精品解析：上海市上海市实验学校2025届高三上学期9月练习数学试题

上海实验学校高三数学练习试卷 2024.09 一､填空题 1. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式变形为，然后转化为，求解即可. 【详解】，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设：___________ 【答案】a，b都不能被5整除 【解析】 【分析】根据反证法的步骤填写即可. 【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除. 故答案为：a，b都不能被5整除. 3. 根式的指数幂形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【详解】，． 故答案为：． 4. 已知幂函数的图象经过点，求__________. 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，为常数，根据图象经过点，求出，进而求解. 【详解】设，为常数， 因为，所以，即， 所以. 故答案为：. 5. 设集合，且，则实数m的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 6. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】因为是的充分不必要条件，所以对应的集合是对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等式即可. 【详解】解不等式得 记 因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以，解得. 所以的取值范围为. 7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数定义域为R转化为不等式在上恒成立，然后列不等式求解即可. 【详解】由题意得在上恒成立，， 即，. 故答案为：. 8. 已知，则的解集为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，可得为奇函数，且在定义上单调递减，从而得到，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又， 所以为奇函数，又易知在定义上单调递减， 故由，可得到， 所以，即，解得或， 所以的解集为或， 故答案为：或. 9. 已知，均为正实数，且，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得，由，可得，展开后，运用基本不等式可得最值． 【详解】， 由，可得 ， 当且仅当，等号成立，则的最大值为1． 故答案为：1． 10. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知函数有唯一零点为1，进而得在上有解，再根据二次函数零点分布求解即可. 【详解】因为，所以在R上为增函数， 又，所以有唯一零点为1， 令的零点为，依题意知，即， 即函数在上有零点， 令，则在上有解，即在上有解， 因为， 当且仅当，即时，取等号，所以， 故答案为：. 11. 对于集合，给出如下三个结论： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，，那么. 其中正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，由集合M中元素性质结合即可判断；对于②，先得为偶数且不能被4整除，接着假设得，再根据和同奇或同偶分类讨论是否符合即可得解；对于③，依据，得存在使得，再计算得解· 【详解】对于①：因为，所以，故，故①正确； 对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除， 若，则存在使得， 因为和同奇或同偶， 若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，故②正确； 对于③：因为，， 所以存在使得， 所以， 因为所以，故③正确. 故答案为：①②③. 【点睛】思路点睛：对于，，探究，要抓住集合M中元素的性质得存在使得，接着计算，并继续根据集合M中元素的性质对计算结果进行变形处理，从而发现满足集合M中元素的性质，进而得. 12. 已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为__． 【答案】10或17 【解析】 【分析】先判断的对称性，设出直线、直线的方程并与函数联立，根据列方程，由此化简求得正方形的面积. 【详解】由得函数关于点中心对称， 显然该正方形的中心为， 由正方形性质得于，且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 设，，则，， 联立直线方程与函数得，即， 所以，同理， 又， 所以，即， 化简得， 所以或， 所以或， 所以 或17． 故答案为：10或17 【点睛】求解函数对称中心，可利用来进行求解，求解曲线和直线交点有关问题，可利用设而不求的方法，用整体代换法来进行求解. 二､选择题 13. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误. 故选：C 14. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再求出子集个数即可. 【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个. 故选：D. 15. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 16. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数、、图象之间的关系可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减， 又的解集为， 可得的解集为， 所以当，或时，的图象在图象的下方， 当时，的图象在图象的上方， 又因为当，或时，的图象在图象的上方， 当时，的图象在图象的下方， 所以当，或时，的图象在图象的下方， 当时，的图象在图象的上方， 则不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用函数的性质、结合题意画出三个函数的大致图象可得答案. 三､解答题 17. 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围. 【小问1详解】 因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 19. 近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？ （2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入； ②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）500 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）由调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，建立并求解不等式即可； （2）由题意条件转化为两个不等式恒成立问题，构造函数利用对勾函数与一次函数的单调性求解最值，即可求出m的取值范围. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的人数为，且年人均投入为万元， 则． 因为，所以，解得， 因为且，所以，故， 即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为500． 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得 ， 上式两边同除以ax，得， 整理得， 由条件②技术人员年人均投入不减少，得， 解得． 假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 即（）恒成立． 设， 由在上单调递减， 因为且，所以在上单调递减， 则， 当时，等号成立，所以． 又因为， 当时，，所以， 所以， 即存在这样的m满足条件，m的取值范围为． 20. 已知函数 （1）当时，解不等式； （2）若任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）R． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用作差法计算可得，即可求解； （2）由题意可得在恒成立.法一：根据一元二次不等式恒成立问题计算即可求解；法二：利用分离参数法可得，结合基本不等式求出即可； （3）由题意可知，结合二次函数的图象与性质分别求出，建立不等式，解之即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以，即， 所以的解集为R． 【小问2详解】 若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． 【小问3详解】 若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． 21. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. （1）请你写出柯西不等式的二元形式； （2）设 是棱长为的正四面体内的任意一点，点 到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； （3）已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 【答案】（1）柯西不等式的二元形式为： 设，则， 当且仅当时等号成立. （2） （3）对，记是的一个排列， 且满足, 由条件②得：. 于是，对任意的， 都有， 由柯西不等式得 ， 所以 ， 从而，对任意，，恒有， 因为对任意，，， 所以，对任意，，恒有， 【解析】 【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出时的形式； （2）由体积法求出，构造柯西不等式求的最小值； （3）时，由，有，由柯西不等式得，进而可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正四面体的体积， 将正四面体放入到棱长为 为正方体中， 则, 得，所以， 又由柯西不等式得 ， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题． 第一、准确转化．解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义，紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化． 第二、方法的选取．对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的角度进行转化，理解题目定义的本质并进行推广、运算． 第三、应该仔细审读题目．严格按新信息的要求运算．解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海实验学校高三数学练习试卷 2024.09 一､填空题 1. 不等式的解集为______. 2. 用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设：___________ 3. 根式的指数幂形式为______. 4. 已知幂函数的图象经过点，求__________. 5. 设集合，且，则实数m的值为______． 6. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______. 7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是______． 8. 已知，则的解集为_______． 9. 已知，均为正实数，且，则的最大值为______. 10. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是______. 11. 对于集合，给出如下三个结论： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，，那么. 其中正确结论的序号是_________． 12. 已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为__． 二､选择题 13. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 15. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 三､解答题 17. 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 19. 近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？ （2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入； ②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 20. 已知函数 （1）当时，解不等式； （2）若任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 21. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. （1）请你写出柯西不等式的二元形式； （2）设 是棱长为的正四面体内的任意一点，点 到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； （3）已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $