广东省汕头市2023-2024学年高一下学期普通高中教学质量监测数学试题

2023-2024学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知一组数据，，⋯的平均数为，方差为，则数据，，⋯，的平均数和方差分别为(    ) A. B. C. D. 3.当时，复数在复平面上对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中真命题是(    ) A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 5.已知平面内两个粒子A，B从同一发射源射出，在某一时刻，它们的位置分别为，，相应的位移分别为，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 6.已知，则等于(    ) A. B. C. D. 7.已知p：在有两个零点，q：，则p是q的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为(    ) A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是(    ) A. 事件B与C互斥 B. C. 事件A与C相互独立 D. 10.已知函数，则(    ) A. 的最小正周期为 B. 不等式的解集为 C. 在区间上单调递减 D. 为了得到函数的图象，只要把函数曲线上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 11.已知为定义在R上的奇函数，当时，；将函数和图象的所有交点从左到右依次记为，，⋯，，则(    ) A. 的图象关于点对称 B. 当，时， C. D. 若P点坐标为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知x是方程在复数范围内的根，则______. 13.将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为______ 14.始建于1880年的表角灯塔位于汕头港达濠半岛广澳角，既是粤东沿海干线的重要灯塔，又是进出汕头港外航道的重要助航标志，其射程24海里射程：在晴天黑夜，观测者能够看到灯塔灯光的最大距离一艘船以16海里/小时的速度航行，到某点时测得表角灯塔在其西南方向32海里，随后向正南方向航行，在同一气象能见度条件下，大约______后，这艘船上的船员就能看到灯塔的灯光，并持续时间______结果都精确到，参考数据： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，在等边中，，点O在边BC上，且过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M， 设，试用表示； 求； 设，求的值和的最小值. 16.本小题15分 某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度单位：，所得数据统计如图. 求a的值，并估计这批植株高度的平均数和第75百分位数；第75百分位数的结果保留小数点后两位； 若从高度在和的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取2株，求抽取的2株植株高度均在内的概率. 17.本小题15分 如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，点C是圆周上的点且，M在线段PA上且，N是BM的中点. 若二面角的大小为，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值； 线段PC上是否存在点Q，使得平面ABC？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 18.本小题17分 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.经过反复试验，喝了一定量的酒后，酒精在人体血液中含量的变化规律如下：一开始含量呈线性增长，当其上升到时，会以每小时的速度减少函数模型如图 求血液中酒精含量单位：关于时间单位：小时的函数解析式； 某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？结果取整数 参考数据：， 19.本小题17分 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且， 求角C； 若外接圆的圆心为O，P为圆O上的一动点，求的取值范围； 若的面积为AB边上一点且总存在使得成立，求线段CD长度的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】对于，则，解得且， 所以 又因为，所以 故选： 首先求出集合B，再根据交集的定义计算可得． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：因为一组数据，，⋯的平均数为，方差为， 则数据，，⋯，的平均数为，方差为 故选： 根据期望、方差的性质计算可得． 本题主要考查期望、方差的性质，属于基础题． 3.【答案】A  【解析】解：，且， ，， 则复数在复平面上对应的点为，位于第一象限． 故选： 先化简复数，再根据参数范围分别判断实部和虚部范围进而判断点的象限即可． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 4.【答案】C  【解析】解：若，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误； 若，，，，则或与相交，故B错误； 若，，由，可得内存在直线l与n平行，而，则， 可得，则，故C正确； 若，，，则或与相交，相交也不一定垂直，故D错误． 故选： 由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案． 本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题． 5.【答案】B  【解析】解：由题意得：，， 所以，则在上的投影向量为 故选： 直接利用向量的坐标运算求出向量的投影向量． 本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 6.【答案】A  【解析】解：因为，，，， 所以， 所以，， 所以 故选： 首先利用平方关系求出，，再由及两角差的正弦公式计算可得． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，考查运算求解能力，属于中档题． 7.【答案】A  【解析】解：令，易知t为单调递增函数， 所以当时，， 所以命题p即为：在有两个零点， 所以，解得且， 又因为命题q：， 所以p是q的充分不必要条件． 故选： 令，则命题p即为：在有两个零点，从而可得a的取值范围，即可得答案． 本题考查了换元法的应用、二次函数根的分布，属于中档题． 8.【答案】B  【解析】解：因为， 所以， 即， 延长QD到E，使， 因为，， 所以≌， 所以，， 因为，所以，即， 因为，，，所以≌， 所以， 设，， 则 ，其中，， 因为，， 所以当时，取得最大值为 故选： 由得，从而可得，设，，表示出化简变形后可求出其最大值． 本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题． 9.【答案】BCD  【解析】解：根据题意，事件，， ，， ，， 依次分析选项： 对于A，，事件B、C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，，，则有，D正确． 故选： 根据题意，由古典概型公式求出、和，由此分析选项，综合可得答案． 本题考查相互独立事件、互斥事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题． 10.【答案】AB  【解析】解：， 对于最小正周期为，正确； 对于，即，，所以解集为，正确； 对于因为，即，在该区间不单调递减，错误； 对于为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，错误． 故选： 先应用两角和差及辅助角公式化简解析式，再结合周期判断A，再解三角不等式判断B，整体代换判断单调性判断C，根据三角函数图像平移判断D即可 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：选项A，因为为定义在R上的奇函数， 所以的图象关于对称， 所以的图象关于对称，即选项A正确； 选项B，当时，，是凸函数， 因为的图象关于对称， 所以函数在上是凹函数， 所以当，时，，即选项B错误； 选项C，当时，，是增函数， 因为的图象关于对称， 所以当时，也是增函数， 而，即， 同理可得， 所以， 所以，即选项C正确； 选项D，由题意知，的图象关于点对称， 因为的图象也关于点对称， 在同一坐标系中作出两个函数的图象如下所示， 由图可知，函数和的图象共有11个交点，且关于点对称，即， 所以，，……，， 所以，即选项D正确． 故选： 选项A，根据函数的奇偶性，结合函数图象的平移法则，即可得的对称性； 选项B，根据函数的对称性与凹凸函数的性质，即可作出判断； 选项C，结合函数的单调性与对数的运算性质，求解即可； 选项D，作出两个函数的图象，结合平面向量的线性运算法则，求解即可． 本题考查函数与方程的综合应用，熟练掌握函数的图象与性质，平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 12.【答案】  【解析】解：，即，即， 故 故答案为： 先求出两个根，再结合复数模公式，即可求解． 本题主要考查复数的模，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：由题意可知，当球与正四棱锥的五个面都相切时，球的表面积最大， 因为正四棱锥的底面边长为2cm，高为 所以正四棱锥的侧面底边上的高为， 设球的半径为r， 则正四棱锥的体积为， 解得， 所以球的表面积为 故答案为： 由题意可知，当球与正四棱锥的五个面都相切时，球的表面积最大，根据等体积法求出球的半径，即可求出球的表面积． 本题主要考查了正四棱锥的内切球的表面积，属于中档题． 14.【答案】55 60  【解析】解：设船行驶距离为x，由余弦定理得， 解得，， 由速度16海里/小时，可得行驶的时间，， 所以， ， 即后这艘船上的船员就能看到灯塔的灯光，并持续时间 故答案为：55， 设船行驶距离为x，利用余弦定理可求出x，即可算出时间． 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题． 15.【答案】解：因为，所以，， ； 因为，， 所以， ，， 所以； 由题可得：， 因为M，O，N共线，所以，即， 因为m，，， 当且仅当且，即，时，取到最小值 因此，的最小值为  【解析】利用向量的加减法运算得出用表示； 利用数量积的定义公式计算； 通过向量的表示可得，因为M，O，N共线，得到m，n的等式计算出，再利用基本不等式计算的最小值； 本题考查平面向量的线性运算，基本定理，数量积与夹角，属于中档题． 16.【答案】解：根据题意可得，， 估计这批植株高度的平均数为：； 估计这批植株高度的第75百分位数为：； 高度在和的比例为：：2， 在和中分别抽取2株；4株， 设其分别为a，b；1，2，3，4， 则再从这6株中抽取2株，所得样本空间为： ，其中共有15个样本点， 设事件“抽取的2株植株高度均在内“，则，其中共有6个样本点， 抽取的2株植株高度均在内的概率为  【解析】根据频率分布直方图的性质，平均数的概念，百分位数的概念，即可求解； 根据分层抽样的概念，古典概型的概率公式，即可求解． 本题考查频率分布直方图的性质，平均数的概念，百分位数的概念，分层抽样的概念，古典概型的概率公式，属中档题． 17.【答案】解：垂直于所在的平面，又AB是的直径， ，根据三垂线定理可得，又， 平面PAC， 二面角的平面角为，且直线BM与平面PAC所成角为， 又，，又，， ，， ， 直线BM与平面PAC所成角的正弦值为； 在线段PC上存在点Q，使得平面ABC，且，理由如下： 取PC的靠近C的三等分点Q，过Q作，且， 则，且， 又N是BM的中点，O为AB中点，，又， ，且， ，且， 四边形NOEQ为平行四边形， ，又平面ABC，平面ABC， 平面ABC， 故在线段PC上存在点Q，使得平面ABC，且  【解析】易证平面PAC，从而可得二面角的平面角为，且直线BM与平面PAC所成角为，再解三角形，即可求解； 取PC的靠近C的三等分点Q，过Q作，且，则易证四边形NOEQ为平行四边形，从而可得，再根据线面平行的判定定理可证明平面ABC，从而得解． 本题考查二面角的概念，线面角的求解，线面平行的证明，化归转化思想，属中档题． 18.【答案】解：依题意，得当酒精含量呈直线上升时，设， 函数过点，， ， 解得，，即， 当时，解得， 又当其上升到时，会以每小时的速度减少， 当时，， 设至少要经过x个小时才能合法驾驶， 根据题意，， 即，即， 可得， ， ， 驾驶员甲至少要经过10个小时才能合法驾驶．  【解析】当时设，根据函数图象所过点，求出k，根据上升到时会以每小时的速度减少得时的解析式； 设至少要经过x个小时才能合法驾驶，可得，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得答案． 本题考查函数的实际应用，解题中注意函数性质的应用，属于中档题． 19.【答案】解：因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为A是的内角，所以， 所以， 由辅助角公式得：，即或， 因为，所以； 因为，则由正弦定理，可得外接圆半径， 因为圆O为外接圆，所以， 所以 ， 当且仅当与共线同向时有最大值， 此时， 当且仅当与共线反向时有最小值， 此时， 故的最大值为，的最小值为， 故的取值范围是； 设d为线段CD长，由题可知，CD为内角平分线，则， 由得，，所以， 由余弦定理得，即， 所以， ， ， 因为，所以 即线段CD长度的取值范围为  【解析】先用正弦定理及三角形内角和定理整理化简等式，再利用辅助角公式求解即可； 将转化为计算，不难发现其取值取决于，由平面向量性质可知，共线时取得最值，分别代入与共线同向时及与共线反向时两种情况即可得出原式取值范围； 不始设，由可知CD为内角平分线，通过面积可以列出方程，进一步得出d关于的函数关系式，由的面积求得ab的取值范围，通过余弦定理得出ab与的关系式，再进行等量代换，最后由二次函数性质即可得出CD的取值范围． 本题考查了解三角形及平面向量数量积计算，考查了转化思想及函数思想，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$