精品解析：江苏省2025届高三云帆杯8月学情调研考试数学试卷（2024.08.07）

2024年云帆杯8月学情调研考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，即， 又，所以， 故选：B. 2. 若，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则计算可求，进而可求. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出、，再根据两角差和的正弦公式计算可得； 【详解】因为且，, 所以, 因为且，, 所以, 所以 故选：B. 5. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知易得且，求解即可. 【详解】由在上单调递增，故， 又在上单调递减，在上单调递增， 在上为增函数，要使在上为增函数，故， 函数在上单调递增，则， 解得，解得（舍去）或. 故选：A. 6. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角换元，再结合三角函数的有界性，即可求解． 【详解】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 7. 锐角中，，，，则AB边上的高CD长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，，进而可求得，设边上的高长为，进而可得，可求解. 【详解】因为且为锐角三角形，可得， 所以， 因为为锐角三角形，所以，又， 所以，解得， 由正弦定理可得，所认， 设边上的高长为，所以， . 故选：D. 8. 已知数列满足，，记为数列的前n项和.数列满足，下列结论一定正确的是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先分析出数列单调递减，，，推导出即可判断AD，通过作差法得和即可判断BC. 【详解】，且， ，即数列单调递减， 又，， 先来分析AD选项， ， 令，因为，则， 则，因为， 则， 则， 注意到D选项中的与的关系， 构造出数列， 因为函数在上单调递增， 则单调递增，则，即， 即 ，，累加得故A选项错误，D选项正确. 对BC，注意到 ， 对于B选项，则需要比较与的大小, 作差可得,结合， 故，故B错误； 对于C选项，则需要比较与的大小，因为， 则， 待定系数并且令恒成立， 因为，则，则，即恒成立， 因为，则，则恒成立， 则恒成立，则恒成立， 因为，即，则， 则，则， 则，即，即， 故， 当足够大时，，此时，但小于， 则存在，使得，故C错误； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是作差得，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列函数为周期函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质及周期的定义一一判定选项即可. 【详解】不妨令表示四个选项中的对应函数， 对于A，易知， 注意到， 因此为周期函数，故A正确； 对于B， 注意到， 因此为周期函数，故B正确； 对于D， 注意到， 因此为周期函数，故D正确； 对于C，易知， 假设存在正常数T，使得恒成立，分别取，得： ， ， ． 不妨设，其中， ， ， 由于，而为无理数，则上式不恒成立， ∴T不存在，不是周期函数，故C错误． 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于A、B、D三个选项可以借助特殊值结合周期性验证，而C选项，可以利用反证法及特殊值排除. 10. “大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线与C的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. “”的充要条件是“且” D. “”的充分条件是“，或” 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线经过定点，即可与渐近线方程比较，结合平移和旋转，即可求解ABC,根据反例即可求解C. 【详解】当时，曲线为双曲线，渐近线方程为，当时，曲线为椭圆， 对于A，恒过点， 当直线时，此时直线与渐近线平行，直线与C的交点为1， 当时，直线与C的交点为1，当时，直线与C的交点为2，故，A错误， 对于B，恒过点， 联立与椭圆得， 则， 当时，此时，故直线与下半椭圆相切，结合图象可知： 当直线时，直线与C的交点为2， 故时，直线与C的交点为1， 当时，直线与C的交点为0， 当或时，直线与C的有1个交点， 当时，直线与C的交点为2， 故，B正确， 对于C，取，由B可知直线与C的交点为1，故且不能得到，故C错误， 对于D，当时，此时直线，此时直线恒过点， 当时，此时直线方程为，与联立可得， 解得，此时直线与双曲线右支相切，直线与C有两个交点， 故当时，此时直线与C有一个交点， 当时，与C没有交点， 当时，与C有1个交点， 当时，此时直线方程为，与联立可得， 解得，此时直线与下半椭圆相切，只有一个交点， 故当，此时直线与C没有交点， 故，或时，，故D正确， 故选：BD 【点睛】关键点点睛：直线过定点，若直线方程为,则直线过定点;若直线方程为 (为定值),则直线过定点 11. 如图，平面m与平面n交线为，空间内有另一条直线，记，的夹角为，与平面m的夹角为，与平面n夹角为，二面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】作出图象，取直线与两平面交点间线段的中点，作，分和与不垂直时，两种情况讨论，可判定，再由线面角的定义和最小角定理，可判定A、B正确，即可求解. 【详解】当，设与平面分别交于两点，即， 如图所示，取直线的中点，分别作，垂足分别为， 设平面平面，连接 因为，且，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 因为，所以，此时， 当与不垂直时，设与平面分别交于两点，即与不垂直， 如图所示，取直线的中点，分别作，垂足分别为， 根据线面角的定义，可得， 此时，所以, 在直角中，，所以， 同理可得，所以， 综上可得，所以C正确； 根据线面角的定义和最小角定理知，为与平面内所有直线所夹的最小角，为与平面内所有直线所夹的最小角， 所以且，所以A、B正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式中展开式中项的系数为______ 【答案】 【解析】 【分析】展开式的通项公式为，计算可求结果. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，所以， 所以二项式中展开式中x项的系数为. 故答案为：. 13. 抛物线的焦点为F，A为C上第一象限的一点，B为A在C的准线上的垂足，直线BF在第四象限交抛物线C于点D，若F为BD中点，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】由已知可求的坐标，进而可得为直角三角形且，进而可求得，可求值. 【详解】由抛物线，可得准线方程为，焦点， 设第一象限的点，则可得， 由为中点，所以，，解得， 所以，，， 所以为直角三角形且， 由，所以，所以， 所以. 故答案为：2. 14. 已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点.从这11个点中任选4个点，这四个点不共面的概率为______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用组合求出11个点中取4个点的所有的基本事件个数，利用分类讨论的方法求出取出的四点在一个平面上的所有的基本事件个数，进而根据古典概型概率公式求出这四个点不共面的概率． 【详解】从11个点中取4个点的取法为种， 只要求出共面的就可以了，共面的分四种情况： 1.四个点都在正五棱锥的某一个面上，每个面5个点，有种，6个面共有情况； 2.四个点在两条侧棱上且不在侧面内的情况有， 3四个点均在各侧棱的中点时有， 4.其中两点所在直线与另两点所在直线平行， 且这四个点也不在四面体的某一个面上有10种， 因此取4个不共面的点的不同取法共有：， 所以这四个点不共面的概率为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛|：先利用组合数公式求得总的基本事件个数；利用分类讨论的方法求出共面的基本事件个数，进而求得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为推进乡村振兴计划，某镇通过实地考察当地状况，大力推广当地特色农产品.为了统计甲村，乙村生产该产品的质量，现对甲乙两村各随机选取300件产品，产品的质量如下： 合格 不合格 合计 甲村 270 30 300 乙村 290 10 300 合计 560 40 600 （1）分析能否有的把握认为甲乙两村的产品质量有差异？ （2）该镇通过线上平台对乡村生产的产品进行售卖，经统计，该产品在年上半年的月销量符合正态分布，乡镇人员现从年的前个月中随机选取三个月的销量数据，其中销量数据不低于的记为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：， 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有 （2） 的分布列如下表： 0 1 2 3 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据条件，计算出值，即可求解； （2）由题知，的取值为0，1，2，3，利用相互独立事件的概率公式求出对应取值的概率公式，即可求出分布列，再利期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 设零假设：有99%的把握认为甲乙两村的产品质量没有差异 故零假设所不成立，所以有99%的把握认为甲乙两村的产品质量有差异. 【小问2详解】 由题意，月销量符合正态分布，则， 由题意，的取值为0，1，2，3 所以，， ，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 P 数学期望. 16. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若有两个极值点，求a的最小整数值.（参考数据：） 【答案】（1）在单调递减 （2）2 【解析】 【分析】（1）求导得，令，再求导可判断的单调性； （2）求导可得，令，求导得，分类讨论可求的最小整数值. 【小问1详解】 当时，，所以， 设，， 则在单调递增，在单调递减， 所以，即， 故在单调递减. 【小问2详解】 ， 即原题等价于有两个零点，设，， 当时，， 则在定义域单调递增，最多有一个零点，与题意不符. 当时，令， 即在单调递增，在单调递减. 当，，，， 由于有两个零点，则这等价于①， 注意到时①式不成立，而时成立，故的最小整数值为2. 17. 三棱柱中，，，P，Q分别为线段AB，BC上面的点，且，. （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 过A作BC的平行线AD，且，连接，，则四边形为矩形， 则且， 故四边形为平行四边形，则且， 又因为，，则， 且，，平面，可得平面， 由平面，可得， 可得，则， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）过A作BC的平行线AD，且，可证平面，可得，进而分析证明； （2）建系标点，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，，，， 即，由勾股定理知， 又因为， 与相交，平面ABCD， 可得平面ABCD，可知，DA，DC两两垂直， 以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 可得，， 设为平面的法向量，则， 取，则平面的一个法向量为， 而可以为平面的一个法向量， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 双曲线的离心率为，等边三角形ABC的顶点A在y轴上，点BC在双曲线的右支上，当轴时，. （1）求W的方程； （2）设直线BC交y轴于点D，证明：以AD为直径的圆过定点. 【答案】（1） （2） 由题意知，直线BC的斜率存在，不妨设BC：， 设，，，， 直线BC与双曲线联立，需满足， ，， 取BC中点为P，则易知， ，， 又∵， 设直线AP的方程为：， ， 由于为等边三角形，. ， ， 设以AD为直径的圆的圆心为，则， 则以AD为直径的圆的方程为④， 由于， 故④化简得， 令，解得， ∴以AD为直径的圆过定点，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出,进而可得，即可求得双曲线的方程； （2）将直线BC与双曲线联立，得到一元二次方程，利用韦达定理和题目已知条件，即可证明. 【小问1详解】 （1）由题知①， 当轴时，不妨设直线BC：， 与双曲线联立知， 又因为， ②， 又因为A在BC的中垂线上，故， ③， 将③代入①②知，. 即双曲线W方程为：； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题关键在于，利用已知条件，找到点的纵坐标的关系，进而可以证明以AD为直径的圆过定点 19. 设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的” （1）判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为 （2）若数列为“五彩的”且严格单调递增. （i）证明：数列和公差相等； （ii）证明：数列一定为等差数列. 【答案】（1） ①不是，理由： 中不是等差数列，①不是 “五彩的”； ②是，理由： ， ，符合定义②是 “五彩的”. （2） （i）对正整数n，设，， 其中d，为正整数，整数b，c满足，， 由于数列单调递增，则对于任意正整数n，， 即， 即， 同除以n并令n趋近正无穷得，即证. （ii）对于正整数n，设， 由数列单调递增，知， 又因为， 故数列必然存在最大项A，最小项B， 下证即可，设正整数t使得， 一方面，由于数列以d为公差， ， 另一方面，， 从而， 又， ， 同理可得，即，即证. 【解析】 【分析】（1）根据数列定义判断证明即可； （2）分别应用定义结合数列的单调性证明即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：根据数列的定义设通项及公差，结合数列的单调性及累加法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年云帆杯8月学情调研考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 锐角中，，，，则AB边上的高CD长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，记为数列的前n项和.数列满足，下列结论一定正确的是（ ） A. B. ， C. ， D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列函数为周期函数的是（ ） A. B. C. D. 10. “大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线与C的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. “”的充要条件是“且” D. “”的充分条件是“，或” 11. 如图，平面m与平面n交线为，空间内有另一条直线，记，的夹角为，与平面m的夹角为，与平面n夹角为，二面角为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式中展开式中项的系数为______ 13. 抛物线的焦点为F，A为C上第一象限的一点，B为A在C的准线上的垂足，直线BF在第四象限交抛物线C于点D，若F为BD中点，则______ 14. 已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点.从这11个点中任选4个点，这四个点不共面的概率为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为推进乡村振兴计划，某镇通过实地考察当地状况，大力推广当地特色农产品.为了统计甲村，乙村生产该产品的质量，现对甲乙两村各随机选取300件产品，产品的质量如下： 合格 不合格 合计 甲村 270 30 300 乙村 290 10 300 合计 560 40 600 （1）分析能否有的把握认为甲乙两村的产品质量有差异？ （2）该镇通过线上平台对乡村生产的产品进行售卖，经统计，该产品在年上半年的月销量符合正态分布，乡镇人员现从年的前个月中随机选取三个月的销量数据，其中销量数据不低于的记为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：， 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 16. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若有两个极值点，求a的最小整数值.（参考数据：） 17. 三棱柱中，，，P，Q分别为线段AB，BC上面的点，且，. （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 双曲线的离心率为，等边三角形ABC的顶点A在y轴上，点BC在双曲线的右支上，当轴时，. （1）求W的方程； （2）设直线BC交y轴于点D，证明：以AD为直径的圆过定点. 19. 设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的” （1）判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为 （2）若数列为“五彩的”且严格单调递增. （i）证明：数列和公差相等； （ii）证明：数列一定为等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $