精品解析：山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

聊城二中高二开学考试数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：B 2. 向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由投影向量公式求解即可. 【详解】在上投影向量为. 故选：D 3. 若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质及球的面积公式计算即得. 【详解】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离， 因此球的半径，有， 所以球的表面积. 故选：C 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据两平面的位置关系可判断A；根据线面平行的性质结合线线的位置判断B；根据线面的垂直的性质可判断CD. 【详解】在A中，若，，则，可能相交或平行，故A错误： 在B中，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误： 在C中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故C正确； 在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D错误. 故选：C. 5. 以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】由样本数据第百分位的定义求解即可得出答案. 【详解】因为人成绩的第百分位数是， 而，即第位与第位的平均值， 所以是这人成绩的第百分为数. 故选：B. 6. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 7. 在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可. 【详解】连接，如图， 因为是的中点，所以 . 故选：B 8. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解. 【详解】由题意或. 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件 B. 在标准大气压下，水在4℃时结冰为随机事件 C. 若一组数据1，，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为 D. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查．若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取80名学生 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，分别写出两个事件，根据互斥事件的概念判断；对于B，根据物理知识之间判断选项；对于C，根据众数和平均数公式计算结果；对于D，根据分层抽样的计算公式，计算结果. 【详解】对于A，恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至少有一个红球包含的事件是“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A错误， 对于B，在标准大气压下，水在4℃时结冰为不可能事件，故B不正确， 对于C，众数是2，所以，平均数，故C正确， 对于D，由条件可知名学生，故D正确. 故选：CD. 10. 下列命题正确的是（    ） A. 若，则与，共面 B. 若，则共面 C. 若，则共面 D. 若，则共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由共面向量定理即可判断ABD，举出反例即可判断C. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 11. 在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则 C. 若，三角形面积，则 D. 若，则等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据余弦定理，判定为锐角即可求解； 对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解； 对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解； 对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解. 【详解】对于A，由余弦定理得所以为锐角，但是角的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确； 对于B，在中，，则，由正弦定理得，， 即，故B正确； 对于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以， 故C正确； 对于D，由及正弦定理，得，即， 因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确. 故选：BC. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与的夹角为，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，再根据平面向量的数量积公式求解即可 【详解】由可得，即，，代入可得，化简得 故答案为： 【点睛】平面向量的垂直： 若向量，则 13. 已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原△ABC的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用“斜二测画法”判断平面图形的形状，然后求解面积即可． 【详解】水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B'O'＝C'O'＝2，， 可知原△ABC是等腰直角三角形，底边长为4，高为2， 则原△ABC的面积为：． 故答案为4． 【点睛】本题考查斜二测画法，平面图形的面积的求法，考查计算能力． 14. 某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则求他不能中奖的概率是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得个球中代表无奖的球的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得结果. 【详解】从个球中任取一个小球，中二等奖或三等奖的概率为， 故可得代表二等奖和三等奖的球共有个，又代表一等奖的球有个， 故代表无奖的球有个，故小华同学获得一次摸奖机会，不能中奖的概率. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数（，是虚数单位）． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法公式计算并整理，再由纯虚数中实部为零，虚部不为零构建方程组，求得答案； （2）由共轭复数和复数的加减法计算公式整理，再由复数的几何意义构建不等式组，求得答案. 【详解】（1）， 因为为纯虚数，所以，解得． （2）因为是的共轭复数，所以， 所以． 因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，所以 ，解得． 【点睛】本题考查复数中利用纯虚数的定义求参数取值范围，还考查了由复数的几何意义求参数范围，属于基础题. 16. 已知，. （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把展开，利用向量的夹角公式可得答案； （2）可先将平方转化为向量的数量积计算可得答案； （3）由与的夹角得到，利用三角形面积公式计算可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，所以， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为， 所以； 【小问3详解】 因为与的夹角，所以， 又，， 所以. 17. 如图，三棱台中， 分别为的中点. （Ⅰ）求证：平面 ； （Ⅱ）若求证：平面平面 . 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】如下 【详解】（Ⅰ）证法一：连接设,连接，在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则为的中点，又是的中点，所以, 又平面，平面，所以平面. 证法二：在三棱台中，由为的中点， 可得所以为平行四边形，可得 在中，分别为的中点， 所以又， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面. （Ⅱ）证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以 又，所以. 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 考点：1.平行关系；2.垂直关系. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 【答案】（1） （2）选择①②，答案均为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积； 选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积. 【小问1详解】 由正弦定理知，， ∵， 代入上式得， ∵，∴，， ∵，∴． 【小问2详解】 若选①：由平分得，， ∴，即． 在中，由余弦定理得， 又，∴， 联立得， 解得，（舍去）， ∴． 若选②：因为， 所以， 即，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， ∴． 19. 党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图： （1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数； （2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率； （3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案， 方案一：每满80元可立减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠. 【答案】（1）2；（2）；（3）应该选择方案二更优惠. 【解析】 【分析】（1）由题意可求出金额在“水果达人”的人数30人和消费金额在“水果达人”的人数20人，然后利用分层抽样的比求出5人中消费金额不低于100元的人数为人； （2）由（1）可知抽取的5人中消费金额在的有3人，分别记为，，，消费金额在的有2人，记为，，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足条件的有7种，从而可求出概率； （3）由题意可得该游客要购买110元水果，分别计算两种方案所需支付金额，即可得解. 【详解】解：（1）由图可知， 消费金额在“水果达人”的人数为：人， 消费金额在“水果达人”的人数为：人， 分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，这5人中消费金额不低于100元的人数为：人； （2）由（1）得， 消费金额在3个“水果达人”记为，，， 消费金额在的2个“水果达人”记为，， 所有基本事件有： ，，，，，，，，，共种， 2人中至少有1人购买金额不低于100元的有种， 所求概率为. （3）依题可知该游客要购买110元的水果， 若选择方案一，则需支付元， 若选择方案二，则需支付元， 所以应该选择方案二更优惠. 【点睛】此题考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分析能力，运算求解能力，考查了化归与转化思想，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 聊城二中高二开学考试数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 6. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C D. 8. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件 B. 在标准大气压下，水在4℃时结冰为随机事件 C. 若一组数据1，，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为 D. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查．若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取80名学生 10. 下列命题正确的是（    ） A. 若，则与，共面 B. 若，则共面 C. 若，则共面 D. 若，则共面 11. 在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B 若，则 C. 若，三角形面积，则 D. 若，则等腰三角形 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与的夹角为，且，则实数的值为______. 13. 已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原△ABC的面积为_____． 14. 某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则求他不能中奖的概率是____________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数（，是虚数单位）． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围． 16. 已知，. （1）求与夹角； （2）求； （3）若，，求的面积. 17. 如图，三棱台中， 分别为的中点. （Ⅰ）求证：平面 ； （Ⅱ）若求证：平面平面 . 18. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 19. 党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图： （1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数； （2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率； （3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案， 方案一：每满80元可立减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$