精品解析：湖北省武汉市光谷外国语学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试题

武汉光谷外国语学校2024~2025学年九年级数学9月考试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 和 B. 和3x C. 2和 D. 2和3 2. 一元二次方程的根为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 抛物线的对称轴为直线，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 一元二次方程的根的判别式的值为（　　） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 将进行配方变形，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　） A. y＝﹣2（x﹣1）2+1 B. y＝﹣2（x+3）2﹣5 C. y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D. y＝﹣2（x+3）2+1 10. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当 时， D. 当时，y随x的增大而减小 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程化为一元二次方程的一般形式是______． 12. 二次函数的最小值是_________． 13. 已知关于 的一元二次方程的一个根是，则__________． 14. 抛物线 的部分图象如图所示，则当 时，x的取值范围是______； 15. 若关于 的二次方程的常数项等于，则 的值为___． 16. 已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度 为时，水面与桥拱顶的高度 等于___． 三、解答题（共5小题，共52分） 17. （1）公式法解方程：； （2）配方法解方程：． 18. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 19. 如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为 ，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？ 20. 已知关于 的方程． （1）当该方程有实数根时，求 的范围； （2）若该方程的两个根满足，求 的值． 21. 如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹． （1）以为旋转中心，将线段 逆时针旋转至线段，连接 ； （2）作于 ； （3）将 绕点顺时针旋转至，旋转角度等于． 四、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 22. 已知关于 的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为______． 23. 某学校开办篮球比赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是________ 24. 在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为________． 25. 若点在二次函数 的图象上，且点到 轴的距离小于2，则的取值范围是______． 26. 关于 的一元二次方程在 范围内有且只有一个根，则 的取值范围为___． 27. 已知二次函数的图象与 轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中： ； 若为常数，则方程一定有两个不相等的实数根； 若 为任意实数，则； 若，且该抛物线上存在、两点，满足，则 的取值范围是，正确结论为_____ 五、解答题（共3小题，共32分） 28. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖高度为 ．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离 为d（单位：m）． （1）直接写出上、下边缘抛物线的函数解析式；（不写自变量的取值范围） （2）此时，距喷水口水平距离为6.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d（米）的取值范围． 29. 如图，在中， ， D，E分别为 上两动点， ． （1）如图1，若 于H交 于K，求证： ； （2）如图2，若 交 于F， ， ，求证： ； （3）如图3，若 ，将绕点E顺时针旋转得 ，N为 中点，当 取得最小值时，请直接写出 的面积． 30. 如图1，抛物线与 轴交于 、 两点（ 点在 点左侧），与 轴负半轴交于点，若 且． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； （3）如图2，直线与线段 交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于 、 两点， 若恒为定值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉光谷外国语学校2024~2025学年九年级数学9月考试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 和 B. 和3x C. 2和 D. 2和3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．根据“一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且 ）其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项”，即可求解． 【详解】解：方程的二次项系数和一次项系数分别为2和． 故选：C 2. 一元二次方程的根为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 4. 抛物线的对称轴为直线，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据抛物线的对称轴为直线，计算即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故选：B． 5. 一元二次方程的根的判别式的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的判别式为，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选：C． 6. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式 ，顶点坐标为，即可得出结果． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为； 故选C． 7. 将进行配方变形，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题使用配方法进行解答，配方法的一般步骤：把常数项移动到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】移项： 配方： 即 故本题选A． 【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤． 8. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故选：D． 9. 将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　） A. y＝﹣2（x﹣1）2+1 B. y＝﹣2（x+3）2﹣5 C. y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D. y＝﹣2（x+3）2+1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象的平移规律得出答案，平移规律为：左加右减，上加下减. 【详解】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5． 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 10. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当 时， D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答D，最后根据对称性说明C即可． 【详解】解：当 时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，故A正确； ∴顶点为， ∴抛物线的开口向下，故B正确； ∴当时，y随着x的增大而减小，故D正确； ∵抛物线对称轴为直线 ∴ 时，与时的函数值相等，即 ，故C错误； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程化为一元二次方程的一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 12. 二次函数的最小值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向，把抛物线配方变顶点式，确定顶点的最值位置即可得出答案． 【详解】二次函数=（x-1）2+1， ∵a=1 0,抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点（1，1）， 抛物线的最小值是1． 故答案为:1． 【点睛】本题考查抛物线的最值问题，会确定抛物线的开口方向，会把抛物线变成顶点式，，特别是自变量由范围时，考虑对称轴是否在区间内，会求边值比较是关键． 13. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】解题考查一元二次方程根的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据一元二次方程根的定义得，即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 抛物线 的部分图象如图所示，则当 时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当 时，x的取值范围是， 故答案为：． 15. 若关于的二次方程的常数项等于，则 的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得 ，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得 ，且， 解得 ，且， ∴． 故答案为：2． 16. 已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度 为时，水面与桥拱顶的高度 等于___． 【答案】##4米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意把直接代入解析式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得点 的横坐标为， 把代入得 ， ∴， ∴水面与桥拱顶的高度 等于， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，共52分） 17. （1）公式法解方程：； （2）配方法解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法是解题的关键． （1）公式法解方程即可； （2）配方法解方程即可． 【详解】解：（1）， ∴， ，，， ∴， ∴，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴是直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数表达式的方法以及二次函数的性质是解题关键． （1）把，，代入列出方程组求得、、 的值，即可得出二次函数表达式； （2）首先把求出的二次函数表达式进行配方，由此得出抛物线的对称轴和顶点坐标即可. 【小问1详解】 解：把，，代入得： ，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解： ， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． 19. 如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为 ，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？ 【答案】框边宽为2厘米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设框边宽为厘米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设框边宽为厘米． ， （不合题意，舍去） 答：框边宽为2厘米． 20. 已知关于的方程． （1）当该方程有实数根时，求 的范围； （2）若该方程的两个根满足，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据，解不等式即可； （2）由根与系数的关系得出和的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：关于的方程有实数根， ， 解得：． 故 的取值范围是． 【小问2详解】 解： ，， ， ， 解得，， 又， ． 21. 如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹． （1）以为旋转中心，将线段逆时针旋转 至线段 ，连接； （2）作于； （3）将 绕点顺时针旋转至，旋转角度等于． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的射线解决问题． （1）根据旋转变换的性质作出点的对应点即可； （2）取格点，，连接交于点，连接，线段即为所求； （3）取点，使得，取格点，作射线（目的使得旋转角），取格点 ，连接 交于点（目的使得），即为所求． 【小问1详解】 解：根据旋转变换的性质，在网格中取格点，连接线段 ， 如图： 【小问2详解】 解：取格点，，连接交于点，连接，如上图， 根据网格知识， ， 又∵ ， ∴． 【小问3详解】 解：取点，使得，取格点，作射线，则，取格点 ，连接 交于点，即，则即为所求，如上图所示． 四、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 22. 已知关于的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．先利用根与系数的关系得到，再根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：由根与系数的关系得到， ， ， ， ， 故答案为：． 23. 某学校开办篮球比赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设参加比赛的球队有支，根据题意得： ． 故答案为：． 24. 在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正切，旋转的性质．熟练掌握勾股定理，正切，旋转的性质是解题的关键． 如图，过作轴于 ，由，可得 ，由旋转的性质可知，，，则，在轴的负半轴上，然后作答即可． 【详解】解：如图，过作轴于 ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 25. 若点在二次函数 的图象上，且点到 轴的距离小于2，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．由题意可知 ，根据m的范围即可确定n的范围． 【详解】解：∵ ， ∴二次函数 的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线， ∵到y轴的距离小于2， ∴ ， 而， 当， 当时， ， ∴n的取值范围是， 故答案为：． 26. 关于的一元二次方程在 范围内有且只有一个根，则 的取值范围为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键． 当，解得；当，有或，分别解不等式组即可得出答案． 【详解】解：当一元二次方程有两个相等的实数根，且在 的范围内时， 则， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴， 当一元二次方程有两个不相等的实数根，且只有一个在 的范围内时， ， 解得：，或， 当时， ， ∵， 设，则不在 的范围内， ∴， 解得， 当时，原方程为：，解得，，，两个根都在 的范围内，不符合题意； 当 时，原方程为：，解得，，， 不在 的范围内，符合题意； 因此， 当时，， ∵， ∴不在 的范围内， ∴， 解得无解， ∴ 的取值范围为或， 故答案为：或． 27. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中： ； 若为常数，则方程一定有两个不相等的实数根； 若 为任意实数，则； 若，且该抛物线上存在、两点，满足，则 的取值范围是，正确结论为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，由抛物线经过可判断 ；由二次函数的性质从而判断 ；由时 取最大值可判断 ；利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断 ；掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：因为二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，则 ，故 正确； 方程的实数根可看成函数的图象与直线交点的横坐标，因为，且，所以函数的图象与直线一定有两个不同的交点， 即方程一定有两个不相等的实数根，故 正确； 因为抛物线的对称轴为直线，且， 则当时，函数取得最大值，即对于任意的， 总有，即，故 错误； 由题意得，是一元二次方程的两个根， 因二次函数有对称性，关于对称，所以当且仅当，存在点、，当时，满足，即当时，满足题设，故 正确； 综上，正确， 故答案为：． 五、解答题（共3小题，共32分） 28. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖高度为 ．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离 为d（单位：m）． （1）直接写出上、下边缘抛物线的函数解析式；（不写自变量的取值范围） （2）此时，距喷水口水平距离为6.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d（米）的取值范围． 【答案】（1）， （2）不会，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，用待定系数法求解析式即可； （2）将代入，解得，或（舍去），则，进行判断作答即可； （3）将代入解得，或（舍去），当时，要使，则，进而可求，由下边缘抛物线可得，，然后作答即可． 【小问1详解】 解：上边缘抛物线的顶点是，设上边缘抛物线的解析式是：， 把点代入得：， 解得：； ∴上边缘：； 下边缘抛物线的顶点是，设下边缘抛物线的解析式是：， 把点代入得：， 解得：， ∴下边缘：； 【小问2详解】 解：令 解得：， ∴， ∴， 答：该行人不会被洒水车淋到水； 【小问3详解】 解：将代入得，，整理得，， 解得，或（舍去）， ∵当时， 随的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∴， 由下边缘抛物线可得，， 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数的平移．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 29. 如图，在中， ， D，E分别为上两动点， ． （1）如图1，若 于H交于K，求证： ； （2）如图2，若 交 于F， ， ，求证： ； （3）如图3，若 ，将绕点E顺时针旋转得 ，N为 中点，当 取得最小值时，请直接写出 的面积． 【答案】（1） 证明： ，， ， 在和中， ， ， ， 又 ， 于交 于 ， ， ， ， ； （2） 证明：如图，过点作 ，交的延长线于点，连接 交 于点，    ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ， 设 ， ， 则 ， ， ， ∴ ， ∴，且 ， ∴ ， ∴， （3）6 【解析】 【分析】（1）先证明 ，然后推导 ，根据在同一个三角形中等角对等边得到 ； （2）过点作 ，交的延长线于点，连接 交 于点，则 ，可以证明 ，然后证明 ，即可得到 ，然后设 ， ，则根据 即可得到结论； （3）过点作 于 ，过点作 延长线于，连接，连接 交 于，过点 作 交 于， 证明 ，故当 三点共线时, 的值最小(两点之间，线段最短) ，此时 取得最小值，算出此时 和的长，最后根据 ,代入计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作 于 ，过点作 延长线于，连接，连接 交 于，过点 作 交 于，    ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 为中点， 为中点， ， ， 为中点， ， ∴ ， 是 的中点， 是 的中位线， ∴ ， 在 和 中， ， ， ， ， 如图，当、 、三点共线时， 的值最小（两点之间，线段最短）， 此时 取得最小值， ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，构造辅助线、数形结合画出图象分析和计算是解题的关键． 30. 如图1，抛物线与轴交于、 两点（点在 点左侧），与 轴负半轴交于点，若 且． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； （3）如图2，直线与线段 交于点，与抛物线交于点 ，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、 两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、 的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及 构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出 和 ，表示出，利用恒为定值即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点， ∵的对称轴为直线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴，， ∵， ∴ ， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为 ； 【小问2详解】 解：如图，过点 作轴，交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； 【小问3详解】 解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $