精品解析：广西壮族自治区百色市德保县德保高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2026届高二年级上学期开学考试数学试题9．7 （试卷满分：150分；考试时长：120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 中，，则一定是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 3. 是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A. 3 B. －3 C. －2 D. 2 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 菱形 D. 正六边形 6. 已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A. 点为的内心 B. 点为的外心 C. D. 为等边三角形 7. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分．有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线与平面不平行，则l与相交 B. 直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内 C. 如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行 D. 如果是异面直线，，，则，是异面直线 10. 已知是虚数单位，以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是1 B. C. 若复数是纯虚数，则 D. 若复数满足，则 11. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若B，C，D三点共线，则________． 13. 已知在上的投影向量为，则的值为__________. 14. 如图，用一边长2为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且，．向量与共线， （1）求实数的值； （2）求向量与的夹角． 16. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 17. 某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）用分层抽样的方法从和两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不在同一组的概率； （3）假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数. 18. 在中，分别为角所对的边长，． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的周长． 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二年级上学期开学考试数学试题9．7 （试卷满分：150分；考试时长：120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，再利用共轭复数的定义可得出结果. 【详解】因为，故复数的共轭复数为. 故选：B. 2. 中，，则一定是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】表示出向量的点乘，结合已知条件进行判定三角形形状 【详解】因为中，，则， 即，，角为钝角， 所以三角形为钝角三角形 故选 【点睛】本题考查了由向量的点乘判定三角形形状，只需运用公式进行求解，较为简单 3. 是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A. 3 B. －3 C. －2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解. 【详解】因为，所以． 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 5. 有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 菱形 D. 正六边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心，再分别讨论液面与底面平行，液面过正方体对角线的两个顶点和液面过正方体六条棱的中点即可判断B，C和D是正确的，进而即可得到答案． 【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的有颜色溶液，无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心． 对于B，当过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，即静止时液面如图（1），故B正确； 对于C，当过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，即静止时液面如图（2），故C正确； 对于D，当过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，即静止时液面如图（3），故D正确； 故选：A． 6. 已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A. 点为的内心 B. 点为的外心 C. D. 为等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解. 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B. 7. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 8. 如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 作辅助线，利用向量数量积公式，可求得，，再利用向量的三角形法则，将求的最小值，转化为求得最小值，然后分类讨论与O的位置关系，可知在O右侧时，最小，再利用基本不等式求最值. 【详解】如图所示，作 ，，， 可得，即， 利用向量的三角形法则，可知 若与O重合，则 若在O左侧，即在上时, 若在O右侧，即在上时，，显然此时最小，利用基本不等式（当且仅当，即为中点时取等号） 故选：C. 【点睛】本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力，数形结合思想，属于中档题. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分．有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线与平面不平行，则l与相交 B. 直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内 C. 如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行 D. 如果是异面直线，，，则，是异面直线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误； 对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交， 故直线在平面无交点或仅有个交点，故B正确； 对C，若直线与平面相交， 直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，故C错误； 对D，如果是异面直线，，则异面， 则是异面直线，故D正确. 故选：BD 10. 已知是虚数单位，以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是1 B. C. 若复数是纯虚数，则 D. 若复数满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的定义与代数形式的运算性质，逐项判断即可． 【详解】对于A，复数的虚部是，选项A错误； 对于B，，选项B正确； 对于C，设，则，，，选项C错误； 对于D，设，、，则， 令，得且，所以，选项D正确． 故选：BD． 11. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错； 由得，所以， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，， ，C正确； 由得， 所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错． 故选：BC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若B，C，D三点共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，再利用共线向量的坐标表示求出. 【详解】依题意，，由B，C，D三点共线，得， 则，所以. 故答案为： 13. 已知在上的投影向量为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义及平面向量的数量积公式计算即可. 【详解】设与的夹角为， . 故答案为： 14. 如图，用一边长2为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离，进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解. 【详解】由已知蛋巢的底面是边长为的正方形， 所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为， 且蛋巢的高度为， 又球的半径为， 所以球心到截面的距离为， 故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且，．向量与共线， （1）求实数的值； （2）求向量与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共线向量定理，即可求解； （2）根据向量夹角公式，，再代入数量积的运算公式，即可求解. 【小问1详解】 若向量与共线， 则存在实数，使得， 则，则； 【小问2详解】 由（1）知，， ， ， ， ， 所以，且， 所以. 16. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 【答案】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面； (2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 17. 某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）用分层抽样的方法从和两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不在同一组的概率； （3）假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数. 【答案】（1） （2） （3）7.92小时 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图所有矩形的面积之和为1计算可得; （2）列举出从6人中随机选出2人的所有情况，再求得2人不在同一组的情况，即可求得其概率； （3）由频率分布直方图计算平均数公式代入计算即可求得结果. 【小问1详解】 因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1， 易知组距为2，所以， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知和两组的频数的比为 所以利用分层抽样的方法抽取6人，这两组被抽取的人数分别为4，2， 记中的4人为，，，，中的2人为，， 从这6人中随机选出2人，则样本空间 ，共15个样本点 设事件：选出的2人不在同一组， ，共8个样本点， 所以 【小问3详解】 估计全校学生周平均锻炼时间的平均数为7.92小时 18. 在中，分别为角所对的边长，． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的周长． 【答案】（1）证明：由可得， 为三个内角， ，， 即，即， 又因为，所以，即，所以， 所以是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）由半角公式，诱导公式，三角恒等变换得到，故，证明出结论； （2）利用诱导公式和三角恒等变换得到，进而得到，由正弦定理求出，得到周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得， 即， 所以，所以， ，因为， 为锐角，，所以，， 由正弦定理，， 解得，所以的周长为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取点为棱的中点，又因为点为棱的中点，所以，且， 又因为，且，所以 则四边形是平行四边形，即， 又因为平面，平面，所以平面； （2） 存在点为的中点，满足平面. 因为点为的中点，点为棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 再由平面，，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形截面，由线线平行即可证明线面平行； （2）要证明动直线和另一个平面平行，只需要证明动直线所在的平面与另一个平面平行即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $