精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高一上学期开学摸底测试数学试卷

牡丹江市第二高级中学高一年级摸底测试 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知反比例函数的图象经过点，则以下坐标所表示的点不在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 在直角坐标系中，已知点，，则线段的长度为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 7 4. 如图，是的直径，，与相切于点A，交于点D，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 7. 设集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 10. 已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的为（ ） A. 命题“，使”的否定形式是“，使” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若是的充分条件，是的充要条件，则是的必要条件 D. 若命题“”是假命题，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为______. 13. 已知，是方程的两个根，则数据：4，，，7的平均数是______. 14. 已知集合，，，若，，则__________． 四、解答题（本题共5小题、共77分.解题应写出文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 如图，抛物线经过坐标原点，并与x轴交于点. （1）求此抛物线的解析式； （2）求出抛物线的顶点坐标； （3）若抛物线上有一点B，且，直接写出点B的坐标. 16. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 17. 已知集合,． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件.若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19. （1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值. （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市第二高级中学高一年级摸底测试 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知反比例函数的图象经过点，则以下坐标所表示的点不在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数解析式，再代入验证即得. 【详解】由函数的图象经过点，得，则函数解析式为， 而， 即点，，均在反比例函数的图象上，不在反比例函数的图象上. 故选：D 2. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，和两种情况，结合一元二次方程根的情况列不等式求解即可． 【详解】当时，该方程为，是一元一次方程，此时方程有一个实数根； 当时，方程为一元二次方程， 因为方程有实数根， 所以，解得且， 综上，的取值范围是， 故选：B． 3. 在直角坐标系中，已知点，，则线段的长度为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用勾股定理运算求解即可. 【详解】由题意可知：，为坐标原点， 根据勾股定理可得. 故选：A. 4. 如图，是的直径，，与相切于点A，交于点D，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据圆的性质得，再利用切线性质得是等边三角形，进而利用勾股定理计算即可. 【详解】连接， ∵是的直径，，∴，∴， ∵与相切于点A，∴，∴， ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，∴. 故选：D. 5. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 6. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 7. 设集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系利用数轴即可得解. 【详解】如图，若，则. 故选：C. 8. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 故,故，故A正确， ，故B错误， =，C正确， ，D错误， 故选：AC 10. 已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD 11. 下列说法正确的为（ ） A. 命题“，使”的否定形式是“，使” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若是的充分条件，是的充要条件，则是的必要条件 D. 若命题“”是假命题，则 【答案】BC 【解析】 【分析】用逻辑和命题的相关知识点，逐个选项分析，即可得到答案. 【详解】对于A，命题“，使”的否定形式是，使，故A错误 对于B，当时，成立，当时，解得或，故“”是“” 的充分不必要条件，故B正确 对于C，若是的充分条件，是的充要条件，则有，故是的必要条件，故C正确 对于D，若命题“”是假命题，则是真命题，故或解得，故D错误 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中心对称图形的性质，结合直角三角形性质求解即可. 【详解】在中，，，，则， 又与关于中心对称，所以. 故答案为： 13. 已知，是方程的两个根，则数据：4，，，7的平均数是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据韦达定理求出，再根据平均数的求法即可求解. 【详解】解：，是方程的两个根， ， 则， 即4，，，7的平均数是. 故答案为：. 14. 已知集合，，，若，，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出集合，根据集合关系可得，求出的值，然后验证可得. 【详解】，， 因为，，所以，， 由得，即，解得或， 当时，解得，此时，不满足题意； 当时，解得，满足题意. 所以. 故答案为：4 四、解答题（本题共5小题、共77分.解题应写出文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 如图，抛物线经过坐标原点，并与x轴交于点. （1）求此抛物线的解析式； （2）求出抛物线的顶点坐标； （3）若抛物线上有一点B，且，直接写出点B的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标代入求参即可得出抛物线解析式； （2）根据抛物线的顶点式方程得出顶点坐标； （3）应用面积公式得出点的纵坐标，再代入求参即可得出横坐标，最后写出点的坐标. 【小问1详解】 把，代入得， ，解得，解析式为. 【小问2详解】 ，顶点为. 【小问3详解】 设点的坐标为，则，解得或， 顶点纵坐标为，（或中，无解）， 解得，点的坐标为或. 16. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数根的判别式直接判断即可； （2）利用根的判别式求出m的取值范围，然后再分类讨论真假关系，求取范围即可. 【小问1详解】 对于命题：关于x的方程有两个不相等的实数根 所以，即或， 因为真，故实数的取值范围为 【小问2详解】 对于命题，因关于x的方程无实数根， 所以，即． 因为真，故实数m的取值范围为． 、有且仅有一个为真命题，所以、q一真一假， 当真假时，，即或； 当假真时，，即． 综上所述：实数的取值范围为． 17. 已知集合,． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，再求； （2）由可得，讨论和两种情况，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，所以， 因为，所以， 所以或; 【小问2详解】 因为，所以， 当时，符合题意，则，即， 当时，则只需，解得， 综上可得实数的取值范围为. 18. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件.若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件 （2）第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据题意由总金额和总件数列方程组即可解得甲种布料件，乙种布料件； （2）写出利润关于甲种布料的表达式，根据一次函数性质即可得出当时，利润最大为元. 【小问1详解】 设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件， 根据题意得，解得， 答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件. 【小问2详解】 由题知，解得， 可得，即， ，随的增大而增大， 当时，元，此时乙种布料为件， 答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元. 19. （1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值. （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合. 【答案】（1）； （2）①若，则；若，则； 若，则，   所以当时，集合中必含有另两个元素和； ②假设集合中只有个元素（）， 由题意可知，因为集合为单元素集合，所以，即， 又由，则此方程无实数解，所以假设不成立， 所以集合不可能是单元素集合. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用集合相等的定义，列出方程组，即可求解； （2）①由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； ②假设集合中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【详解】解：因为集合可表示为，也可表示为，即 则满足，且，解得，所以. （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $