专题训练2-2：有理数运算之定义新运算专练-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙教版2024）

有理数运算之定义新运算专练 1．（2023秋•婺城区校级月考）定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，则（﹣2）※（﹣1）的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 2．（2023秋•义乌市校级月考）定义a*b＝3a+b，a⊕b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（　　） ①2⊕（﹣1）＝﹣5； ②（﹣3）*（﹣2）＝﹣7； ③若a*b＝b*a，则a＝b； ④（2*3）⊕（2⊕3）＝﹣80． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•萧山区校级月考）现定义运算“⊕”对于任意两个整数，a⊕b＝a+b﹣1，则1⊕（3⊕5）的结果是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2023秋•乐清市校级月考）如图所示是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为27，则第5次输出的结果为（　　） A．3 B．27 C．9 D．1 5．（2023秋•文成县期中）定义一种新运算：a*b＝a2×b﹣（b﹣a），如2*3＝22×3﹣（3﹣2）＝11，则8*2＝　 　． 6．（2022秋•诸暨市期中）定义一种新运算：a*b＝，则（﹣1）*（2*3）＝　 　． 7．（2023秋•乐清市校级月考）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，则计算3※（﹣5）＝　 　． 8．（2023秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（﹣）]＝　 　． 9．（2023秋•鹿城区校级期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将﹣4，﹣2，﹣1，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（d﹣c）a+b的值为 　 　． 10．（2023秋•江北区月考）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．通过以上信息，请计算：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝　 　． 11．（2022秋•上虞区校级期中）若规定，则a⊗b＝，则[（﹣3）⊗（﹣2）]⊗（﹣7）＝　 　． 12．（2023秋•西湖区校级月考）现定义两种运算“⊗”、“⊕”（其余符号定义如常），对于任意两个数a，b，a⊕b＝|2a+b|﹣2，a⊗b＝|2a×b|﹣2，则﹣3⊗（2⊕3）的值是 　 　． 13．（2023秋•下城区校级月考）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算“※”，当a≥b时，a※b＝a；当a＜b时，a※b＝b．例如：3※2＝3，2※3＝3，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是 　 　． ①[3※（﹣2）]※4＝4； ②﹣（1※2）＝（﹣1）※（﹣2）； ③a※b＝b※a； ④（a※b）※c＝a※（b※c）． 14．（2023秋•西湖区校级月考）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12…，则第2023次输出的结果为 　 　． 15．（2023秋•富阳区校级月考）定义一种新运算：a※b＝a+b﹣ab，如2※（﹣2）＝2+（﹣2）﹣2×（﹣2）＝4，那么（﹣1）※2＝　 　． 16．（2023秋•西湖区校级期中）定义运算a※b＝ab﹣a﹣b，如1※3＝1×3﹣1﹣3＝﹣1． （1）求2※3的值； （2）求2※（﹣1※3）的值． 17．（2023秋•江山市期中）对于两个有理数a，b，我们对运算“☆”作出如下定义：若a＜b，则a☆b＝ab﹣1；若a≥b，则a☆b＝﹣ab+1． （1）计算：（﹣3）☆7； （2）若|a﹣4|+（b+2）2＝0，求（a☆b）☆（﹣4b）的值． 18．（2022秋•衢江区校级月考）设[a]表示取a的整数部分，例如：． （1）求的值； （2）令{a}＝a﹣[a]，求． 19．（2023秋•临海市校级月考）符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，…f（10）＝9，…； （2），，，，…，…． 利用以上规律计算：＝　 　． 20．（2023秋•余杭区校级月考）规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得（a+2）×2﹣b，即a※b＝（a+2）×2﹣b，例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5，根据上面规定解答下题： （1）求7※（﹣3）的值； （2）①请判断7※（﹣3）与（﹣3）※7的值是否相等，并说明理由． ②尝试判断a※b与b※a是否有相等的可能？说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 有理数运算之定义新运算专练 1．（2023秋•婺城区校级月考）定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，则（﹣2）※（﹣1）的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 【分析】根据题中给出的运算法则得出有理数混合运算的式子，进而可得出结论． 【解答】解：∵a※b＝b2﹣ab， ∴（﹣2）※（﹣1） ＝（﹣1）2﹣（﹣2）×（﹣1） ＝1﹣2 ＝﹣1． 故选：A． 2．（2023秋•义乌市校级月考）定义a*b＝3a+b，a⊕b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（　　） ①2⊕（﹣1）＝﹣5； ②（﹣3）*（﹣2）＝﹣7； ③若a*b＝b*a，则a＝b； ④（2*3）⊕（2⊕3）＝﹣80． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据a*b＝3a+b，a⊕b＝b﹣a2，可以分别计算出各个小题中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 2⊕（﹣1）＝（﹣1）﹣22＝﹣5，故①正确，符合题意； （﹣3）*（﹣2）＝3×（﹣3）+（﹣2）＝﹣11，故②错误，不符合题意； 若a*b＝b*a，则3a+b＝3b+a，可得a＝b，故③正确，符合题意； （2*3）⊕（2⊕3） ＝（3×2+3）⊕（3﹣22） ＝（6+3）⊕（3﹣4） ＝9⊕（﹣1） ＝（﹣1）﹣92 ＝（﹣1）﹣81 ＝﹣82，故④错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2023秋•萧山区校级月考）现定义运算“⊕”对于任意两个整数，a⊕b＝a+b﹣1，则1⊕（3⊕5）的结果是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得：3⊕5＝3+5﹣1＝7， ∴1⊕（3⊕5） ＝1⊕7 ＝1+7﹣1 ＝7． 故选：A． 4．（2023秋•乐清市校级月考）如图所示是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为27，则第5次输出的结果为（　　） A．3 B．27 C．9 D．1 【分析】把x的值代入运算程序中计算即可． 【解答】解：把x＝27代入得：×27＝9， 把x＝9代入得：×9＝3， 把x＝3代入得：×3＝1， 把x＝1代入得：1+2＝3， 依此类推， 则第5次输出的结果为1， 故选：D． 5．（2023秋•文成县期中）定义一种新运算：a*b＝a2×b﹣（b﹣a），如2*3＝22×3﹣（3﹣2）＝11，则8*2＝　134　． 【分析】根据a*b＝a2×b﹣（b﹣a），可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a*b＝a2×b﹣（b﹣a）， ∴8*2 ＝82×2﹣（2﹣8） ＝64×2﹣（﹣6） ＝128+6 ＝134， 故答案为：134． 6．（2022秋•诸暨市期中）定义一种新运算：a*b＝，则（﹣1）*（2*3）＝　　． 【分析】根据a*b＝，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a*b＝， ∴（﹣1）*（2*3） ＝（﹣1）* ＝（﹣1）* ＝（﹣1）*（﹣6） ＝ ＝ ＝， 故答案为：． 7．（2023秋•乐清市校级月考）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，则计算3※（﹣5）＝　﹣7　． 【分析】根据※的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出3※（﹣5）的值是多少即可． 【解答】解：3※（﹣5） ＝3×（﹣5）+3﹣（﹣5） ＝﹣15+3+5 ＝﹣7 故答案为：﹣7． 8．（2023秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（﹣）]＝　9　． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：2★[（﹣2）★（﹣）] ＝2★[（﹣2）﹣（﹣）2] ＝2★[（﹣2）﹣3] ＝2★（﹣5） ＝22﹣（﹣5） ＝4+5 ＝9， 故答案为：9． 9．（2023秋•鹿城区校级期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将﹣4，﹣2，﹣1，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（d﹣c）a+b的值为 　﹣32768　． 【分析】先根据题意列出等式，求出d﹣c的值，然后再利用转化思想求出a+b的值． 【解答】解：由题意得，a+c﹣4＝a+d+4，即d﹣c＝﹣8， ∵﹣4﹣2﹣1+2+3+4+6+7＝15， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴a+b+4﹣4＝＝5，即a+b＝5， ∴（d﹣c）（a+b）＝（﹣8）5＝﹣32768， 故答案为﹣32768． 10．（2023秋•江北区月考）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．通过以上信息，请计算：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝　3　． 【分析】认真读懂题意，利用新定义计算即可． 【解答】解：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰ ＝2022÷2022×（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）+ ＝1×4+（﹣1） ＝3． 故答案为：3． 11．（2022秋•上虞区校级期中）若规定，则a⊗b＝，则[（﹣3）⊗（﹣2）]⊗（﹣7）＝　6　． 【分析】利用新运算的规定先运算括号内的，再运算括号外的． 【解答】解：原式＝[2×（﹣2）]⊗（﹣7） ＝（﹣4）⊗（﹣7） ＝﹣（﹣7） ＝+7 ＝6， 故答案为：6． 12．（2023秋•西湖区校级月考）现定义两种运算“⊗”、“⊕”（其余符号定义如常），对于任意两个数a，b，a⊕b＝|2a+b|﹣2，a⊗b＝|2a×b|﹣2，则﹣3⊗（2⊕3）的值是 　28　． 【分析】根据a⊕b＝|2a+b|﹣2，a⊗b＝|2a×b|﹣2，代入计算即可． 【解答】解：∵a⊕b＝|2a+b|﹣2，a⊗b＝|2a×b|﹣2， ∴﹣3⊗（2⊕3）＝﹣3⊗（|2×2+3|﹣2）， ＝﹣3⊗5， ＝|2×（﹣3）×5|﹣2， ＝28， 故答案为：28． 13．（2023秋•下城区校级月考）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算“※”，当a≥b时，a※b＝a；当a＜b时，a※b＝b．例如：3※2＝3，2※3＝3，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是 　①③④　． ①[3※（﹣2）]※4＝4； ②﹣（1※2）＝（﹣1）※（﹣2）； ③a※b＝b※a； ④（a※b）※c＝a※（b※c）． 【分析】各式利用题中的新定义计算判断即可． 【解答】解：①[3※（﹣2）]※4＝3※4＝4，正确； ②﹣（1※2）＝﹣2，（﹣1）※（﹣2）＝﹣1，所以﹣（1※2）≠（﹣1）※（﹣2），原式错误； ③当a≥b时，a※b＝a，b※a＝a，所以a※b＝b※a； 当a＜b时，a※b＝b，b※a＝b，所以a※b＝b※a； 综上，a※b＝b※a，正确； ④（a※b）※c＝a※（b※c），正确． 故答案为：①③④． 14．（2023秋•西湖区校级月考）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12…，则第2023次输出的结果为 　6　． 【分析】将48输入后会发现输出结果依次为24，12，6，3，6，3，6，…的规律依次出现，且当结果输出的次数大于2时，第奇数次结果为6，第偶数次结果为3，所以结果为6． 【解答】解：将48输入后会发现输出结果依次为24，12，6，3，6，3，6，…的规律依次出现， 且当结果输出的次数大于2时，第奇数次结果为6，第偶数次结果为3， ∴第2023次输出的结果为6． 故答案为：6． 15．（2023秋•富阳区校级月考）定义一种新运算：a※b＝a+b﹣ab，如2※（﹣2）＝2+（﹣2）﹣2×（﹣2）＝4，那么（﹣1）※2＝　3　． 【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：（﹣1）※2＝﹣1+2﹣（﹣2）＝﹣1+2+2＝3． 故答案为：3 16．（2023秋•西湖区校级期中）定义运算a※b＝ab﹣a﹣b，如1※3＝1×3﹣1﹣3＝﹣1． （1）求2※3的值； （2）求2※（﹣1※3）的值． 【分析】（1）根据a※b＝ab﹣a﹣b，可以求得所求式子的值； （2）根据a※b＝ab﹣a﹣b，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）∵a※b＝ab﹣a﹣b， ∴2※3 ＝2×3﹣2﹣3 ＝6﹣2﹣3 ＝1； （2）2※（﹣1※3） ＝2※（﹣1×3+1﹣3） ＝2※（﹣3+1﹣3） ＝2※（﹣5） ＝2×（﹣5）﹣2+5 ＝﹣10﹣2+5 ＝﹣7． 17．（2023秋•江山市期中）对于两个有理数a，b，我们对运算“☆”作出如下定义：若a＜b，则a☆b＝ab﹣1；若a≥b，则a☆b＝﹣ab+1． （1）计算：（﹣3）☆7； （2）若|a﹣4|+（b+2）2＝0，求（a☆b）☆（﹣4b）的值． 【分析】（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）先根据绝对值和偶次方的非负性可得a﹣4＝0，b+2＝0，从而可得a＝4，b＝﹣2，然后代入式子中，按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：（﹣3）☆7 ＝×（﹣3）×7﹣1 ＝﹣﹣1 ＝﹣； （2）∵|a﹣4|+（b+2）2＝0， ∴a﹣4＝0，b+2＝0， ∴a＝4，b＝﹣2， ∴（a☆b）☆（﹣4b） ＝[4☆（﹣2）]☆8 ＝[﹣×4×（﹣2）+1]☆8 ＝5☆8 ＝×5×8﹣1 ＝20﹣1 ＝19． 18．（2022秋•衢江区校级月考）设[a]表示取a的整数部分，例如：． （1）求的值； （2）令{a}＝a﹣[a]，求． 【分析】（1）根据题意[a]表示取a的整数部分即可求解； （2）先根据{a}＝a﹣[a]，将化成2﹣2﹣[﹣2.4]+（﹣6）﹣（﹣7），再根据[a]表示取a的整数部分即可求解． 【解答】解：（1） ＝2+（﹣4）﹣（﹣7） ＝2+（﹣4）+7 ＝5； （2） ＝2﹣2﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣7） ＝2﹣2+3+（﹣6）+7 ＝4． 19．（2023秋•临海市校级月考）符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，…f（10）＝9，…； （2），，，，…，…． 利用以上规律计算：＝　1　． 【分析】观察（1）（2）找出规律可知：f（n）＝n﹣1，，然后根据规律，进行计算即可． 【解答】解：观察（1）可知：f（n）＝n﹣1，观察（2）可知：， ∴ ＝2023﹣（2023﹣1） ＝2023﹣2022 ＝1， 故答案为：1． 20．（2023秋•余杭区校级月考）规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得（a+2）×2﹣b，即a※b＝（a+2）×2﹣b，例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5，根据上面规定解答下题： （1）求7※（﹣3）的值； （2）①请判断7※（﹣3）与（﹣3）※7的值是否相等，并说明理由． ②尝试判断a※b与b※a是否有相等的可能？说明理由． 【分析】（1）直接用新运算列代数式，然后再按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）①先计算出两式的值，然后比较即可；②先根据新定义的运算法则计算，然后判断即可解答． 【解答】解：（1）7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝21． （2）①（﹣3）※7＝（﹣3+2）×2﹣7＝﹣2﹣7＝﹣9，由21≠﹣9，则7※（﹣3）与（﹣3）※7的值不相等． ②a※b＝（a+2）×2﹣b，b※a＝（b+2）×2﹣a， 如果相等则有（a+2）×2﹣b＝（b+2）×2﹣a， ∴2a+4﹣b＝2b+4﹣a， ∴a＝b， ∴当a＝b时，才有a※b＝b※a． ∴a※b＝b※a是有可能的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$