精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023届高三下学期2月强化训练文科数学试题

武功县普集高中2023届高三2月份强化训练数学文科试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 执行下边的程序框图，输出的（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据框图循环计算即可. 【详解】执行第一次循环，， ， ； 执行第二次循环，， ， ； 执行第三次循环，， ， ，此时输出. 故选：B 3. 在正项等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质求解 【详解】由题得，所以，所以，所以， 故选：A 4. 下列函数中既为奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由定义法判断函数的奇偶性，排除AB选项，求导求函数的单调性，进而排除D选项，C选项符合要求. 【详解】定义域为R，又， 所以，且，故非奇非偶，A错误； 定义域为R，， 所以为偶函数，B错误； 定义域为R，， 则为奇函数， 又恒成立，所以在上单调递增；C正确； 定义域为R，，则为奇函数， 又，当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增，D错误 故选：C 5. 已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出的值，利用零点存在定理求出、所在区间，由此可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，所以，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，所以，， 由可得，因此，. 故选：A. 6. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，事件甲、乙只有一人摸到红球， 则，， 因此，. 故选：D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将用替换后，解方程解出即可. 【详解】因为， 可得， 可得， 解得，因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 8. 若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆上至少有3个点到直线距离为，转化为圆心到直线的距离至多为，由点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】圆， 由题意M到直线l的距离，所以， 所以，解得或， 故选：C 9. 若，，函数满足，函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 9 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令和得到；由奇函数的定义可判断是上的奇函数，再结合奇函数的性质即可求出的值. 【详解】由题意，将代入，得， 将代入，得，即. 设（），则， 所以是上的奇函数，则； 又， 所以， 故选：B. 10. 据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可． 【详解】用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法： 第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种； 第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种； 故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为． 故选：A． 11. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系. 【详解】因为，定义域关于原点对称， ， 所以为上的偶函数， 当时,，设， 则，，， 所以即在上单调递减,所以, 所以在上单调递减,又因为为偶函数, 所以在上单调递增， 又因为,, 又因为, 因为,，所以, 所以，即, 所以, 所以, 即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩. 12. 已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，即有，可推出，解方程，得或，判断零点个数即可. 【详解】，∴，，∵代入，得，∴. 或， ；， 如图所示， 函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个， 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数公式的逆用，以及函数与方程问题，函数的零点个数，数形结合，属于难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若幂函数在在上单调递增，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】幂函数系数为1，在上单调递增上递增，有，可求解. 【详解】幂函数在在上单调递增 可得解得 故答案为： 14. 已知平面向量，，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量共线的坐标表示求出的值，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】解：因为向量，且， 所以，即， 所以，所以. 故答案为： 15. 在三棱锥P－ABC中，，AC⊥平面PAB，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为______． 【答案】##． 【解析】 【分析】如图所示，设底面的中心为, 连接,取的中点，连接.求出底面三角形外接圆的半径和球的半径即得解. 【详解】解：如图所示，设底面的中心为, 连接,取的中点，连接. 由正弦定理得. 因为 因为AC⊥平面PAB，平面PAB，所以, 所以四边形是矩形，所以. 所以球的半径为. 所以外接球O的体积为. 故答案为： 16. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过圆心作，由已知求得，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解. 【详解】如图，为直线上的任意一点， 过圆心作，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以， 所以. 则此时， 的最小值为. 故答案为： 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案； （2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解． 【小问1详解】 解：设等差数列公差为d，首项为a1， 由题意，有，解得， 所以； 【小问2详解】 解：，所以． 18. 某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表： 女生 男生 合计 环境保护 80 40 120 社会援助 40 40 80 合计 120 80 200 （1）能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？ （2）以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为，求的分布列和期望． 附：，其中． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）没有 （2）的分布列为 0 1 2 3 4 ，【解析】 【详解】解：（1）因为， 所以没有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关． （2）由统计表得，女生参加环境保护的频率为， 故从女生中随机抽取1人，此人参加环境保护的概率为， 由题意知，， 则，． 的分布列为 0 1 2 3 4 故 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且 （1）若点为上一点，且，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 作交于点，连接， 因为，所以, 又因为，且，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明； (2)根据空间向量的坐标运算求线面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 又因为，所以 则可以以为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令则， 所以， 设直线与平面所成角为， . 20. 已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点. （1）若为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率； （2）如果存在点P，使得，且的面积等于9，求b的值和a的取值范围. 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据或或进行分类讨论，通过求来求得椭圆的离心率. （2）根据已知条件列方程求得，判断出，结合求得的取值范围. 【小问1详解】 为等腰直角三角形可知有三种情况． 当时，，，于是， 得；当时，同理求得； 当时，则P在椭圆短轴的端点，， ，解得， 所以椭圆的离心率为或. 【小问2详解】 设，由的面积等于9，得，① 由，得，② 再由P在椭圆上，得，③ 由②③及，得，又由①知，故， 由②③得，，从而，故， ，时存在满足条件的点P， 故，a的取值范围为 21. 已知函数. （1）若，求a的值； （2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数. 【答案】（1）1； （2）函数的定义域是， ， 所以， 当，时，，， 可得. 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意可得，解方程即可求出结果； （2）求出，根据不等式的性质即可证出结论. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得. 【小问2详解】 略 （二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）求曲线的任意一点到曲线距离的最小值. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】(1)利用消去参数的办法求曲线的普通方程，根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式和基本不等式求解. 【小问1详解】 由，消去得， 又曲线是经过原点且倾斜角为的直线其直角坐标方程为. 【小问2详解】 设，，则到直线的距离 , 当且仅当,即时等号成立. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23. 已知 （1）时，解不等式； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)根据题意,分，，三种情况讨论求解即可； （2）由题知在恒成立，即恒成立，故，解不等式即可得答案. 【详解】解：（1）当时，， 若，则，，无解， 若，则，， 若，则，， 综上，， 不等式的解集为． （2）在上恒成立， ，即， ，， ， ， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武功县普集高中2023届高三2月份强化训练数学文科试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 执行下边的程序框图，输出的（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在正项等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中既为奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 6. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，函数满足，函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 9 D. 2022 10. 据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为( ) A. B. C. D. 11. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 0个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若幂函数在在上单调递增，则______. 14. 已知平面向量，，若，则_______. 15. 在三棱锥P－ABC中，，AC⊥平面PAB，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为______． 16. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表： 女生 男生 合计 环境保护 80 40 120 社会援助 40 40 80 合计 120 80 200 （1）能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？ （2）以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为，求的分布列和期望． 附：，其中． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且 （1）若点为上一点，且，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点. （1）若为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率； （2）如果存在点P，使得，且的面积等于9，求b的值和a的取值范围. 21. 已知函数. （1）若，求a的值； （2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数. （二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）求曲线的任意一点到曲线距离的最小值. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23. 已知 （1）时，解不等式； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $