精品解析：2024年河南师大附中中考数学四模试题

2024年河南师大附中中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数估算及实数比较大小，根据选项中所给四个数，运用实数比较大小的方法求解即可得到答案，熟记实数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即选项中最小的数是， 故选：C． 2. 某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由几何体的主视图和左视图可得出其组成部分，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 该几何体是球体与立方体的组合图形，则其俯视图为圆形中间为正方形，故选项B正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的组成是解题关键． 3. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下面式子计算正确的是（　　） A. B. C. D. （a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方、多项式乘多项式直接运算求解． 【详解】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方、多项式乘多项式，解题的关键是掌握相应的运算法则． 5. 如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠3的度数，然后根据∠2与∠3互余即可求出∠2的度数． 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠3=∠1=70°， ∴∠2=90°－∠3 =90°－70° =20°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠3的度数是解决此题的关键． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 数轴上表示，如图所示： 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况即可列出不等式，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决此题的关键． 8. 一组数据3、4、4、5，若添加一个数4得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，分别求出两组数据的平均数，众数，中位数，方差，进行比较即可． 【详解】解：原数据3、4、4、5， 平均数为，中位数为，众数为4， 方差为， 新数据3、4、4、4、5， 平均数为，中位数为，众数为4， 方差为， ， 则前后两组数据的统计量会变小的是方差， 故选：D． 9. 如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于P，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和及正多边形的性质求得，，的度数，再根据正方形的性质可得，的度数，然后利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求得，的度数，结合多边形的内角和求得的度数，再利用角的和差求得的度数后即可求得答案． 【详解】解：正六边形中，，， 正方形中，， 则， 那么， ∵五边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的内角和与正多边形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质，结合已知条件求得，，的度数，进而求得，的度数是解题的关键． 10. 如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，则∠A＝∠D＝30°，则∠MAP＝∠A＝30°，则PM＝＝，PN＝＝1﹣x，即可求解． 【详解】解：连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线， ∵∠A＝∠D＝30°，则∠MAP＝∠A＝30°， 则PM＝＝， 同理PN＝＝1﹣x， y＝MN2＝（PM）2+（PN）2＝x2﹣2x+1， 函数的对称轴x＝﹣=， 故选B． 【点睛】本题考查的是动点的函数图象，主要考查的是直角三角形的中线定理、二次函数基本知识等，本题的关键是中线定理的运用． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 要使分式有意义，的取值应满足________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上，则甲与乙相邻而坐的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数和甲与乙相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有：①③，②③，③①，③②，共4种， ∴甲与乙相邻而坐的概率为， 故答案为：． 13. 学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：点作于点， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴； 在中，米， ∴（米）， （米）， ∴米， ∵， ∴米， 故答案为：米． 14. 如图，在中，，以O为圆心，为半径作半圆，以A为圆心，为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查扇形面积的计算，解题关键在于结合图形找出各面积之间的关系．根据直角三角形的性质可得 ，，利用阴影部分的面积代入数据计算即得． 【详解】解：在中， ， ∴， ， 阴影部分的面积 故答案为：2． 15. 如图，在矩形ABCD中，是BC的中点，连接是边上一个动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据矩形的性质，中点以及，求出的长，进而求出的长，设，当是直角三角形时，分两种情况：①当，②当时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结果． 【详解】解：∵在矩形中，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处， ∴， 设，则：， 当是直角三角形时， ①时，则， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用分类思想和方程思想是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，含特殊角的三角函数值的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17. 某校初一年级在体育运动周增设花样跳绳比赛，比赛前有一周训练时间，某班25名同学积极报名参赛，并利用每日课间时间集中训练，训练前后成绩如下： （1）求扇形统计图中成绩为“5~7分”所占扇形的圆心角度数； （2）学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为分，训练后成绩为分，她分析训练前后的成绩统计图，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选．你认为小丽同学分析的正确吗？并说明理由． （3）班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颖两人，体委提出让这两名同学进行单独测试，下表是加试五次后两名同学的成绩及分析后的数据． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 众数 中位数 方差 李敏 5 9 9 8 9 8 9 9 张颖 8 8 8 8 8 8 根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？ 【答案】（1） （2） 小丽的说法不正确，理由： 从25名同学中选12名同学参赛，说明小丽的成绩只要达到中位数就能参赛． 小丽同学训练前成绩为分，从训练前成绩统计图看，1~3分有4人，3~5分有5人，，因此根据小丽训练前的成绩她一定落选． 小丽同学训练后成绩为分，从训练后成绩统计图看，， 因此成绩的中位数在“7~8”分之间，她很有可能排在前12名，有被录取的可能性． （3） 从平均数看，8分=8分，李敏，张颖平均水平相同． 结合众数看，9分8分，李敏成绩更好，应该选李敏． 结合中位数看，9分8分，李敏成绩高分较多，应该选择李敏． 结合方差看，，张颖成绩更稳定，应该选择张颖． 【解析】 【分析】（1）根据扇形的圆心角度数计算公式计算即可； （2）计算训练前后的中位数，比较说明理由． （3）自主选择统计角度去分析解答即可． 本题考查了圆心角的计算，中位数的计算，数据统计的特征量的特点，熟练掌握计算和特征量的意义是解题的关键． 【小问1详解】 答：圆心角度数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B、C． （1）求反比例函数的关系式和点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，平行四边形的性质： （1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，根据、互相平分求点C的坐标； （2）延长交x轴于点F，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据的面积求解． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， ， ， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 反比例函数的关系式为； ∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点E， ，； 设，， ∵、互相平分， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长交x轴于点F， 设直线为 把B、C的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， ， 的面积 ． 19. 学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1) 甲30元/本，乙20元/本 (2) 14本甲、26本乙，最少费用为940元 【解析】 【详解】（1）设乙种图书的单价为x元/本，则甲种图书的单价为1.5x元/本， 根据题意得：， 解得：x=20， 经检验，x=20是原方程的根，且符合题意， ∴1.5x=30， 答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为20元/本； （2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书（40﹣m）本， 根据题意得：m≥（40﹣m）， 解得：m≥， 设购书费用为y元，则y=30m+20（40﹣m）=10m+800， ∵10＞0， ∴y随m的增大而增大， ∵m为整数， ∴当m=14时，y取最小值，最小值=10×14+800=940， 答：购买14本甲种图书、26本乙种图书费用最少，最少费用为940元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用等，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键． 20. 阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图． （1）如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点，使得过点且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） （2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，A,B，C，D是网格中的四个格点，且．作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点且与相切于点D（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 【答案】（1） 图形如图1所示： （2） 图形如图2所示． 【解析】 【分析】（1）作平分交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）连接并延长，则，连接，连接，则线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图﹣作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. （1）小明发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． ①小亮通过举例验证：为偶数，请你把10的一半表示为两个正整数的平方和； ②设“小明发现”中的两个已知正整数为，，请你说明“小明发现”中的结论一定正确． （2）小颖受到小明和小亮的启发，通过观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10）：，，，，．设这两个两位数的积为，其中一个乘数为（为小于10的正整数），她发现了与的关系式，请你求出该关系式． 【答案】（1）①； ② ， ∴两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． （2）（的整数）． 【解析】 【分析】（1）①把10的一半表示为两个正整数的平方和，即可；②写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，再根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可； （2）根据题意可得另一个乘数为，从而得到，即可． 【详解】解：（1）①； ②略 （2）设这两个两位数的积为，其中一个乘数为， 另一个乘数为， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，多项式乘以多项式，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证． 22. 嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长．嘉嘉在点处发球，羽毛球（看成点）的运动路线为抛物线的一部分，当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为，其高度为，淇淇恰在点处将球击回．在与点O水平距离处设有一个高为的球网，P，Q为两侧边界，与球网的距离均为（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． （1）求抛物线的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； （2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围． 【答案】（1）， （2）①球可以过网，球没有出界；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，顶点式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可解题； （2）①由（1）可以得到的解析式，然后令，解出x的值即可解题；②先计算时的自变量的值，然后借助图像写出时自变量的取值范围即可解题． 【小问1详解】 解：依题意，嘉嘉发球时，球在处达到最高点， 设抛物线的解析式为，由经过点， 得，解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 故c的值为1； 【小问2详解】 ①由（1）得，故抛物线的解析式为， 当时，， 球可以过网； 当时，， 整理得， 解得（舍去），， 由题意可得， ， 球没有出界； ② 拋物线的解析式为，令，即，解得或（舍去）， 当时，，即嘉嘉会因接球高度不够而失球，故． 23. 综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究． （1）希望小组将如图（1）所示的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕为．填空：图（1）中四边形的形状是 ． （2）智慧小组准备了一张如图（2）所示的长、宽之比为的矩形纸片，接着沿过点C的直线折叠纸片，使点D落在上的点M处，折痕为．求的度数． （3）勤奋小组拿着一张如图（3）所示长为5，宽为2的矩形纸片，得到四边形，在上取一点F（不与点D，E重合），沿折叠．点D的对应点为M， ①与的数量关系为 ． ②当射线经过的直角边的中点时，直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形，得，由折叠得，则四边形是矩形，由角平分线的性质得，则四边形是正方形，于是得到问题的答案； （2）由，证明四边形是矩形，则，由折叠得，所以，则，所以，即可根据勾股定理推导出，则，所以的度数是； （3）①由折叠得，而，所以，则，于是得到问题的答案； ②分两种情况，一是Y是的中点，由，，且四边形是正方形，得，则，，，由折叠得，利用勾股定理求得，所以；二是射线经过的中点G，可证明，得，设，则，所以，，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图（1），∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 解：如图（2），由（1）得，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； 【小问3详解】 解：①由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ②当射线经过的中点，即Y是的中点时，如图3， ∵，是正方形， ∴， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴； 当射线经过的中点G时，如图（4）， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∵，舍去， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南师大附中中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 2. 某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（　　） A. B. C. D. 3. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 4. 下面式子计算正确的是（　　） A. B. C. D. （a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2 5. 如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 一组数据3、4、4、5，若添加一个数4得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 9. 如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于P，则（　　） A. B. C. D. 10. 如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 要使分式有意义，的取值应满足________________． 12. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上，则甲与乙相邻而坐的概率为_____________． 13. 学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为______． 14. 如图，在中，，以O为圆心，为半径作半圆，以A为圆心，为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 _____． 15. 如图，在矩形ABCD中，是BC的中点，连接是边上一个动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校初一年级在体育运动周增设花样跳绳比赛，比赛前有一周训练时间，某班25名同学积极报名参赛，并利用每日课间时间集中训练，训练前后成绩如下： （1）求扇形统计图中成绩为“5~7分”所占扇形的圆心角度数； （2）学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为分，训练后成绩为分，她分析训练前后的成绩统计图，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选．你认为小丽同学分析的正确吗？并说明理由． （3）班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颖两人，体委提出让这两名同学进行单独测试，下表是加试五次后两名同学的成绩及分析后的数据． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 众数 中位数 方差 李敏 5 9 9 8 9 8 9 9 张颖 8 8 8 8 8 8 根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？ 18. 如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B、C． （1）求反比例函数的关系式和点C的坐标； （2）求的面积． 19. 学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？ 20. 阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图． （1）如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点，使得过点且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） （2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，A,B，C，D是网格中的四个格点，且．作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点且与相切于点D（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 21. （1）小明发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． ①小亮通过举例验证：为偶数，请你把10的一半表示为两个正整数的平方和； ②设“小明发现”中的两个已知正整数为，，请你说明“小明发现”中的结论一定正确． （2）小颖受到小明和小亮的启发，通过观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10）：，，，，．设这两个两位数的积为，其中一个乘数为（为小于10的正整数），她发现了与的关系式，请你求出该关系式． 22. 嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长．嘉嘉在点处发球，羽毛球（看成点）的运动路线为抛物线的一部分，当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为，其高度为，淇淇恰在点处将球击回．在与点O水平距离处设有一个高为的球网，P，Q为两侧边界，与球网的距离均为（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． （1）求抛物线的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； （2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围． 23. 综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究． （1）希望小组将如图（1）所示的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕为．填空：图（1）中四边形的形状是 ． （2）智慧小组准备了一张如图（2）所示的长、宽之比为的矩形纸片，接着沿过点C的直线折叠纸片，使点D落在上的点M处，折痕为．求的度数． （3）勤奋小组拿着一张如图（3）所示长为5，宽为2的矩形纸片，得到四边形，在上取一点F（不与点D，E重合），沿折叠．点D的对应点为M， ①与的数量关系为 ． ②当射线经过的直角边的中点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $