第三单元倍数与因数（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

倍数与因数 板块一：典例精讲 1．奇数与偶数的初步认识 【知识点解释】 偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等． 【知识点归纳】 奇数和偶数的性质： 奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数 奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 2．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是2的倍数． 4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 6．最后一位是5或0的数是5的倍数． 7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 3．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 5．2的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 【方法总结】 奇数+奇数＝偶数 偶数+偶数＝偶数 奇数+偶数＝奇数 6．5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 7．3的倍数特征 【知识点归纳】 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7＝10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 【方法总结】 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 板块二：高频考点 一、选择题 1．一个四位数，最高位上的数是最小的合数，百位上的数是最小的质数，十位上的数既是奇数又是合数，且这个四位数同时是2、3、5的倍数。这个四位数是（    ）。 A．4290 B．4190 C．4390 2．要使45是3的倍数，里可以填（    ）。 A．0 B．1 C．2 3．下面各组数中，全是质数的一组是（    ）。 A．2、5、39 B．2、13、97 C．3、7、87 4．用数字卡片3，4，0组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是5的倍数，一共可以组成(　　)个不同的三位数． A．1 B．2 C．3 5．用0，1，3，5组成的所有四位数都能被（　　）整除． A．5 B．2 C．3 6．一个自然数的最小倍数与它的最大因数的关系是（　　） A．大于 B．小于 C．等于 7．要使五位数“2012□”既是2的倍数，又有因数3，方框里可能是（    ）。 A．4 B．6 C．8 二、填空题 8．2是8的( )，从8开始，8的5个倍数依次是( )；3和5是15的( )，从15开始，15的5个倍数依次是( )。 9．一个数是48的因数，这个数可能是（ ） 一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是（ ） 一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数可能是（ ） 10．自然数104至少加上( )才是3的倍数，至少减少( )后同时是2和5的倍数。 11．一个自然数的最小倍数是7，它的30以内的全部倍数有( )。 12．33的因数有( )，共( )个，其中最大的是( )，最小的是( )． 13．1－17的自然数中，是合数的有( )，是偶数的有( )。 14．一个数既是6的倍数又是54的因数，这个数最大是( )。 三、判断题 15．如果a是一个奇数，那么8a一定是偶数。( ) 16．一个长方形的长是偶数，宽是奇数。这个长方形的面积一定是奇数。( ) 17．4既是36的因数，又是36的质因数。 ( ) 18．8的因数只有1、2、8。( ) 19．因为48÷8=6，所以48是倍数，8是因数（ ） 20．用12个同样大的小正方形拼成一个长方形，一共有6种不同拼法。( ) 21．因为14÷2＝7，所以14是倍数，2是因数。( ) 22．因为，所以3.6是4和0.9的倍数，0.9和4是3.6的因数。( ) 四、解答题 23．五位数2□35□，既是3的倍数，又是2倍数，同时又有因数5，在所有可能性中，最小的数是多少？最大的数是多少？ 24．王阿姨用63颗红珠子、27颗蓝珠子和45颗黄珠子穿手链，要求每条手链所用的红、黄、蓝三种珠子颗数相同，最多可以穿几条手链？ 25．茶叶店把84个小青柑装在不同的盒子里，每个盒子装的小青柑个数相同且为质数个，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？ 26．商店运来87千克糖果，如果每5千克装一袋，能正好装完吗？如果每3千克装一袋，能正好装完吗？请说明理由。 27．五（1）班有36人，五（2）班有42人，学校要举行广播操比赛，要求各排人数相同，每排最多可以站多少人？两个班分别站多少排？ 28．华联超市展开“庆六一童车促销”活动，6月1日上午售出总数的一半少3辆，下午售出剩下的一半多2辆，还剩12辆没有卖出．华联超市这次活动准备了多少辆童车？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A B B C C A 1．A 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数； 在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数； 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； 根据2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数； 根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数； 根据5的倍数特征：个位上的数字是0和5的数是5的倍数，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 最小的合数是4，所以最高位上的数字是4； 最小的质数是2，所以百位上的数字是2； 10以内是合数的数有：4、6、8、9，其中9是奇数，所以十位上的数字是9； A.4290，各个数位上的数字之和是4＋2＋9＋0＝15，15是3的倍数，同时个位上的数字是0，是2和5的倍数，所以4290符合题意； B．4190，百位上的数字不是2，不符合题意； C．4390，百位上的数字不是2，不符合题意； 故答案为：A 【点睛】本题考查了合数、质数、奇数和2、3和5的倍数特征，熟记每个倍数特征的内容是解题的关键。 2．A 【分析】根据3的倍数的特征：各个数位上数的和能被3整除；据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．4＋0＋5＝9；9能被3整除，是3的倍数，□内可以填0； B．4＋1＋5＝10；10不能被3整除，不是3的倍数，□内不可以填1； C．4＋2＋5＝11；11不能被3整除，不是3的倍数，□内不可以填2。 要使4□5是3的倍数，□里可以填0。 故答案为：A 【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。 3．B 【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。据此解题。 【详解】A．2和5是质数，39是合数； B．2、13、97全是质数； C．3和7是质数，87是合数； 故答案为：B 4．B 5．C 【详解】0+3+1+5＝9， 9能被3整除，所以用0，1，3，5组成的所有四位数都能被3整除． 故选C． 【点评】此题属于易错题，做题时应根据能被3整除数的特征，进行解答． 6．C 【详解】一个数的最大因数和最小最小倍数都是它本身． 故选：C． 7．A 【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数，据此逐一分析各项即可。 【详解】方框里填4、6或8，“2012□”都是2的倍数； A．，9是3的倍数，所以20124又是3的倍数，符合题意； B．，11不是3的倍数，不符合题意； C．，13不是3的倍数，不符合题意。 故答案为：A 【点睛】本题考查2、3的倍数，明确2、3的倍数特征是解题的关键。 8． 因数 8、16、24、32、40 因数 15、30、45、60、75 【分析】因为2×4＝8，所以2是8的因数；从8开始的8的5个倍数是8依次乘1、2、3、4、5的积；因为3×5＝15，所以3和5是15的因数；从15开始的15的5个倍数是15依次乘1、2、3、4、5的积。 【详解】（1）2是8的因数； （2）从8开始，8的5个倍数依次是8、16、24、32、40； （3）3和5是15的因数； （4）从15开始，15的5个倍数依次是15、30、45、60、75。 【点睛】此题重点考查因数的定义及找一个数倍数的方法。 9．1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，8、16、24、48，24、48 【详解】试题分析：（1）求这个数可能是多少，即求48的因数，根据找一个数因数的方法，列举出即可； （2）求这个数，即求48以内的8的倍数； （3）求这个数，即求48以内的3和8的公倍数． 解：（1）48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； （2）48以内的8的倍数有：8、16、24、48； （3）48以内的3和8的公倍数有：24、48； 故答案为1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，8、16、24、48，24、48． 点评：解答此题应根据找一个数因数的方法和求一个数倍数的方法进行解答． 10． 1 4 【分析】3的倍数的特点：各个数位上的数字之和能倍3整除； 2倍数的数的特点：个位是0，2，4，6，8的数，是2的倍数； 5的倍数特征：个位是0或5的数，是5的倍数，同时是2和5的倍数，个位是0，据此解答。 【详解】104÷3＝32……2， 2＋1＝3，至少加上1才是3的倍数； 104－4＝100，100是2和5 的倍数； 104减去4同时是2和5的倍数。 自然数104至少加上1才是3的倍数，至少减少4后同时是2和5的倍数。 【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。 11．7、14、21、28 【分析】根据一个数的因数和倍数的特征可知，一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。一个自然数的最小倍数是7，这个自然数是它本身，再根据求一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此写出这个数的30以内的全部倍数。 【详解】一个自然数的最小倍数是7，这个自然数是7。 30以内7的倍数有7、14、21、28。 【点睛】此题的解题关键是理解一个数的因数和倍数的特征，掌握求一个数的倍数的方法。 12． 1、3、11、33 4 33 1 13． 4、6、8、9、10、12、14、15、16 2、4、6、8、10、12、14、16 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。据此解答即可。 【详解】1－17的自然数中，是合数的有：4、6、8、9、10、12、14、15、16，是偶数的有：2、4、6、8、10、12、14、16。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握偶数、奇数、质数、合数的意义，以及偶数与合数的区别，奇数与质数的区别。 14．54 【分析】 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数，据此解答。 【详解】54（包括54）以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54； 所以，一个数既是54的因数又是6的倍数，这个数最大是54。 【点睛】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法。 15．√ 【分析】根据题意，那么8a一定是偶数，因为偶数×奇数＝偶数 【详解】如果a是一个奇数，那么8a ＝8×a，所以一定是偶数。 故本题说法正确。 【点睛】本题考查了一个偶数和一个奇数相乘的结果是奇数还是偶数的问题。要牢记：偶数×奇数＝偶数。 16．× 【分析】长方形面积＝长×宽，偶数×奇数＝偶数，据此分析判断即可。 【详解】因为一个长方形的长是偶数，宽是奇数，则这个长方形的面积一定是偶数，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查了长方形面积公式和奇数、偶数的运算性质的灵活运用。 17．× 【分析】根据因数和倍数的意义及质因数的意义，每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。 【详解】根据因数和倍数的意义可知：4是36的因数 根据质因数的意义，质因数是相对于它的倍数来说的，前提是质数， 4是合数，它就不是36的质因数。 所以此说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】此题考查的是倍数和因数的关系及质因数的意义，明确：质因数也是一个具体的数，且必须是一个质数，它是一个合数的因数，不能单独说一个数是质因数。 18．× 【分析】根据找因数的方法，列出8的所有因数，即可判断。 【详解】8的因数：1，2，4，8。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查找一个数因数的方法，应注意灵活运用。 19．× 【详解】试题分析：根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可． 解：因为48÷8=6，所以48是8的倍数，8是48的因数， 因数和倍数不能单独存在，所以本题说法错误． 故答案为×． 点评：此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在． 20．× 【分析】根据12＝12×1＝6×2＝4×3可知，用12个小正方形拼成一个长方形，可以拼成一行，一行有12个小正方形；可以拼成2行，一行6个小正方形；可以拼成3行，一行有4个小正方形，一共有3种拼法；据此解答。 【详解】根据分析可知，用12个同样大的小正方形拼成一个长方形，一共有3种不同拼法。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】要求若干个小正方形可以拼成几个长方形，关键是看小正方形的总个数可以由哪两个数相乘得到，这两个数表示拼成几行以及一行小正方形的个数。 21．× 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。 【详解】因为14÷2＝7，所以14是2的倍数，2是14的因数。 原题说法错误。 故答案为：× 22．× 【分析】在除法算式中，只有除数和被除数都是整数的情况下才能讨论倍数和因数的概念。 【详解】因为3.6÷4＝0.9，3.6不是整数，0.9也不是整数，所以3.6不是4和0.9的倍数，0.9和4也不是3.6的因数。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，倍数和因数两者都只能是整数，不能是小数。 23．22350；28350 【分析】2的倍数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位上的数是0，5；3的倍数的特征：所有数位上的数字之和是3的倍数；据此可知：同时是2，3，5的倍数的数的特征：个位上的数字是0，所有数位上的数字之和是3的倍数。 【详解】根据分析可得： 个位上的□里面的数字是“0”，千位上的数字是2或5或8； 22350＜25350＜28350 答：五位数2□35□，既是3的倍数，又是2倍数，同时又有因数5，在所有可能性中，最小的数是22350，最大的数是28350。 【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意牢固掌握2、3、5的倍数特征，灵活运用。 24．9条 【分析】要求每条手链所用的红、黄、蓝三种珠子颗数相同，就是求它们的最大公因数。 【详解】分解质因数： 63＝3×3×7 27＝3×3×3 45＝3×3×5 它们的最大公因数是：3×3＝9 63÷9＝7（颗） 27÷9＝3（颗） 45÷9＝5（颗） 答：最多可以穿9条手链。 【点睛】本题考查了最大公因数在生活中的应用，注意本题问的是“最多可以穿几条手链”，也就是要求最大它们的最大公因数。 25．3种；每盒装2个，需要42个盒子，每盒装3个，需要28个盒子，每盒装7个，需要12个盒子。 【分析】首先对84分解质因数，得到84＝2×2×3×7，有几个不同的质因数就有几种不同的装法；题目要求每个盒子装同样多小青柑且为质数个，所以可以将2、3、7看作小青柑的数量，用总个数分别除以每盒装的个数，可得需要几个盒子。 【详解】由分析可得： 84＝2×2×3×7，分别有2、3、7三种不同质因数，所以有3种不同装法； 84÷2＝42（个） 84÷3＝28（个） 84÷7＝12（个） 答：有3种不同的装法。每盒装2个，需要42个盒子，每盒装3个，需要28个盒子，每盒装7个，需要12个盒子。 【点睛】本题考查了分解质因数的灵活运用，解题的关键是明确分解出来的质因数就是每个盒子装的小青柑的个数。 26．不能；能 【分析】根据5的倍数特征：个位上是0或5的数，是5的倍数； 3的倍数特征：各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数；据此解答。 【详解】87的个位是7，87不是5的倍数，不能正好装完； 8＋7＝15，15能被3整除，87是3的倍数，能正好装完。 答：如果每5千克装一袋，不能正好装完，如果每3千克装一袋，能正好装完。 27．6人  （1）班站6排，（2）班站7排 【详解】因为36和42的最大公因数是6，所以每排最多可以站6人；36÷6=6（排）  42÷6=7（排）所以（1）班站6排，（2）班站7排． 28．50辆 【详解】由“下午售出剩下的一半多2辆，还剩12辆没有卖出”，可知12辆加上2辆是上午卖出后剩下的一半，那么上午卖出后剩下（12+2）×2=28（辆）；由“上午售出总数的一半少3辆，剩下28辆”，那么28辆减去3辆就是总数的一半，则总数是（28-3）×2． 解：[（12+2）×2-3]×2 =[28-3]×2 =25×2 =50（辆） 答：华联超市这次活动准备了50辆童车． 考点：还原问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$