精品解析：江西省吉安市第三中学2023届高三上学期段考二理科数学试题

吉安三中2022—2023学年度上学期段考二 高三数学试卷（理科） 命题人 审题人 备课组长 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. 或， B. C. D. 2. 独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（ ） A 2021年我国独角兽企业共有170家 B. 京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家 C. 独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半 D. 各行业独角兽企业数量的中位数为13 3. 如图，中国古代建筑的举架结构的纵截面示意图，其中的线段，，，都是竖直放置的，线段，，，都是水平放置的，且.令，，，若，，成公差为0.15的等差数列，且直线的斜率分别为0.75，0.45，则（ ） A. 0.595 B. 2.55 C. 1.6 D. 0.7225 4. 已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 函数在区间上不单调，实数的范围是（ ） A. 或或 B. 或 C. D. 不存在这样的实数 6. 化简结果是 A. B. C. D. 7. 某单位实行职工值夜班制度，已知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几 A. 二 B. 三 C. 四 D. 五 8. 为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有 A. 264种 B. 224种 C. 250种 D. 236种 9. 下列函数中，图象关于轴对称的为（ ） A. B. ， C. D. 10. 已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是 A. B. 2 C. 3 D. 11. 关于函数y=sin（2x+φ）（）有如下四个命题： 甲：该函数在上单调递增； 乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为； 丁：该函数图像的一个对称中心为. 如果只有一个假命题，则该命题（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 12. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．) 13. 在“志愿和平”活动中，某校高二年级名男教师和名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务，根据岗位需求应派人巡视商户，且至少有名男教师；另外人测量出入人员体温.则这名教师不同的安排方法有______种（只填数字） 14. 在中，，若为外接圆圆心，则的值为__________． 15. 设双曲线的右焦点为，点在的右支上，为坐标原点，若存在点，使，且，则双曲线的离心率为___________． 16. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为___________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程．) 17. 在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，条件①：；条件②：.求： （1）的值. （2）的面积. 18. 如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，且，求多面体的体积． 19. 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响. （1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由； （2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值； （3）若单局比赛甲班胜乙班的概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望. 20. 已知中心为坐标原点、焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点，直线：与椭圆交于不同的，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上存在点，使得四边形恰好为平行四边形，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值以及此时，的值. 21. 已知函数在轴上的截距为1，且曲线上一点处的切线斜率为. （1）曲线在P点处的切线方程； （2）求函数的极大值和极小值 选修4—4：坐标系与参数方程 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）把的参数方程化为极坐标方程； （2）求与交点的极坐标（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉安三中2022—2023学年度上学期段考二 高三数学试卷（理科） 命题人 审题人 备课组长 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. 或， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对集合求解，再根据题目要求进行集合运算即可 【详解】或， 所以 故选：C 2. 独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（ ） A. 2021年我国独角兽企业共有170家 B. 京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家 C. 独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半 D. 各行业独角兽企业数量的中位数为13 【答案】C 【解析】 【分析】根据给出的图中信息依次分析选项即可. 【详解】对于选项A，将图中各行业数量加和， 可知2021年我国独角兽企业共有170家，故A正确； 对于选项B，京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%， 家，故B正确； 对于选项C，独角兽企业最多的三个行业为电子商务、汽车交通、人工智能， 共有73家，未超过一半，故C错误； 对于选项D，将各行业的企业数量从小到大排列，中位数为13正确. 故选：C 3. 如图，中国古代建筑的举架结构的纵截面示意图，其中的线段，，，都是竖直放置的，线段，，，都是水平放置的，且.令，，，若，，成公差为0.15的等差数列，且直线的斜率分别为0.75，0.45，则（ ） A. 0.595 B. 2.55 C. 1.6 D. 0.7225 【答案】A 【解析】 【分析】先赋特殊值,再根据题意应用直线的斜率,最后利用等差数列公差列式,计算即可. 【详解】设，则，，，， 依题意，，所以，所以， 所以，，所以. 故选:. 4. 已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质确定，由关系列方程求的值. 【详解】由题意可知,, ,即, ，解得． 故选：C． 5. 函数在区间上不单调，实数的范围是（ ） A. 或或 B. 或 C. D. 不存在这样的实数 【答案】B 【解析】 【分析】求导，得到函数的单调区间，若在区间上不单调，故或者计算即得解. 【详解】由于 令或，故在单调递增； 令，故在单调递减. 函数在区间上不单调， 故：即 或者即 故实数的范围是：或 故选：B 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 6. 化简的结果是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项． 【详解】因为为第二象限角， 所以，故选D. 【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型． 7. 某单位实行职工值夜班制度，已知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几 A 二 B. 三 C. 四 D. 五 【答案】C 【解析】 【详解】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四． 详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五， 若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班， 与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾； 若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班， 与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾； 若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意． 故今天是周四． 故选：C． 点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题． 8. 为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有 A. 264种 B. 224种 C. 250种 D. 236种 【答案】A 【解析】 【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解. 【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有种，即一共种方案； 当选取的是2名医生1名护士，共有种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有种，即一共种方案. 综上所述：分配方案共有264种. 故选：A 【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强. 9. 下列函数中，图象关于轴对称的为（ ） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数； A中，，，故为奇函数； B中，的定义域为， 不关于原点对称，故为非奇非偶函数； C中，由正弦函数性质可知，为奇函数； D中，且，，故为偶函数. 故选：D. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法: (1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数 (2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称． 10. 已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是 A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆圆心为 , 圆圆心为,则 其中为A关于直线对称点,所以选B. 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 11. 关于函数y=sin（2x+φ）（）有如下四个命题： 甲：该函数在上单调递增； 乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为； 丁：该函数图像的一个对称中心为. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意首先求出函数增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案. 【详解】令，则函数的增区间为…①； 函数图象向右平移个单位长度得到…②； 令…③； 令…④ 若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令，由①，函数的增区间为，则甲正确，矛盾.令，由①，函数的增区间为，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为，时，，则丙正确.由④，函数的对称中心为，令，丁错误.不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令，结合④，令，由函数的奇偶性，取k=0，，由③，，令，则丙错误.不合题意； 若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，由①，函数的增区间为，甲正确.取区间中点，则丁错误.不合题意； 若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，，由①，函数的增区间为，甲正确.由③，.k=-2时，，则丙正确.由④，，令，④错误.满足题意. 综上：该命题是丁. 故选：D. 12. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数得出大小，又即得出结论. 【详解】构造函数，则， 在上恒成立，则在上单调递减，故，则， ，则， 由对于函数，恒成立， 所以， 即在上恒成立. 所以，（注： ） 所以， 故选：C 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．) 13. 在“志愿和平”活动中，某校高二年级名男教师和名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务，根据岗位需求应派人巡视商户，且至少有名男教师；另外人测量出入人员体温.则这名教师不同的安排方法有______种（只填数字） 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数计算出巡视商户人中无男教师的情况，则对立事件的特点可求得结果. 【详解】巡视商户的人中，无男教师的情况有种； 不同的安排方法数有种. 故答案为：. 14. 在中，，若为外接圆的圆心，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用外心的性质和线性运算把转化为和的式子去进行计算. 【详解】 取的中点，连接、，因为为的外心，所以，则. 故答案为：12. 15. 设双曲线的右焦点为，点在的右支上，为坐标原点，若存在点，使，且，则双曲线的离心率为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】 在焦点三角形中由余弦定理求得关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，在中，，，. 由余弦定理 ，得. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得的关系，本题是由余弦定理得出. 16. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接，容易证得平面，要使，进而得，进而得当时，最小，此时，的面积最小，再根据几何关系求解即可. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接 由于在面内的射影为，，故 因为在面内的射影为，，所以. 又，所以平面. 要使，必须点在平面内， 又点在侧面内， 所以点在平面与平面的交线上，即. 因为平面，平面，所以， 所以 当时，最小，此时，的面积最小. 又，故. 由的面积可得， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面垂直的证明，解题的关键在于根据题意寻求的轨迹，即，进而根据几何关系求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程．) 17. 在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，条件①：；条件②：.求： （1）的值. （2）的面积. 【答案】条件选择见解析：（1）；（2）的面积为. 【解析】 【分析】选①：（1）由已知条件得出，利用余弦定理求出的值，进而可求得的值； （2）求出的值，利用三角形的面积公式可求得结果； 选②：（1）利用余弦定理化简得出，结合条件可求得、的值； （2）求出的值，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】选①：（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即，即， 因为，即，即，故，； （2）因为，则为锐角，所以，， 因此，； 选②：（1）因为且，故， 由余弦定理可得，即， 整理可得，所以，，解得； （2）因为，则为锐角，所以，， 因此，. 18. 如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，且，求多面体的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，得出，平面； （2）取中点，连接，证明平面，求出点到平面的距离，计算多面体的体积． 【详解】解：（1）取中点，连接， 因为是中点， 所以，且， 又因为，， 所以，， 即四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）取中点，连接， 因为是正三角形，所以， 因为平面平面，且交线为， 所以平面， 因为，所以平面， 所以， 故，， 因为是中点，所以点到平面的距离等于， 所以多面体的体积为： ． 【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题． 19. 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响. （1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由； （2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值； （3）若单局比赛甲班胜乙班的概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望. 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）记“比赛两局，甲班全胜”为事件，“比赛三局，甲班前两局中胜一局，第三局胜”为事件，这是两个互斥事件，由独立重复试验的概率公式可分别计算出甲胜概率，从而也可得乙胜的概率，比较即得； （2）求出甲班恰好获胜3局的概率，由基本不等式可得最大值； （3）比赛结束场数可能是3，4，5，注意可能甲胜也可能乙胜，求出概率后由期望公式可计算出期望． 【详解】解：（1）记“比赛两局，甲班全胜”为事件，“比赛三局，甲班前两局中胜一局，第三局胜”为事件，因为，为互斥事件，所以， 所以甲班获胜的概率是，从而乙班获胜的概率也是， 故甲、乙两班获胜的概率相等. （2）设比赛6局，甲班恰好获胜3局的概率为，则. ， 所以当且仅当，即时，甲班恰好获胜3局的概率最大. （3）比赛3局结束有两种情况，即甲班胜3局，或乙班胜3局， 则； 比赛4局结束有两种情况，即前3局中甲班胜2局，第4局甲班胜，或前3局中乙班胜2局，第4局乙班胜，则； 比赛5局结束有两种情况，即前4局中甲班胜2局，第5局甲班胜或前4局乙班胜2局，第5局乙班胜，则， 所以. 【点睛】本题考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式，考查互斥事件的概率，随机变量的期望，旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力． 20. 已知中心为坐标原点、焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点，直线：与椭圆交于不同的，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上存在点，使得四边形恰好为平行四边形，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值以及此时，的值. 【答案】（1）；（2），，. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将两点代入椭圆方程即可求得结果 （2）由于四边形为平行四边形，则，因为点在椭圆上，解得与的关系，根据直线方程得到三角形面积，利用均值不等式求得最值 【详解】（1）由题意可设椭圆的方程为（，，且）. 解得 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可设，. 联立 整理得. . 根据韦达定理得 因为四边形恰好为平行四边形， 所以. 所以， . 因为点在椭圆上，所以， 整理得，即. 在直线：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，. 令，得，令，得. 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为 ， 当且仅当，时，取等号，此时. 所以直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为. 此时，，. 【点睛】本题考查（1）椭圆的标准方程，不确定焦点位置时，可直接设（，，且）；（2）利用向量表示图形特征简化运算 21. 已知函数在轴上的截距为1，且曲线上一点处的切线斜率为. （1）曲线在P点处的切线方程； （2）求函数的极大值和极小值 【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）通过截距为1可得，对函数进行求导，结合切线的斜率为，可得的值，进而可得函数解析式，得到，结合直线的点斜式得切线方程；（2）先得导函数零点，列表判断单调性，得函数极值. 【详解】（1）因为函数在轴上的截距为1，所以 又，所以， ， 所以，故点， 所以切线方程为，即 （2）由题意可得，令得 列表如下： + 0 - 0 + 增区间 极大 减区间 极小 增区间 所以函数的极大值为，极小值为 选修4—4：坐标系与参数方程 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）把的参数方程化为极坐标方程； （2）求与交点的极坐标（）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先由平方法消去参数得的普通方程，再将，代入即可得到的极坐标方程； （2）先由与的直角坐标方程联立求出交点的直角坐标，再将直角坐标化为极坐标即可． 【详解】解：（1）将消去参数，化为普通方程为，即，将，代入，得． （2）因为曲线的极坐标方程为，即，所以的普通方程为，由，解得或．即与的交点坐标为或，由，则的极坐标为，的极坐标为，所以与交点的极坐标分别为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$