专题01 整式重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题01 整式重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 多项式的判断 题型四 多项式的项、项数或次数 题型五 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型六 数字类规律探索 题型七 图形类规律探索 知识点一：单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 知识点二：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 知识点三：整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】下列式子中，（      ）是单项式． A． B． C． D． 1．下列代数式中中，单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 3．指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数： 、、、、 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】单项式的系数是（    ） A． B． C．2 D． 1．单项式的系数是（   ） A．1 B．2 C．4 D． 2．在下列式子中： 、、2、、、，多项式有 个 3．（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【经典例题三 多项式的判断】 【例3】下列式子：，，，，，中，整式的个数是（　　） A． B． C． D． 1．下列说法正确的是（    ） A．的次数是次 B．不是多项式 C．的次数是 D．是等式 2．有一列式子：，，，，，．其中是单项式的有 ；是多项式的有 ． 3．某校有n间学生宿舍，每6人住1间，只有1间没有住满，不满的房间住4人． (1)该校共有______名住校生（用化简后的式子表示），所列的整式是______（填“单项式”或“多项式”）； (2)若有60间宿舍，则该校有多少名住校生？ 【经典例题四 多项式的项、项数或次数】 【例5】下列结论中正确的是（    ）． A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的系数是1，次数是4 C．多项式是三次三项式 D．单项式m的次数是1，没有系数 1．下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 2．已知多项式（为常数）是二次三项式，则 ． 3．已知是关于x的一次式，约定，求n的值． 【经典例题五 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例5】将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 1．把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若多项式是按字母x降幂排列的，则整数n的值可以是 （写出一个即可） 3．有一个关于、的多项式，每项的次数都是． (1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______； (2)写出同时满足下列要求的一个多项式： ①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列． 【经典例题六 数字类规律探索】 【例6】（数字找规律）瑞士的一位中学教师巴尔末成功地从光谱数据…中发现了一个规律，从而打开了光谱美妙的大门．请你根据这个规律写出第5个数是（    ）． A． B． C． D． 1．把一张纸剪成5块，从所得纸片中取一块，把此块再剪成5块，然后从这5块中取出一块，把此块又剪成5块，……这样类似进行n次后（n是正整数），共得纸片的总块数是（    ） A． B． C． D． 2．已知一串有规律的数：，，，，，…那么这串数的第9个数是( ) 3．数学中我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形，观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？    根据发现的规律填空： (1)；； (2)(   ) (   )． 【经典例题七 图形类规律探索】 【例7】在一次运动会上，工作人员按个红色气球，个蓝色气球，个黄色气球，个绿色气球的顺序把气球串起来装饰会场，则第个气球是（    ）色的． A．红 B．蓝 C．黄 D．绿 1．红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图． 如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒． A．23 B．31 C．35 D．45 2．第1个图案需要6根小棒，第2个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第n个图案需要 根小棒．    3．摆一摆，找规律．    (1)依次摆下去，图形⑤是什么图形？画出来． (2)摆图形⑥需要用多少根小棒？ 1．已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（    ） A． B．3 C． D．1 3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，即8为“和谐数”），在不超过2024的正整数中，将所有的“和谐数”从小到大排列，最中间的和谐数为（    ） A．1016 B．1012 C．1008 D．最中间的有两个：1008和1016 4．下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 5．某同学用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则24块积木拼成图形的长度为（   ） A．