精品解析：山东省聊城市第二中学2025届高三上学期开学考试数学试题

2022级高三上学期第一次考试（开学考） 数学试题 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：C 2. 下列函数中，既是周期函数又是偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解. 【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误； 对于B，若，首先定义域为关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又，所以是周期函数，故B正确； 对于C，画出函数的图象如图所示： 由此可知函数不是周期函数，故C错误； 对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误. 故选：B 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出结果. 【详解】因为，且， 所以，则，. 则. 故选：A. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接判断的范围，再比较大小. 【详解】利用对数函数的性质可得,, 利用诱导公式可得 所以. 故选：D 5. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式. 【详解】设， 由题意可知，，，解得，， 函数的最小正周期为， 则， 当时，，可得， 又因为，则，故， 故选：A. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再带入特殊点逐一排除即可. 【详解】由函数可知定义域为,且定义域关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，故排除选项B; 因为，故排除选项A; 因为，故排除选项D. 故选：C. 7. 若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，， 由于是三角形的一个内角，所以， 则， 由于函数在区间上单调， 所以，解得， 即的取值范围为. 故选：B 8. 已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数和的图象，得到，，且，化简得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】画出的图象和的图象，如下： 由题意得，，且， 即，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 第II卷 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为 D. “，”是真命题，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D. 【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，即，解得， 因为所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为， 则该扇形面积为，故C正确； 对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立. 当时，命题成立； 当时，，解得， 综上可得，，故D正确； 故选：ACD. 10. 若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可得出，利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用中间值可判断D选项. 【详解】因为函数为上的增函数，由，可得， 对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，因为，则， 所以，，B对； 对于C选项，因为，则，可得， 所以，， 因为对数函数为上的减函数，故，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性可求出的值，代值计算出的值，可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，， 函数的最小正周期满足，可得，则， 则， 又因为，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，，A对； 对于B选项，当时，， 所以，在上不单调，B错； 对于C选项，当时，， 由可得， 所以，函数在区间内的图象关于直线对称， 若、，且，则， 所以，，C对； 对于D选项，把的图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则，D对. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象通过点，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【详解】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 13. 若，且，则的最小值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解. 【详解】因为若，且，则， 又因为，所以， 令，则，即，解得或（舍去）， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8. 故答案为：8. 14. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 函数的值域为，的定义域为． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合； （2）求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 解：因为在上单调递减， 所以，当时有最大值，且最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 所以． 【小问2详解】 解：由，得，解得， 所以，， 因为，所以，解得． 故实数的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）已知为锐角，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值； （2）求出的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的范围可求得角的值. 【小问1详解】 解：因为角的终边过点，所以， 则，，． ． 【小问2详解】 解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即， 又因为为锐角，则，可得， 因为，则， 因为，所以． 则 ． 所以． [2023•新课标I卷] 17. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 18. 已知函数． （1）判断函数在上单调性，并根据定义证明你的判断； （2）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用单调性得定义证明即可； （2）构造，只需证明为奇函数即可. 【小问1详解】 函数在上单调递减．证明如下： 任取，且， ． 因为，且， 所以，， 所以，即， 故函数在上单调递减． 【小问2详解】 证明：设， 则． 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数． 故的图象关于点成中心对称图形． 19. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值； （2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 解：函数 ， 则， 因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且， 所以，函数的最小正周期为，则， 可得． 由，得，所以，， 所以，，故函数在上的最小值为． 【小问2详解】 解：设，因为，所以． 因为不等式恒成立， 设， 所以在上恒成立． 则，即， 解得，故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022级高三上学期第一次考试（开学考） 数学试题 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A. B. C D. 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D. “，”是真命题，则 10. 若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A B. C. D. 11. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象通过点，则__________． 13. 若，且，则的最小值为__________． 14. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 函数的值域为，的定义域为． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）已知为锐角，，求． [2023•新课标I卷] 17. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 18. 已知函数． （1）判断函数在上单调性，并根据定义证明你的判断； （2）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 19. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$