精品解析：福建省宁德市福鼎第四中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

福鼎四中2024-2025学年第一学期开学考试 高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，， ，则集合可能为（ ） A B. C. D. 2. 设实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 4 已知，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 设，且，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 没有最大值 7. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数的定义域都为R，且，，是减函数，是增函数，则下列说法错误的有（ ） A. 增函数 B. 是减函数 C. 是增函数 D. 是减函数 10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的奇函数，其周期为4，当时，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 在上有9个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围是__________. 13. 设是非空集合，定义，且，且.已知，，则________. 14. 对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在一个不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两红球，可获得价值(单位：百元)代金券(,均为整数). （1）若，，求每位员工平均可获得多少代金券（即数学期望，单位：百元）； （2）若已知每位员工平均可获得5.4(单位：百元)代金券，试估计手气最好者获得至多多少代金券(单位：百元). 16. 解关于x的不等式. 17. 已知不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 18. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. （1）证明：在上增函数； （2）证明：是偶函数； （3）如果，解不等式. 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，． （1）请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可） （2）解不等式； （3）探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福鼎四中2024-2025学年第一学期开学考试 高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，， ，则集合可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确全集，分析集合中的元素组成，可得答案. 【详解】因为， 因为，所以，所以. 又，所以且. 故选：D 2. 设实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数函数的性质与充分条件及必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则有或， 即有或， 若，则， 故当时，可得， 当时，不一定成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域是，得， 因此在函数中，，解得， 所以所示函数的定义域为. 故选：A 4. 已知，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，逐次判断代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故选：B 5. 设，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先比较的大小，再利用的单调性比较大小即可. 【详解】 对数函数在上单调递减， ， . 故选：B 6. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 没有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合二次函数的性质，可判定A正确；利用基本不等式，可得判定B错误；由，可判定C错误，利用对数的运算性质，得到，得到，设函数，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D错误. 【详解】对于A中，由正实数满足，可得，且， 则，当时，取得最小值为，所以A正确； 对于B中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以C错误； 对于D中，由， 因为，设， 可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，当时，函数取得最大值，最大值为， 则的最大值为，所以D不正确. 故选：A. 7. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值. 【详解】的定义域是，由于是偶函数，所以， 即，所以，即， 所以，解得，当时，， ，符合题意，所以. 故选：C 8. 如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助排除法，计算、可排除C、D，计算时的情况可得时图像不是线段，可排除A. 【详解】由题意可得，， 故，由此可排除C、D； 当时点在边上，，， 所以 ，可知时图像不是线段,可排除A，故选B． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数的定义域都为R，且，，是减函数，是增函数，则下列说法错误的有（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 是增函数 D. 是减函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用单调性的性质即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，如，， 不单调，因此函数不一定为增函数，A错误； 对于B，是增函数，则为减函数，又是减函数，则为减函数，B正确； 对于C，如，，因此函数不一定是增函数，C错误； 对于D，， 由是增函数，且，得，则， 由为减函数，得，于是，是减函数，D正确. 故选：AC 10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由一元二次不等式的性质可得，且，即可得A、D，结合二次函数的性质可得，即可得B、C. 【详解】由题意可得， ， 即， 即有，即，， 故A正确、D错误； 令，其根为，， 结合二次函数性质可得， ，即，故B正确、C错误 故选：AB. 11. 已知定义在上的奇函数，其周期为4，当时，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 在上有9个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数的周期性与奇偶性计算函数值可判断A；求出时的范围，再利用奇偶性周期性求出函数在的值域可判断B；求出、可判断C；利用函数的周期性、奇偶性求出零点个数可判断D. 【详解】对于A，因为为R上的奇函数，所以，又其周期为4， 所以，故A错误； 对于B，因为为奇函数，所以，可得， 又因为周期为4，所以，可得， 所以，即， 可得的图象关于对称，所以，， 因为当时，为单调递增函数，所以， 又因为为奇函数，当时，所以， 再由周期为4，可得的值域为，故B正确； 对于C，因为，， 所以在上不具备单调性，故C错误； 对于D，因为的周期为4，时，为单调递增函数， 所以时，为单调递增函数， 时，为单调递增函数， 又因为为奇函数，所以时，为单调递增函数， 时，为单调递增函数， 且，， ， 可得的大致图象，所以在上有9个零点，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：利用函数的周期性、奇偶性解题是解题关键点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 13. 设是非空集合，定义，且，且.已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出集合，依题意是求三个集合的交集，据此求解即可. 【详解】由得或， 所以或. 因为，所以，所以. 由得，解得， 所以， 因为，且，且， 所以, 故答案为：. 14. 对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】结合对数函数画出分段函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】由题意得， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 又， 所以点是两个函数的交点， 所以当时，，可得， 当时，，可得， 可得的大致图象，如下图， 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在一个不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两红球，可获得价值(单位：百元)代金券(,均为整数). （1）若，，求每位员工平均可获得多少代金券（即数学期望，单位：百元）； （2）若已知每位员工平均可获得5.4(单位：百元)代金券，试估计手气最好者获得至多多少代金券(单位：百元). 【答案】（1）元 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望； （2）由（1）可知，，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解. 【小问1详解】 若摸到一红球一白球的概率， 若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率， 设可获得代金券为变量，分布列如下， 3 6 18 所以每位员工平均可获得元代金券. 【小问2详解】 由（1）可知，,手气最好者获得（百元） 即，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 估计手气最好者至多获得1800元代金券. 16. 解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】先将不等式变形，然后分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】不等式化为， ①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 17. 已知不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分及进行讨论，结合根的判别式计算即可得； （2）参变分离后借助换元法计算即可得； （3）令，则可结合一次函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 当时， ，此时，不符合要求， 当时，， 若不等式对任意恒成立，则有， 即，该不等式组无解， 故不存在实数，使不等式对任意恒成立； 【小问2详解】 由题意可得：当时，恒成立， 令，则，则， 由在上单调递增，故， 则，故； 【小问3详解】 设， 由题意可得在上恒成立， 故有，即， 由①得或， 由②得， 即可得. 18. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. （1）证明：在上是增函数； （2）证明：偶函数； （3）如果，解不等式. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论； （3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集. 【小问1详解】 设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； 【小问2详解】 因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． 小问3详解】 由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，． （1）请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可） （2）解不等式； （3）探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）为大于1的正整数 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解； （2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解； （3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得，则关于对称，即，则为偶函数，即可得解. 【小问1详解】 依题意，， 当时，，则方程无解， 当为内的无理数时，，则方程无解， 当(为既约真分数)时，则，为大于1的正整数， 则由方程，解得，为大于1的正整数， 综上，方程的解集为为大于1的正整数. 【小问2详解】 若或或为内无理数时，， 而，此时， 若(为既约真分数)，则，为大于1的正整数， 由，得，解得， 又因为(为既约真分数)，所以， 综上，不等式的解为. 【小问3详解】 存在非零实数，使得为偶函数，即为偶函数，证明如下： 当或时，有成立，满足， 当为内的无理数时，也为内的无理数，所以，满足， 当(为既约真分数)，则为既约真分数， 所以，满足， 综上，对任意，都有， 所以关于对称，即，则为偶函数， 所以，存在非零实数，使得为偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$