微专题02 平面直角坐标系规律问题通关专练-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

微专题02 平面直角坐标系规律问题通关专练 一、单选题 1．小明在编程课中，通过程序控制机械狗在一个格方上走动的坐标变化为，根据以上规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2024次跳动至点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在一单位为1的方格纸上，有一列点，，，…，，…，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，，，，…，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，点在轴正半轴及轴正半轴上运动，点从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，，，，，……，按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿向左、右分别运动到点、 点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，动点P按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，第六次从运动到……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2024次，点P的坐标是（   ） A．(1011，506) B．(1011，) C．(1012，506) D．(1012，) 11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，，根据这个规律，第2023个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 14．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 15．平面直角坐标系中有若干点，按照如图所示的方式排列，其坐标依次为，，，，，…按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点……，按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，动点按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，第六次从运动到……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2023次，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，……，按此规律下去，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　） A． B． C． D． 20．已知点，点，点是线段的中点，则．在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为（即三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律以为对称点重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 21．如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…按这样的规律，第2024秒运动到点 ． 22．如图，一只电子蚂蚁P，在平面直角坐标系xOy中按箭头所示方向作折线运动，即，，，，，，…，按照这样的运动规律，的坐标为 ；的坐标为 ． 23．如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发，按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第2023次运动后的坐标为 ． 24．如图，已知，，，，，，……，按这样的规律，则点的坐标为 ． 25．如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到，…，按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 26．如图，平面直角坐标系内有一条折线从原点出发后，在第一象限内曲折前行，已知 ， ， ， ；依照这个规律，其中，，，则的坐标是 ． 27．如图，在平面直角坐标系中，已知，点向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…；按这个规律平移，则的横坐标为 ． 28．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标 ． 29．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边OA在x轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形…依此规律，则点的坐标是 ． 30．在平面直角坐标系中，一个动点按一定的规律运动，已知，，，，，···，则点的坐标为 ． 三、解答题 31．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 32．【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 33．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 34．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即 按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 35．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 36．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，． (1)若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____； (2)把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____． 37．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将1变换成，第三次将变换成. (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是　 　，的坐标是　 　． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是　 　，的坐标是　 　． (3)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，则的面积S为　 　． 38．综合与实践 (1)问题背景： 已知，，，．在图中所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，然后写出它们的坐标，则______________，_______________． (2)探究发现： 结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为_________________． (3)拓展应用： 利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E，点F，点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 39．如图，每个小方格边长为1个单位长度，已知点，，，，，，，，… (1)将图中的平面直角坐标系补画完整； (2)按此规律，请直接写出点和的坐标：_____________，：_______________． 40．电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网，例如，再下一步即． （1）若则坐标是______，的坐标是_______． （2）分别取坐标，根据你对蜘蛛织网的理解，请在网格上画出这两张网． （3）在电子蜘蛛织网过程中，第n步的坐标，请你写出第1步所有可能的结果． （4）进一步思考：若点那么点有没有可能始终在y轴的右侧，若有可能直接写出a，b的取值范围．若不可能说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 平面直角坐标系规律问题通关专练 一、单选题 1．小明在编程课中，通过程序控制机械狗在一个格方上走动的坐标变化为，根据以上规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查点坐标规律探索，根据题意得出相应规律求解即可，确定相应规律是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴点的坐标为，即为， 故选：C． 2．如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律，解题的关键是找到点的坐标变化规律，根据已知点的坐标表示出第n个点的坐标，得出坐标的规律，然后求得点的坐标即可． 【详解】解：观察偶数项的坐标规律：， ，，……， 可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2， ∵2024为偶数， ∴的坐标为， 故选：C． 3．如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索，平移的性质； 根据平移方式先求得的横坐标，找到规律，即点的横坐标为，进而可求得的横坐标． 【详解】解：点的横坐标为， 点的横坐为标， 点的横坐标为， 点的横坐标为， … ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，由四边形的周长找出细线另一端点所在的位置是解题的关键．由点，，，的坐标可得出四边形为矩形及，的长，由矩形的周长公式可求出矩形的周长，结合可得出细线的另一端在线段上且距点1个单位长度，结合点的坐标即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，，四边形为矩形， ． ， 细线的另一端在线段上，且距点1个单位长度， 细线的另一端所在位置的点的坐标是，即． 故选：C 5．如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2024次跳动至点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，的坐标为，根据规律直接求解即可． 【详解】解：根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1， ∴的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：A． 6．在一单位为1的方格纸上，有一列点，，，…，，…，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，，，，…，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标的规律探索，根据直角坐标系得出坐标的规律是解题关键．观察坐标系发现，即可得到的坐标． 【详解】解：由直角坐标系可知，，，，…， 观察可知，， ， 的坐标为，即． 故选：B． 7．如图，点在轴正半轴及轴正半轴上运动，点从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律探索．每个坐标为一组可得，第n组：当n为奇数时，，当n为偶数时，，即可求解． 【详解】解：根据题意，将连续的2个点A看成一组， 第1组：，， 第2组：，， 第3组：，， 第4组：，， ……， 第n组：当n为奇数时，，当n为偶数时，， ∵， ∴第1012组第2个坐标， ∴点的坐标是 故选：C． 8．如图，已知，，，，，，……，按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律，通过给定的规律求出点的横坐标和纵坐标，从而得到点的坐标． 通过分析可得，的横坐标的规律是 的纵坐标个一循环，，所以，分别求出的横坐标和纵坐标即可得到结果． 【详解】解：的横坐标为 的纵坐标每个一循环， 的横坐标为， 的纵坐标为， 故的纵坐标为， 故的坐标为， 故选：D． 9．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿向左、右分别运动到点、 点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可知每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2， ∴动点A完成第2024次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：， ∴从左往右数的第二个点的坐标是，即， 故选D． 10．如图，在平面直角坐标系中，动点P按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，第六次从运动到……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2024次，点P的坐标是（   ） A．(1011，506) B．(1011，) C．(1012，506) D．(1012，) 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中坐标规律问题，根据题意得到第次的横坐标为，第次的横坐标也为，第次和第次纵坐标的为即可求解，正确探索变换规律时解题的关键． 【详解】根据题意可得， 第一次从原点运动到， 第二次从运动到， 第三次从运动到， 第四次从运动到， 第五次从运动到， 第六次从运动到， 第七次从运动到， 第八次从运动到， 第九次从运动到， … ∴第一次和第二次的横坐标都为1， 第三次和第四次的横坐标都为2， 第五次和第六次的横坐标都为3， ∴第次的横坐标为，第次的横坐标也为； ∴第2024次的横坐标为； 第二次和第三次的纵坐标都是1， 第四次和第五次的纵坐标都是， 第六次和第七次的纵坐标都是2， 第八次和第九次的纵坐标都是， ∴从第二次开始纵坐标依次为1，1，，，2，2，，，3，，… ∵第四次和第五次的纵坐标都是，第八次和第九次的纵坐标都是， ∴第次和第次纵坐标的为， ∴第2024次和第2025次的纵坐标都是， ∴经过第2024次，点P的坐标是． 故选：D． 11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，应先判断出第2024个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 【详解】把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，， 第n列有n个点，则n列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上， ∵， ∴第2024个点一定在第64列，由下到上是第8个点，即纵坐标为7， 因而第2024个点的坐标是， 故选：C． 12．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，，根据这个规律，第2023个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，观察图形，可以将图形进行按“┓”进行分组，每一个“┓”均是以x轴上的点开始或结束．当n为偶数时，以点开始，当n为奇数时，以点结束．点的总个数与有关：当时，共有个点；当时，共有个点，可推出当时，共有2025个点，而2023的纵坐标往上数2个单位为2，据此求解即可． 【详解】解：观察图形，可以将图形进行按“┓”进行分组，每一个“┓”均是以x轴上的点开始或结束．当n为偶数时，以点开始，当n为奇数时，以点结束．点的总个数与有关：当时，共有个点；当时，共有个点， ，45为奇数， ∴第2025个点的坐标是， 个点的纵坐标往上数2个单位为2， 个点的坐标是， 故选C． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2023次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：B． 14．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出点为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可见，点的坐标为，为正整数）． 当时， 则的坐标为． 故选：B． 15．平面直角坐标系中有若干点，按照如图所示的方式排列，其坐标依次为，，，，，…按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标正方形为单位格点变化规律，反应出点的坐标变化从特殊到一般再到特殊规律计算方法，同时也体现出第三象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的坐标（n为角标）求解． 根据每四个象限循环一周找到角标与坐标之间变化规律即可解题． 【详解】解：由题可知第一象限的点：，……角标除以4余数为2； 第二象限的点：…… 角标除以4余数为3； 第三象限的点：……角标除以4余数为0； 第四象限的点：……角标除以4余数为1； 由上规律可知：， ∴点在第三象限． 观察图形，得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，……， ∴第三象限点的横纵坐标数字规律：点的横纵坐标（n为角标） ∴点的坐标为． 故选：C． 16．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点……，按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，每5个点循环一次，由，可知与具有相同的特征，由，，，可推导一般性规律为，由，可求，则，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，每5个点循环一次， ∵， ∴与具有相同的特征， ∵，，， ∴可推导一般性规律为， ∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 17．如图，在平面直角坐标系中，动点按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，第六次从运动到……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2023次，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中坐标规律问题，根据题意得到第次的横坐标为，第次的横坐标也为，第次和第次纵坐标的为即可求解，正确探索变换规律时解题的关键． 【详解】根据题意可得， 第一次从原点运动到， 第二次从运动到， 第三次从运动到， 第四次从运动到， 第五次从运动到， 第六次从运动到， 第七次从运动到， 第八次从运动到， 第九次从运动到， … ∴第一次和第二次的横坐标都为1， 第三次和第四次的横坐标都为2， 第五次和第六次的横坐标都为3， ∴第次的横坐标为，第次的横坐标也为； ∴第2023次的横坐标为； 第二次和第三次的纵坐标都是1， 第四次和第五次的纵坐标都是， 第六次和第七次的纵坐标都是2， 第八次和第九次的纵坐标都是， ∴从第二次开始纵坐标依次为1，1，，，2，2，，，3，，… ∵第四次和第五次的纵坐标都是，第八次和第九次的纵坐标都是， ∴第次和第次纵坐标的为， ∴第2020次和第2021次的纵坐标都是， 则第2023次的纵坐标是． ∴经过第2023次，点P的坐标是． 故选：C． 18．如图，在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，……，按此规律下去，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据已知点坐标找到（n为正整数）的规律根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可． 【详解】解：∵，， ，， ，， ，， …， ∴可知（n为正整数）， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 19．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型点的坐标，先求出“凸”形的周长为，得到的余数为，即可求解，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长． 【详解】解：∵，，，，， ∴“凸”形的周长为， ∴的余数为， ∴细线另一端所在的位置的点在处上面个单位的位置，坐标为， 故选：D． 20．已知点，点，点是线段的中点，则．在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为（即三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律以为对称点重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用题目所给公式求出的坐标，然后利用公式求出对称点的坐标，依此类推即可求出的坐标；由的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：设， ，，且是的中点， ， 解得：， 同理可得： 每6个点一个循环， 点的坐标是 故选D． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的对称点的坐标，解题的关键在于找出对称点坐标的规律． 二、填空题 21．如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…按这样的规律，第2024秒运动到点 ． 【答案】 【分析】本题是点坐标规律探究，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环． 分析点的运动规律，找到循环次数即可求解． 【详解】解：分析图象可以发现，点的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位． ， 当第2024秒点位置在， 故答案为：． 22．如图，一只电子蚂蚁P，在平面直角坐标系xOy中按箭头所示方向作折线运动，即，，，，，，…，按照这样的运动规律，的坐标为 ；的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标点的规律探索，根据题目中给出的点的坐标结合坐标点的图，可以得出当n为偶数时，横坐标为前个点的横坐标加2，纵坐标为前一个点的纵坐标减1，当n为奇数时，横坐标为前一个点的横坐标加1，纵坐标为前一个点的纵坐标加2，从而得出当n为偶数时，的横坐标，的纵坐标，代入求值即可． 【详解】解：，，，，，， 通过点的坐标特点可以发现规律，当n为偶数时，横坐标为前个点的横坐标加2，纵坐标为前一个点的纵坐标减1，当n为奇数时，横坐标为前一个点的横坐标加1，纵坐标为前一个点的纵坐标加2， 则当n为偶数时，的横坐标， 的纵坐标， 当时，，， ， 当时，，， ， 故答案为：；． 23．如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发，按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第2023次运动后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式得出点第次运动到的点的坐标为 为正整数）是解题的关键． 根据题中所给的点的运动方式，发现纵坐标为3的这些点与运动次数之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点第一次运动到， 点第六次运动到， 点第十一次运动到， ， 由此可见，点第次运动到的点的坐标为 为正整数）． 当时， ，， 即点第2021次运动后的坐标为． 所以第2023次运动后的坐标为． 故答案为：． 24．如图，已知，，，，，，……，按这样的规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是点的坐标的规律，找出规律是解题的关键． 先得出点（n为正整数）的横坐标为，纵坐标每6个一循环，再求解即可． 【详解】解：点（n为正整数）的横坐标为，纵坐标每6个一循环， ∴点的横坐标为， ， 点的纵坐标与的纵坐标相同，为4， 点的坐标为， 故答案为：． 25．如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到，…，按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点的运动规律，掌握动点运动中横坐标、纵坐标运动的规律是解题的关键．先观察各点的横坐标可得，每跳一次，横坐标增加，再观察各点的纵坐标可得，当n为偶数时纵坐标为0，当n为奇数时，纵坐标为，当为偶数时符号为负，当为奇数时符号为正，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，观察图象，结合动点P第一次从跳到点，第二次跳到点，第三次跳到，第四次跳到，第五次跳到，第六次跳到．第七次跳到，第八次跳到，第九次跳到…， 横坐标为：， 纵坐标为：， 可知的横坐标为，当n为偶数时纵坐标为0，当n为奇数时，纵坐标为，当为偶数时符号为负，当为奇数时符号为正， ∴点的坐标是， 故答案为：． 26．如图，平面直角坐标系内有一条折线从原点出发后，在第一象限内曲折前行，已知 ， ， ， ；依照这个规律，其中，，，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据，，，…，找出横坐标和纵坐标的规律即可求解，将的横坐标按奇数和偶数分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ∴当为奇数时，，当为偶数时，， 当时，， 故答案为：． 27．如图，在平面直角坐标系中，已知，点向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…；按这个规律平移，则的横坐标为 ． 【答案】512572 【分析】本题主要考查了点的规律探索，解题的关键是根据已知点总结规律．根据点A向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…，得出规律：从点A开始，第偶数个点的横坐标为，纵坐标为：，最后代入数据求值即可． 【详解】解：∵点A向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…， ∴从点A开始，第偶数个点的横坐标为： ， 纵坐标为：； 当第2024个点时，， 解得：， ∴的横坐标为：． 故答案为：512572． 28．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是找出点的坐标的变化规律． 根据点的坐标、坐标的平移规律可知旋转一周的长度为20，然后可判断细线另一端所在位置的点在A，B中点处的y轴上，直接求解即可． 【详解】解：如图： ∵轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，， ∴C点坐标为，点P坐标为 ∴，，，，， ∴按缠绕一周的总长度为， ∵， ∴细线另一端所在位置的点在C处， ∴细线另一端所在位置的点的坐标为． 故答案为：． 29．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边OA在x轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形…依此规律，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系寻找，再求解． 本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号． 【详解】解：由已知，点A每次旋转转动，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍， ∵， ∴点的在x轴的正半轴上， 则， 故答案为：． 30．在平面直角坐标系中，一个动点按一定的规律运动，已知，，，，，···，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题目所给点的规律得出，从第二个点开始，每四个点为一组，每组横坐标和纵坐标绝对值和组数相同，每组从第一个点到第四个点依次在第一象限到第四象限，即可进行解答， 解题的关键是观察题目所给点的坐标，总结出点的坐标变化规律． 【详解】解：根据题意可得：从第二个点开始，每四个点为一组，每组横坐标和纵坐标绝对值和组数相同，每组从第一个点到第四个点依次在第一象限到第四象限， ∵， ∴点是第五组的第四个点， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 三、解答题 31．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：4， ∴点的坐标为：． 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4． 故的坐标为：． 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 32．【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查规律型中的点的坐标， （1）根据点的下标（分偶数和奇数两种情况）以及平移规律“向右平移个单位，再向上平移个单位”，可找出点与点的坐标； （2）根据（1）中的平移规律即可得出和点的坐标； （3）根据（2）的结论即可求解； 找出点的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：当点的下标为偶数或奇数时，发现点平移的规律：向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （2）由（1）中的平移的规律可得： 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）由（2）知：点的坐标为，点的坐标为， 当时， 解得：， 由，符合题意； 当时， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为． 33．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，，． （2）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． （3）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 则点到轴的距离是4，到轴的距离是199． 故答案为：4，199． 34．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即 按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)； (2)； 【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解； (2)根据(1)中的规律求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，， 点的坐标为，，的坐标为，； ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标一样， 点的坐标为，， 故答案为：，，，，，； （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ；， 故答案为：． 35．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 【答案】(1)11；； (2)①；② 【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可； （2）①先求第11行最后一个数，然后判断为第11行倒数第二个数即可解答； ②先根据判断2023为第45行的数字，然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2，即可判断． 【详解】（1）解：第1行有1个数， 第2行有个数， 第3行有个数， 第4行有个数， 第5行有个数， ∴第6行有个数， …… 第n行有个数； （2）解：①∵第11行有个数，且最末尾的数是， 而表示第11行的第20个数， ∴表示的数是； ②∵，， ∴， ∴2023位于第45行， ∵第45行有个数，而2023与2025相差2个数， ∴2023位于第45行的第87个数， ∴表示2023的有序数对是． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 36．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，． (1)若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____； (2)把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点之间线段最短即可求出答案； （2）计算“凸”形图中各线段的长度，绕一周需要多少个单位长度，因为是周期变化，所以计算出绕了多少周，余下的线段落在哪里即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意，画图如下， ∵两点之间线段最短， ∴当点 在的直线上时，点与点的距离最小，且点在线段 上， ∴点的坐标是 ， 故答案是：． （2）解：∵，，，，， 从点的线段之和为 ，即， ∴ ，即绕了 周余下 个单位长度，也就是落在点 ， ∴细线的另一端所在位置的点的坐标是， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查图形中最短距离，线段的求和与点坐标的特点，理解图形的意思，线段加减是解题的关键． 37．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将1变换成，第三次将变换成. (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是　 　，的坐标是　 　． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是　 　，的坐标是　 　． (3)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，则的面积S为　 　． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据点的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点的坐标； （3）由点的坐标可得出的长度，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：；． （2）解：由（1）可知的横坐标每次扩大2倍,纵坐标为3，的横坐标每次扩大2倍，纵坐标不变， ∴，， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，三角形面积，正确找到点的坐标变化规律是解题的关键． 38．综合与实践 (1)问题背景： 已知，，，．在图中所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，然后写出它们的坐标，则______________，_______________． (2)探究发现： 结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为_________________． (3)拓展应用： 利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E，点F，点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查了坐标与图形，通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数，掌握这点是解本题的关键． （1）根据坐标的确定方法直接描点，分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； （2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； （3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题． 【详解】（1）解：描点如图所示，P1，P2的坐标分别为，． 故答案为：； （2）两个端点的坐标分别为，， 线段的中点坐标为． 故答案为：； （3）因为，，，所以，，的中点坐标分别为，，． ①当过的中点时，，，解得，，故； ②当过的中点时，，，解得，，故； ③当过的中点时，，，解得，，故． 所以点H的坐标为，或． 39．如图，每个小方格边长为1个单位长度，已知点，，，，，，，，… (1)将图中的平面直角坐标系补画完整； (2)按此规律，请直接写出点和的坐标：_____________，：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据点的坐标确定坐标轴即可； （2）根据图示及坐标系各象限横纵坐标符号特点即可得出答案； 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示，根据图示可知 ，， 故答案为：，. 【点睛】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键． 40．电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网，例如，再下一步即． （1）若则坐标是______，的坐标是_______． （2）分别取坐标，根据你对蜘蛛织网的理解，请在网格上画出这两张网． （3）在电子蜘蛛织网过程中，第n步的坐标，请你写出第1步所有可能的结果． （4）进一步思考：若点那么点有没有可能始终在y轴的右侧，若有可能直接写出a，b的取值范围．若不可能说明理由． 【答案】（1）（9，-3），（5，7）；（2）见解析；（3）（-5，3）或（5，7）或（9，-3）或（-1，-7）；（4） 【分析】（1）根据题中的规律，烈出方程组，计算可得P1，再继续得出后面的点的坐标，得到规律，可得P2022； （2）分别取P1的坐标为（0，0），（0，2），得到之后点的坐标，画出图形即可； （3）根据（1）中所得一个周期内点的坐标，可得P1的可能坐标； （4）分别用a，b表示出一个周期内P点坐标，根据点在y轴右侧得到不等式组，解之即可． 【详解】解：（1）由意题意可知： P1（a，b），则P3[-（a-2）+2，（-b+2）-2]， 即P3（-a+4，-b）， ∴，解得：， ∴P1（9，-3）， 同理：P1（9，-3），P2（5，7），P3（-5，3），P4（-1，-7），P5（9，-3），4个为一周期， 2022÷4=505...2， ∴P2022（5，7）； （2）①P1（0，0），P2（2，-2），P3（4，0），P4（2，2）； ②P1（0，2），P2（0，-2），P3（4，-2），P4（4，2）； 如图所示： （3）由（1）知：4个为一周期， Pm（9，-3），Pm+1（5，7），Pm+2（-5，3），Pm+4（-1，-7）， n=1时，P1（-5，3）， n=2时，P1（5，7）， n=3时，P1（9，-3）， n=4时，P1（-1，-7）， n≥5时，又出现周期变化， 综上：P1（-5，3）或（5，7）或（9，-3）或（-1，-7）； （4）由题意可得：P1（a，b），P2（-b+2，a-2），P3（-a+4，-b），P4（b+2，-a+2）， ∵周期为4，P1，P2，P3，P4在y轴右侧，即可满足题意， ∴，则， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，点的坐标规律，不等式组的应用，解题的关键是由题中的织网方式得到4个为一周期． 学科网（北京）股份有限公司 $$