124cm B．132cm C．138cm D．148cm 6．若关于的多项式是四次三项式，则的值为 ． 7．在代数式：，，，，，中，整式有 个． 8．观察用小木棒摆出的图形照这样摆n个一共需要 根小木棒． 9．已知，，，．若， ． 10．单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 11．找出下列代数式中的一次式： 、、． 12．（1）已知，，且，求的值； （2）已知是关于、的七次四项式，且它的最高次项的系数是8，求、的值． 13．已知多项式是五次四项式，单项式与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值． (2)若，求这个多项式的值． 14．阅读理解： 在求的值时，小林发现：后面的数是前面数的2倍，于是他设：①然后在①式的两边都乘以2，得：②，②①得，，得出答案 仿照例题求 (1)的值； (2)直接写出的值 ． 15．探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 多项式的判断 题型四 多项式的项、项数或次数 题型五 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型六 数字类规律探索 题型七 图形类规律探索 知识点一：单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 知识点二：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 知识点三：整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】下列式子中，（      ）是单项式． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式的定义（由数或字母的积组成的整式：字母和数字的乘积的形式，单独的字母也是单项式）对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．此题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是单项式，故选项A符合题意； B、不是整式，不是单项式，故选项B不符合题意； C、是多项式，不是单项式，故选项C不符合题意； D、不是整式，不是单项式，故选项D不符合题意； 故选：A 1．下列代数式中中，单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的概念，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：在中单项式有： b，，，，共4个． 故选：C． 2．下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式、单项式的概念．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．有限个单项式求和得到的代数式叫做整式．根据整式、单项式的概念，紧扣概念作出判断． 【详解】解：单项式有：， 整式有：， 故答案为：；． 3．指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数： 、、、、 【答案】答案见详解 【分析】本题主要考查整式的知识，掌握单项式的系数，次数，多项式的项的定义是解题的关键，根据一次项，常数项，一次项系数的定义“只含有一个字母，且字母的指数是1，叫作一次项；不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数”即可求解． 【详解】解：的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】单项式的系数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数，根据单项式的系数是单项式中的数字因数求解即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故选：B． 1．单项式的系数是（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点为：单项式的定义、单项式系数的定义；单项式中数字因数包括负号这个知识点是解答本题的关键． 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 【详解】解：根据单项式系数的定义，可知：的系数为． 故选：D． 2．在下列式子中： 、、2、、、，多项式有 个 【答案】3 【分析】此题主要考查了多项式．熟练掌握多项式定义是解题关键． 根据几个单项式的和叫做多项式进行分析判断即可． 【详解】解：、、2、、、中， 多项式有、、，共3个． 故答案为：3． 3．（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 【经典例题三 多项式的判断】 【例3】下列式子：，，，，，中，整式的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的概念，根据整式的定义从给出的式子中找出整式的个数即可，正确把握定义是解题关键． 【详解】解：是单项式，属于整式， 是分式， 是单项式，属于整式， 是分式， 是单项式，属于整式， 是单项式，属于整式， ∴根据整式的定义可知，共有个， 故选：． 1．下列说法正确的是（    ） A．的次数是次 B．不是多项式 C．的次数是 D．是等式 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式和多项式，以及等式定义，关键是掌握单项式和多项式次数的计算方法．根据单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；含有等号的式子是等式进行分析即可． 【详解】解：A、的次数是3次，故原题说法错误； B、不是多项式，故原题说法正确； C、的次数是2，故原题说法错误； D、0不是等式，故原题说法错误； 故选：B． 2．有一列式子：，，，，，．其中是单项式的有 ；是多项式的有 ． 【答案】 ，，8 ， 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，掌握定义是解本题的关键．单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；根据单项式和多项式的定义逐一判断即可． 【详解】题目中是单项式的有：，，8； 故答案为：，，8． 题目中是多项式的有：；，. 故答案为：，. 3．某校有n间学生宿舍，每6人住1间，只有1间没有住满，不满的房间住4人． (1)该校共有______名住校生（用化简后的式子表示），所列的整式是______（填“单项式”或“多项式”）； (2)若有60间宿舍，则该校有多少名住校生？ 【答案】(1)，多项式 (2)358 【分析】（1）本题主要考查了列代数式和多项式的定义，根据题意列出代数式、再按多项式定义判断即可；审清题意、列出代数式是解题的关键； （2）本题主要考查了代数式求值，将代入（1）所得代数式即可解答；掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：该校共有，是多项式． 故答案为：，多项式． （2）解：将代入（1）所得的代数可得：． 答：该校有358名住校生． 【经典例题四 多项式的项、项数或次数】 【例5】下列结论中正确的是（    ）． A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的系数是1，次数是4 C．多项式是三次三项式 D．单项式m的次数是1，没有系数 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数、多项式的次数、项数，解答的关键是熟知单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数的和是单项式的次数；多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数．根据单项式的系数、次数、多项式的次数、项数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的系数是，次数是4，故本选项错误，不符合题意； C、多项式是三次三项式，故本选项正确，符合题意； D、单项式m的次数是1，系数也是1，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 1．下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数的定义，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的次数的定义求解即可． 【详解】解：A、最高次项为，次数为，不符合题意； B、最高次项为，次数为，不符合题意； C、最高次项为和，次数为4，符合题意； D、最高次项为，次数为，不符合题意； 故选：C． 2．已知多项式（为常数）是二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，代数式求值，根据二次三项式的定义可得，且，据此得到，再代入代数式计算即可求解，掌握多项式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：∵多项式（为常数）是二次三项式， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知是关于x的一次式，约定，求n的值． 【答案】或3 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是熟练掌握一次式的定义：未知数的最高次数为1的整式是一次式． 根据一次式的定义得到或或，易求n的值． 【详解】解：∵是关于x的一次式，约定， ∴或或， 解得或或． 当时，原式不是关于x的一次式，不合题意， ∴或3． 【经典例题五 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例5】将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先确定各项中的次数，再排列即可，弄清楚每项中的系数是解此题的关键． 【详解】解：将多项式按的降幂排列的结果为， 故选：D． 1．把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 2．若多项式是按字母x降幂排列的，则整数n的值可以是 （写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，能根据多项式是按字母降幂排列得出是解此题的关键．根据多项式是按字母降幂排列得出，求出的范围，再根据为整数求出答案即可． 【详解】解：多项式是按字母降幂排列， ， ， 为整数， 或2或3或4． 故答案为：3（答案不唯一） 3．有一个关于、的多项式，每项的次数都是． (1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______； (2)写出同时满足下列要求的一个多项式： ①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据多项式的定义进行解答即可； （2）根据多项式的系数和次数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：多项式含有，，每项的次数都是，且， 各项的字母组成只能是： ，，，， 项数最多的一个多项式有四项， 项数最少的一个多项式有两项：（答案不唯一）， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）需要同时满足：①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列，的关于、的多项式，每项的次数都是， 满足要求的多项式为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式及其次数，系数，熟练掌握多项式及其次数，系数的定义是解答本题的关键． 【经典例题六 数字类规律探索】 【例6】（数字找规律）瑞士的一位中学教师巴尔末成功地从光谱数据…中发现了一个规律，从而打开了光谱美妙的大门．请你根据这个规律写出第5个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，发现分子和分母的变化规律是解题的关键． 由题意可知：分子是……的平方数，分母比分子小4，据此规律即可解答． 【详解】解：由题意可知：分子是……的平方数，分母比分子小4， 第5个数的分子是：， 分母是：， 这个分数是：． 故选：C． 1．把一张纸剪成5块，从所得纸片中取一块，把此块再剪成5块，然后从这5块中取出一块，把此块又剪成5块，……这样类似进行n次后（n是正整数），共得纸片的总块数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化规律，每剪一次，消耗掉一个大的，变成5个小的，因此每剪一次相当于增加4个纸片，据此即可解答问题． 【详解】解：当时，有块； 当时，有块； 当时，有块； ⋯⋯ 所以，可看出来，每次增加4块纸片，所以类似进行n次后（n是正整数），就应该有块纸片， 故选：C． 2．已知一串有规律的数：，，，，，…那么这串数的第9个数是( ) 【答案】 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，分别根据分子与分母的变化规律例举出前面9个数，即可得到答案． 【详解】解：观察这列数的规律是：第1个数的分子为1， 第2个数的分子为， 第3个数的分子为， 第4个数的分子为， 第5个数的分子为， 第6个数的分子为， 第7个数的分子为， 第8个数的分子为， 第9个数的分子为， 第1个数的分母为， 第2个数的分母为， 第3个数的分母为， 第4个数的分母为， 第5个数的分母为， 第6个数的分母为， 第7个数的分母为， 第8个数的分母为， 第9个数的分母为， ∴第9个数为． 故答案为： 3．数学中我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形，观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？    根据发现的规律填空： (1)；； (2)(   ) (   )． 【答案】(1)5，17 (2)2023，2025 【分析】本题考查数字类规律探索： （1）观察所给图形及算式可得； （2）利用发现的规律即可求解． 【详解】（1）解：由所给图形及算式可得， 因此，； （2）解：由（1）中发现规律可得： 即． 【经典例题七 图形类规律探索】 【例7】在一次运动会上，工作人员按个红色气球，个蓝色气球，个黄色气球，个绿色气球的顺序把气球串起来装饰会场，则第个气球是（    ）色的． A．红 B．蓝 C．黄 D．绿 【答案】B 【分析】本题主要考查了数列的规律寻找和除法的运用． 根据题意知气球串起来规律为个一组循环排列，用除以，商是，余数为，所以得到第组第个气球为蓝色． 【详解】解：由题意得知红蓝黄绿，个为一组循环排列， ， 第组第个是蓝色气球， 故选：B． 1．红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图． 如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒． A．23 B．31 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，能用含的代数式表示第幅图要用的小棒根数是解题的关键． 依次求出图形中小棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1幅图要用的小棒根数为：； 第2幅图要用的小棒根数为：； 第3幅图要用的小棒根数为：； 第4幅图要用的小棒根数为：； ， 所以第幅图要用的小棒根数为根， 当时， （根， 即第5幅图要用的小棒根数为31根． 故选：B． 2．第1个图案需要6根小棒，第2个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第n个图案需要 根小棒．    【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律．根据所给的图形不难得出第个图形小棒的根数为，从而解题． 【详解】图案（2）比图案（1）多了5根小棒，图案（3）比图案（2）多了5根小棒， 根据图形的变换规律可知： 每个图案比前一个图案多5根小棒， ∵第1个图案所需要6根小棒，， 第2个图案所需要11根小棒，， 第3个图案所需要16根小棒，， ∴第n个图案需要的小棒：． 故答案为：． 3．摆一摆，找规律．    (1)依次摆下去，图形⑤是什么图形？画出来． (2)摆图形⑥需要用多少根小棒？ 【答案】(1)长方形，见解析 (2)19 【分析】本题考查了图形的变化类问题，能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴． （1）根据规律画出图形即可； （2）根据规律计算即可 【详解】（1）解：图形⑤是长方形，如图：        （2）解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴； 当时，， 所以，摆图形⑥需要用19根小棒. 1．已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式系数、次数，解题的关键是掌握：数字与字母的积是单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和是单项式的次数．据此求出、的值即可． 【详解】解：∵单项式的系数为，次数为， ∴，， ∴， ∴的值是． 故选：B． 2．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，即可得出结果． 【详解】解： 故每三个数是一组循环数字， ∵， ∴； 故选C． 3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，即8为“和谐数”），在不超过2024的正整数中，将所有的“和谐数”从小到大排列，最中间的和谐数为（    ） A．1016 B．1012 C．1008 D．最中间的有两个：1008和1016 【答案】A 【分析】此题主要考查了数字类规律问题，解答此题的关键是判断出在不超过的正整数中，“和谐数”的规律．根据题意，不超过的正整数中，“和谐数”有，，，，，，发现规律：“和谐数”都是8的倍数，求出在不超过的正整数中，判断出一共有253个“和谐数”，并求出最中间的“和谐数”． 【详解】解：，，，，，， ，，，，，， “和谐数”都是8的倍数， ， 不超过的正整数中，最大的“和谐数”是， 在不超过的正整数中，所有的“和谐数”有，一共有个，最中间的数是1个，是第个“和谐数”． 最中间的“和谐数”为 故选：． 4．下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念，根据有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念逐项判断即可求解，掌握有理数的分类、绝对值的意义及整式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：①有理数分为正整数、负整数、、正分数、负分数，该选项错误，不合题意； 如果 ，那么，该选项错误，不合题意； ③是六次单项式，该选项错误，不合题意； ④是四次二项次，该选项错误，不合题意； ⑤是多项式，该选项错误，不合题意； ⑥与是同类项，该选项正确，符合题意； ∴正确的只有个， 故选：． 5．某同学用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则24块积木拼成图形的长度为（   ） A．124cm B．132cm C．138cm D．148cm 【答案】D 【分析】本题考查图形规律，观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：，根据规律即可求解． 【详解】解：观察图形可知：当两个图拼接时，总长度为：； 当三个图拼接时，总长度为：； 以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：， ∴当时，总长度为：． 故选：D． 6．若关于的多项式是四次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的概念，熟练掌握多项式的概念是解题的关键．根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：多项式是四次三项式， ， ， 故答案为：． 7．在代数式：，，，，，中，整式有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的概念，掌握整式是单项式与多项式的统称成为解题关键．根据整式的概念是单项式与多项式的统称逐个判断即可． 【详解】解：代数式：，，，，，中的按整式有，，， ，共有5个． 故答案为：5． 8．观察用小木棒摆出的图形照这样摆n个一共需要 根小木棒． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化类问题，找到摆个需要根小木棒是解题的关键．根据题意求出摆个需要根小木棒，即可得到答案． 【详解】解：摆个需要根小木棒， 摆n个一共需要根， 故答案为：． 9．已知，，，．若， ． 【答案】109 【分析】本题主要考查数字规律，找到规律是解题的关键．根据题意找到规律即可得到答案． 【详解】解：通过题意可得：， ， ， 故答案为：． 10．单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，多项式的定义，先根据同类项的定义得出，再由项的系数是得出，求出的值，然后代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴， ∵关于的多项式中项的系数是， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 11．找出下列代数式中的一次式： 、、． 【答案】、 【分析】本题考查了单项式及多项式的次数，根据单项式及多项式的次数的概念求解即可． 【详解】解：在、、中，一次式有、、 12．（1）已知，，且，求的值； （2）已知是关于、的七次四项式，且它的最高次项的系数是8，求、的值． 【答案】（1）的值为或；（2）， 【分析】本题主要考查绝对值，有理数的加法，有理数的减法， （1）由题意可得，，再根据条件代入相应的数值计算即可； （2）根据多项式的系数和次数得出，，再求出m、n即可． 【详解】解：（1），， ，， ， ， ，． 当时，， 当时，， 综上，的值为或． （2）是关于、的七次四项式，且它的最高次项的系数是8， ，， ，． 13．已知多项式是五次四项式，单项式与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值． (2)若，求这个多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，有理数的混合运算，根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键． （1）根据多项式是五次四项式，可得，根据单项式与该多项式的次数相同可得，求解即可； （2）把代入多项式中求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，且单项式与多项式的次数相同， ， 解得：； （2）∵， ∴这个多项式是， 当时， ． 14．阅读理解： 在求的值时，小林发现：后面的数是前面数的2倍，于是他设：①然后在①式的两边都乘以2，得：②，②①得，，得出答案 仿照例题求 (1)的值； (2)直接写出的值 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算过程，灵活应用该方法求和是解题的关键． （1）设①，得到②，②－①得，，即可求出答案； （2）设①，则②，②－①得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：设①， 则② ②－①得， 解得 即的值为； （2）设① 则②， ②－①得，， ∴ 故答案为： 15．探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$