精品解析：北京市燕山向阳中学2025-2026学年九年级上学期数学12月阶段性学情自测

2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 2. 直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交． 【详解】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5， ∴， ∵， ∴A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 3. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出的值即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4. 下面的五个问题中都有两个变量： ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间； ②汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间； ③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间； ④三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高； ⑤矩形面积一定时，周长与一边长； 其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】题中变量与变量之间的函数关系如图所示的图像表示反比例函数，再由五个问题中的两个变量的函数关系逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题可知变量与变量之间的函数关系为反比例函数， ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间，则注水量（定值），从而变量与变量之间的函数关系为反比例函数，符合题意； ②汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间，则速度（定值），从而变量与变量之间的函数关系为正比例函数，不符合题意； ③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间，从而变量与变量之间的函数关系为二次函数，不符合题意； ④三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高，则三角形面积（定值），从而变量与变量之间的函数关系为反比例函数，符合题意； ⑤矩形面积一定时，周长与一边长，则矩形面积（定值），从而变量与变量之间的函数关系为，不符合题意； 五个问题中变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是①④， 故选：C． 【点睛】本题考查函数图像，读懂题意，找到各个问题中变量之间的函数关系是解决问题的关键． 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2-4ac＞0；③a+b+c＞0；④a-b+c＞0．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号； ②由抛物线与x轴有两个交点判断即可； ③x＝1时，y＜0，即a+b＋c＜0； ④x＝−1时，y＞0，即a−b＋c＞0． 【详解】解：①由抛物线开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误； ②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2−4ac＞0，故②正确； ③x＝1时，y＜0，即a+b＋c＜0，故③错误； ④x＝−1时，y＞0，即a−b＋c＞0，故④正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与坐标轴交点的关系是解题关键.． 6. 如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据底部是边长为的正方形求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图所示 ∵底部是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 7. 如图，在中，分别是的切线，A，D为切点，经过圆心O交于点E，连接，若，则（　　） A. 28° B. 45° C. 52° D. 59° 【答案】D 【解析】 【分析】如图：连接，由切线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得、，由圆周角定理可得，即，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵分别是的切线，A，D为切点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即D选项符合题意． 8. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于、两点，与轴交于点交双曲线于点，连接，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、与中点有关的三角形的面积的计算及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．过点作轴于，则，求出，得出点为的中点，再由得出，得出点是的中点，从而得出，根据反比例函数的几何意义即可得答案． 【详解】解：过点作轴于，则， ∵反比例函数与交于点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∵函数与交于点，轴， ∴， 解得：， ∵图象在第一象限， ∴． 故选：B． 二．填空题（共16分，每题2分） 9. 已知实数x，y满足，则的最大值为 _____． 【答案】6 【解析】 【详解】本题考查了二次根式的性质，把原式变形为，然后利用二次函数的性质求解即可． 【分析】用x表示y，将y转化为x的二次代数式即可解决问题． 解：由题知， ， 则 ． 则当时， 有最大值为：6． 故答案为：6． 10. 拋物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线，设它与轴的另一个交点的横坐标为t，列出方程，求解即可． 【详解】解：由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线， 设它与轴的另一个交点的横坐标为t， ∵轴的一个交点坐标是， ∴， 解得：， ∴它与轴的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为． 11. 如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理．根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 若点、都在抛物线上，则该抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】由点、的纵坐标相等可得出点、关于抛物线的对称轴对称，再由点、的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解． 【详解】解：∵点、的纵坐标相等， ∴点、关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键． 13. 已知函数的图象过点，则m的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】把点代入，求出m的值即可． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是将点代入，，准确进行计算． 14. 如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 【详解】解：，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 15. 在直角坐标平面内有一点，如果射线与轴正半轴的夹角为，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，根据题意画出图形，过点作轴于点，勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，则∠ABC的大小为____；若坐标轴上存在点F（F与C不重合），使得，则点F的坐标为_____． 【答案】 ①. 90 ②. 或或 【解析】 【分析】由勾股定理及其逆定理可得；先说明点A、B、C、F四点共圆，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：由题可得，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵， ∴点A、B、C、F四点共圆， 如图：作的外接圆， ， 为直径，此时， 设的中点为K，则， ∵ ∴，即， 当点F在x轴上时，设， 则，解得或（与点B重合，舍去）， ； 当点F在y轴上时，设， 则， 解得或（与点C重合，舍去）， ； 当F不在圆上时，在点B右侧也有一点F满足题意，即，此时为等腰三角形， ． 综上，点F坐标为或或． 【点睛】正确画出图形并运用分类讨论思想是解题的关键． 三．解答题（共68分，第17，20-24题每题5分；第18-19，25-26题每题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算有理数乘方，立方根，算术平方根，再求绝对值，然后计算乘法，最后加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，点D是中边上一点，以为直径的与相切于点C，连接． （1）判断与是否相似？并说明理由． （2）若的半径为3， ，求的长度． 【答案】（1）与相似，理由见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）如图，连接，利用圆的切线的性质定理、圆周角定理、同圆的半径相等、等腰三角形的性质、等角的余角相等可得，再结合即可解答； （2）利用直角三角形的边角关系定理，相似三角形的性质定理得到，易得．设，则，再利用勾股定理列出关于x的方程求解，进而完成解答． 【小问1详解】 解：与相似，理由如下： 如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴． ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵的半径为3， ∴． 设，则， ∵， ∴，解得（不合题意，舍去）或． ∴． 【点睛】发现公共角是证明的关键． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）建立平面直角坐标系，用五点法画出这个二次函数的图像； （3）当时，结合图像直接写出函数的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将函数进行配方，即可得； （2）列表，描点，连线即可得； （3）根据x的取值范围和二次函数的最低点，即可得． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 0 0 【小问3详解】 解：当时，， 即当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． 20. 如图，是的直径，点B在线段的延长线上，直线与相切于点D．连接． （1）尺规作图：过点A作，交延长线于点C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）①求证：平分； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用过已知点作已知直线的垂线的作法画出图形即可； （2）①如图：连接，根据切线的性质可得，从而得到，再结合，可得即可证明结论；②在中，根据勾股定理可得，然后根据等边对等角、三角形外角的性质以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可解答． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求. 【小问2详解】 ①证明：如图：连接， ∵直线与相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】对于含有切线的题目，连接圆心和切点常常成为解题的突破口。 21. 嵩岳寺塔，位于登封市区西北5公里嵩山南麓峻极峰下嵩岳寺内，是嵩岳寺内唯一的北魏遗存建筑，也是中国现存最古老的砖塔，它见证了这座寺院的千年历史．小明想知道塔的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是，向前走了米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是米，请你帮他求出嵩岳寺塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】嵩岳寺塔的高度约为37米． 【解析】 【分析】证是等腰直角三角形，得，设米，则米，再由锐角三角函数定义得，解得，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， 则四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴米， ∴（米）， 答：嵩岳寺塔的高度约为37米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深为19米时，求此时水面的宽． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得．设半径为，则，结合勾股定理可求出； （2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为． 【小问1详解】 解：如图，连接， 过圆心，， ， 设半径为，， 在中，， 即， 解得：， ∴半径为． 【小问2详解】 解：由（1）可知桥洞所在圆的半径， ∵，， ， ， ， ， 在中，． 又∵过圆心， ∴， 即当水深时，此时的水面宽为． 23. 如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 【答案】 【解析】 【分析】如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P，易得都是等边三角形，，即为等边三角形，可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P， ∵六边形的6个内角均为， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个六边形的周长． 24. 如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的有关知识，学会用待定系数法求函数解析式，掌握由图象根据要求确定自变量的取值范围的方法． （1）根据待定系数法即可解决． （2）不等式的解集在图象上是直线在上面的部分，根据图象即可写出． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． ∴把、代入得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为； 把代入，得， 解得，， 所以，反比例函数的解析式为 【小问2详解】 解：由图象得：x的取值范围是． 25. 如图，的直径经过弦的中点E，连接，经过点A的切线与的延长线交于点 P． （1）求证：； （2）若，求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）切线的性质，垂径定理得到，得到，圆周角定理，得到，即可得证； （2）连接，勾股定理求出的长，根据，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵的直径经过弦的中点E， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26. 定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点． （1）求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标； （2）如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______； ②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为，“衍生直线”的表达式为，点A的坐标为 （2）①，，，；②是，这条直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）由题意可知，再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为．进而可求出点B的坐标．由抛物线与x轴交于点，，即可直接得出抛物线的表达式为．联立、，解之即可求出点A的坐标； （2）①根据题意可求出，即得出．结合正方形的性质可得出，即可求出．再根据点，，，…，在直线上，可求出，从而可求出，同理得出，…，； ②由，令，，结合幂的运算法则即可得出这条直线的表达式． 【小问1详解】 解：抛物线为， ， “衍生直线”的表达式为． “衍生直线”与x轴交于点B， 点B的坐标为． 抛物线与x轴交于点，， 抛物线的表达式为． 令，解得或， 把代入，得， 点A的坐标为； 【小问2详解】 解：①对于，令，则， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵点，，，…，在“衍生直线”上，即在直线上， ∴， ∴． 同理可求出，…，． 故答案为：，，，； ②点，，…，在同一条直线上． 令，， ∴， ∴， 这条直线的表达式为． 【点睛】本题为二次函数和一次函数的综合题，考查二次函数和一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，正方形的性质，幂的运算，坐标与图形等知识．理解题意，掌握“衍生直线”的定义是解题关键． 27. 在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点． （1）如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． ①求证：． ②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． （2）如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②存在， （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）①证出．，则可得出结论； ②作点D关于点O的对称点K，连接，证明，得出．则可得出结论； （2）连接，取点D关于y轴的对称点M，连接．证明，得出．，，从而得到为等腰直角三角形．再证明，则可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵， ∴为等腰直角三角形，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ②存在． 证明：如图，作点D关于点O的对称点K，连接， ∴，， ∴， ∴． ∵点D关于点P的对称点为Q， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，． ∵ ∴ ∵点P在x负半轴上， ∴， ∴存在这样的点，使得对于任意的点D，总有成立． 【小问2详解】 解： 证明连接，取点D关于y轴的对称点M，连接． 由C为的中点， ∴，， ∴和都为等腰直角三角形． 又， ∴，， ∴， ∴．，， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵． ∴． 由点D与点M关于y轴对称， ∴，，， ∴； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 28. 如图（1），点O是线段的中点，点A、点C分别是在线段、上的点，且，使线段绕点O顺时针旋转，以O为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连结，如图（2）． （1）和有什么特殊位置关系？请说明理由； （2）设小半圆与相交于点E，． ①当取得最大值时，求其最大值以及的长； ②当恰好与小半圆相切时，求阴影部分的面积． 【答案】（1），理由见解析 （2）①最大值36， ② 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及扇形面积计算，熟知相关性质定理及公式是正确解决本题的关键. （1）根据全等三角形的判定与性质可得结论； （2）①当时，取得最大值，根据三角形面积公式可得答案；②当恰好与小半圆相切时，，然后根据直角三角形的性质及扇形面积公式可得答案． 【小问1详解】 解： 理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，取得最大值， 最大值， 在中， ， ∴； ②当恰好与小半圆相切时，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A. B. C. D. 2. 直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 4. 下面的五个问题中都有两个变量： ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间； ②汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间； ③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间； ④三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高； ⑤矩形面积一定时，周长与一边长； 其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ①④⑤ 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2-4ac＞0；③a+b+c＞0；④a-b+c＞0．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别是的切线，A，D为切点，经过圆心O交于点E，连接，若，则（　　） A. 28° B. 45° C. 52° D. 59° 8. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于、两点，与轴交于点交双曲线于点，连接，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共16分，每题2分） 9. 已知实数x，y满足，则的最大值为 _____． 10. 拋物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是_____． 11. 如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为_______． 12. 若点、都在抛物线上，则该抛物线的对称轴是直线______． 13. 已知函数的图象过点，则m的值是______. 14. 如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为___________． 15. 在直角坐标平面内有一点，如果射线与轴正半轴的夹角为，那么______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，则∠ABC的大小为____；若坐标轴上存在点F（F与C不重合），使得，则点F的坐标为_____． 三．解答题（共68分，第17，20-24题每题5分；第18-19，25-26题每题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 如图，点D是中边上一点，以为直径的与相切于点C，连接． （1）判断与是否相似？并说明理由． （2）若的半径为3， ，求的长度． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）建立平面直角坐标系，用五点法画出这个二次函数的图像； （3）当时，结合图像直接写出函数的取值范围． 20. 如图，是的直径，点B在线段的延长线上，直线与相切于点D．连接． （1）尺规作图：过点A作，交延长线于点C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）①求证：平分； ②若，求的长． 21. 嵩岳寺塔，位于登封市区西北5公里嵩山南麓峻极峰下嵩岳寺内，是嵩岳寺内唯一的北魏遗存建筑，也是中国现存最古老的砖塔，它见证了这座寺院的千年历史．小明想知道塔的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是，向前走了米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是米，请你帮他求出嵩岳寺塔的高度．（参考数据：，，） 22. 一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深为19米时，求此时水面的宽． 23. 如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 24. 如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围． 25. 如图，的直径经过弦的中点E，连接，经过点A的切线与的延长线交于点 P． （1）求证：； （2）若，求的长 26. 定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点． （1）求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标； （2）如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______； ②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 27. 在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点． （1）如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． ①求证：． ②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． （2）如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明． 28. 如图（1），点O是线段的中点，点A、点C分别是在线段、上的点，且，使线段绕点O顺时针旋转，以O为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连结，如图（2）． （1）和有什么特殊位置关系？请说明理由； （2）设小半圆与相交于点E，． ①当取得最大值时，求其最大值以及的长； ②当恰好与小半圆相切时，求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $