距离最大时，有最大值， 根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C的如意点， ∴当平行于直线的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意， 设直线恰好与抛物线有一个交点， 联立得， ∴， 解得， ∴，解得， ∴此时点D与原点重合； 如图所示，设直线分别与x轴，y轴交于G、H，则， ∴， ∴， 设交于F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ...........................................................5分 （2）解：由（1）可得，抛物线C的“如意点”组成的区域即为直线与抛物线围成的封闭区域（包括边界）， ∴抛物线C的“称心点”一定在直线与抛物线围成的封闭区域外面， ∵边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”， ∴正方形边上的点全部是“如意点”时b的值一定要比正方形边上的点部分是“如意点”，部分时“称心点”时b的值大， ∴当恰好正方形上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b最小，即直线一定经过正方形的一条对角线， 此时有轴， ∴此时关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称， ∴的横坐标为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得， ∴， ∴b的最小值即为． ...........................................................8分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1 2 3 6 > 8 D D D C A B B B 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.y=-7x-52. 10.>. 11,y=x 2} 13.(4,0) 14.3 5.3 16.4 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(4分) 【详解】解：：AC,BD交于点O LB0A=LD0C2分 ∠A=∠D, .△AOB∽△DOC 4分 18.(5分) 【详解】(1)“抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)，(0，-3)， f1+b+c=0 c=-3 [b=2 解得 c=-3' 442分 y=x2+2x-3: 3分 (2)y=x2+2x-3=(x+1)2-4, :顶点坐标为(-1,4) 5分 19.(6分) 【详解】(1)解：根据题意得：5=a(-2+1(-2-3列， 解得：a=1, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 1 ⊙学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 所以二次函数的表达式为y=(x+1川x-3引=X2-2x-3;2分 (2)解：令y=(x+1)x-3=0, 解得：x=-1或x=3, ,4分 ∴.二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(3,0)， 1>0, ∴.二次函数的图象开口向上， 。当y≤0时，x的取值范围是-1≤r≤3.6分 20.(5分) 【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：LAPB=LCPD,1分 ·AB⊥BD,CD⊥BD, .LABD=LCDB=90°，42分 .△ABP∽△CDP,43分 小品部 CD6’…4分 ∴.CD=4.5, 该古城墙的高度CD是4.5m.5分 21.(6分) 【详解】(1)解：由愿意可得：点A(2,)在函数y=x+m的图象上， 2+m=1,即m=-1, 分 “42)在反比例函数y=◆的图象上， 含1，k=2 13分 (2)解：连接OA、OB, A(2,1) ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 由(1)可知一次函数解析式为y=x-1,令y=0,得x=1, 点C的坐标是(1,0)， 4分 y=x-1 「x=2x2=-1 y=1’y2=-2 :由图象可得：点B的坐标为(1，-2)， ÷5am=Sce+5e-x0Cx0+2)=x1x3=月 2 6分 22.(5分) 【详解】(1)证明：：DE1AB于点E,∠C=90°， +∠AED=∠C=90°， "∠A=LA, :△ADE∽△ABC: 2分 (2)解：：△ADE∽△ABC, AD AE ABAC AC=4,AB=5,AD=3, 3AE 54 ·AE=2 5 145分 23.(5分) 【详解】(1)解：抛物线y=a.r2+br+1a>0经过点(2，， ∴.4a+2b+1=1, ∴.b=-2a, 一抛物线对称轴为直线x=-力 2a =1 ∴.t=1: 3分 (2)解：a>0, .抛物线开口向上， ∴当x>t时，y随x增大而增大，当x<t时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大： 当0≤x≤2时， ,1≤x<5, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ∴此时满足乃<乃； 当-2≤x≤0时， t≤0， ∴，点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， 此时满足片<乃： 当x>2时，一定会有x2的值满足x>:2,即此时片>2，不符合题意： 当x<-2时，若1=0，且x=-x时，此时片=乃2，不符合题意： 综上所述，-2SX≤2.5分 24.(6分) 【详解】(1)设涨价x元时，由题意得 (60-40+xj300-10x=6000,…2分 解得x=0(舍去)，x2=10, ∴.60+10=70（元）， 答：要想获得6000元的利润，该商品应定价为70元；3分 (2)设涨价x时，每周售出商品的利润为y元， y=(60-40+x)300-10x=-10(x-5)+6250, 4分 ∴.当x=5时，y有最大值，最大值为6250 .定价为60+5=65（元）， 答：每件商品定价为65元时利润最大，最大利润为6250元. 46分 25.(5分) 【详解】(1)设y-4=, 当x=1时，y=2, .2-4=k,解得k=-2, ∴.y-4=-2x, y与X之间的函数关系式为y=-2x+4:2分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 ⊙学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2)当x=时，=-24=5 43分 (3)设平移后的解析式为y=-2(x-a+4, 将0,6)代入得：-2(0-a+4=6,解得：a=1. 5分 26.(5分) 【详解】(1)解：以水池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的方向为x轴建立平面直角 坐标系：如图所示： 3 2分 37 (2)解：由题意可知点(1,3)是抛物线的顶点， ∴.设这段抛物线的解析式为ya(x1)2+3 该抛物线过点(3,0)， ∴.0-0(3-1)2+3， 解得：3 41 3 4(x1)2430s3, .4分 :当x0时，4 9 (0-1)2+3=-4+3 4 .水管的长度 4m. 5s分 27.(8分) 【详解】(1)，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC,AD⊥BD, .∠ADB=∠ACB=90°， 又∠BGD=∠AGC, ∴.△BDG∽△ACG, :DG、BG 3分 CG AG (2)△CDF为等腰直角三角形， 4分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 ⊙学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 理由：由(1)得DGBG CG AG 又，∠CGD=∠AGB, .△CDGn△ABG, 5分 .∠ADC-∠ABC=450, ∴.∠BDC=135°， 由翻折得∠BDE=∠BDC=135°， .∠CDE=90°，6分 CF∥DE, .∠DCF=∠CDE=90°， ∴.LCFD=45°， ∴.∠CFD=∠CDF=45°， ..CF CD, △CDf为等腰直角三角形.8分 28.(8分) 【详解】(1)解：①在y=x2+x中，当x=0时，y=0,x=-1时，y=0,x=1时，y=2,x=√互时， y-2+√2： 在y=x+2中，当x=0时，y=2,x=-1时，y=1,x=1时，y=3,x=√5时，y=2+V2; 0<2,0<1<2,2<3,5<2+√5， ∴.只有P(0,0),P1,3)是抛物线C的“如意点”， 故答案为：P、P: 2分 ②点E是点D与抛物线C的“称心点”， ,点E和点D关于直线y=x+2对称， ∴.DE的长等于点D到直线y=x+2的距离的两倍， ∴.当点D到直线y=x+2的距离最大时，DE有最大值， 根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线y=x+2围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C的如意点， ∴.当平行于直线y=x+2的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意， 设直线y=x+t恰好与抛物线y=x2+x有一个交点， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 ⊙学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 联立 y=x+1 ly=x+x 得x2-1=0, .△=02+41=0， 解得1=0， .x2-0=0,解得x=0, ∴.此时点D与原点重合； 如图所示，设直线y=x+2分别与x轴，y轴交于G、H,则G(-2,0,H(0,2), .0G=0H=2, ∴.GH=√0G2+0H2=22, 设DE、GH交于F,则DF⊥GH, ÷oeGh=ccoa. 2 *25or2x2. .0F=2, ·DE大=2√2， 故答案为：2√2： 05分 E G O(D) (2)解：由(1)可得，抛物线C的“如意点”组成的区域即为直线y=x+b与抛物线y=x2+x围成的 封闭区域（包括边界）， ∴，抛物线C的“称心点”一定在直线y=x+b与抛物线y=x2+x围成的封闭区域外面， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 7 ⊙学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ,边长为2√2的正方形R,R,R,R边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的称心点”， ∴，正方形R,RR,R边上的点全部是“如意点时b的值一定要比正方形R,R,RR边上的点部分是“如意点”， 部分时“称心点”时b的值大， ∴.当恰好正方形RR,RR上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b最小，即直线y=x+b一定经过 正方形RRR,R4的一条对角线， R R 此时有RR,∥x轴， 之此时人、及关于秘物线对秋维对称。即关于直线弓对歌。 尾的横坐标为了5。 在+中当x=分5（号可号同子 9 b的最小值即为+2。 8分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 8 ( ) ( ) 2024-2025学年九年级数学第一次月考卷 数学答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9． ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． _ _____________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题：本题共 12 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 ．（ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 5 分） 19 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 5 分） 21． （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 5 分） 23 ．（ 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24．（ 6 分） 25．（5分） 26 ．（ 5 分） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27 ．（ 8 分） 28 ．（ 8 分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学第一次月考卷 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（6 分） 20．（5 分） 21．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7[A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9．______________ 10．______________11．______________ 12．______________13．______________14．______________ 15．______________16．______________ 三、解答题：本题共 12 小题，共 68分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（4 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（5 分） 23．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6 分） 25．（5 分） 26．（5 分） 27．（8 分） 28．（8 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！