专题3.7 探索与表达规律（专项练习）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题3.7 探索与表达规律（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024九年级下·云南·专题练习）按一定规律排列的一组数：，，，，，，，（其中，为整数），则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）和各表示一个数．已知，则（    ） A．12 B．24 C．36 3．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在解决数学问题时，常常需要建立数学模型，如图，用大小相同的圆点摆成的图案，按照这样的规律摆放，则第7个图案中共有圆点的个数是（    ）    A．37 B．49 C．50 D．51 4．（22-23六年级上·山东威海·期中）观察算式：．通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（    ） A．3 B．9 C．7 D．1 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）按如图方式摆放桌子和椅子．当摆放8张桌子时，可以坐（　　）人． A．34 B．32 C．30 D．36 6．（2024·广东清远·模拟预测）如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 7．（23-24七年级上·河南安阳·开学考试）观察下面点阵图的规律，第9幅点阵图中有（    ）个◯． A．18 B．28 C．32 D．36 8．（23-24七年级上·四川达州·期末）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2024次得到的结果为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）用同样大小的黑、白色正方形按如图的方式搭建图形，图①中有2个黑色正方形，图②中有3个黑色正方形，图③中有5个黑色正方形，图④中有6个黑色正方形，…，按照这个规律，则图⑨中的黑色正方形个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 10．（2022·四川达州·模拟预测）如下图所示的三角形数阵叫“菜布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数：且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两个数的和，则第行第个数(从左往右数)为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024七年级·全国·竞赛）观察：则在第 组（从左往右数依次为第1，2，3，…组）． 12．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）循环小数简记为 ，它的小数部分第 2019 位是 ． 13．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【数形结合】如图，小明用小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，照这样搭，用21根小棒可以搭 间房子；搭100间房子要用 根小棒． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）有一个正六面体骰（tóu）子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2024次后，骰子朝下一面的点数是 ． 15．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）已知一串有规律的数：，，，，，…那么这串数的第9个数是( ) 16．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，用火柴棒搭三角形，搭1个三角形需票3根火柴棒，搭2个三角形需要5根火柴棒，搭3个三角形需要7根火柴，…，则2024个这样的三角形需要火柴棒 根． 17．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示按顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动2016次后，骰子朝下一面的点数是 ． 18．（22-23七年级上·浙江台州·期中）观察下列图形规律，当图形中的“•”的个数和“〇”个数和4，当图形中的“•”的个数和“〇”个数和9，那么当图形中的“•”的个数和“〇”个数和为85时，n的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（22-23七年级上·湖北武汉·期中）观察下列三行数： （1）请直接写出： ①每一行的第8个数； ②第三行的第n个数． （2）第一行连续三个数中最大数与最小数的差为1536，求这三个数中最大数与最小数的和； （3）用如图的“L”形框圈起4个数，从上到下分别记为a，b，c，d，求的值． 20．（8分）（23-24七年级上·四川达州·期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 ● ○ 7 … （1）可知x＝ ，●＝ ，○＝ ； （2）试判断第2023个格子中的数是多少？并给出相应的理由． （3）判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2024？若能，求出n的值，若不能，请说明理由． 21．（10分）（23-24七年级上·江苏徐州·期末）按如下方式摆放餐桌和椅子： （1）当有5张桌子时，可以坐 人； （2）某班恰好有50人，需要多少张餐桌？ 22．（10分）（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）（1）观察一列数，，，，，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 __________；根据此规律，如果（n正整数）表示这个数列的第项，那么 __________ ， __________ （用幂的形式表示） （2）如果想要求的值，可令，将式两边同乘以，得_______________________，由，得 __________； 23．（10分）（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： （1）尝试：第4次分割后，______ （2）初步应用：根据规律，求的值． （3）拓展应用：利用以上规律，求的值． 24．（12分）（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1    据此规律： （1）请写出第3个等式： （2）猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）； （3）已知如上图所示的个草垛的最底端有2024支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B A D B D B B 1．A 【分析】本题考查找数式规律问题，观察各数据得到，即每个分数的分母可以分解为两个连续正整数的积，由于，所以，即可得到与的值，数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了等量代换与数字规律探索题，由可得出，可求出， 即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，找到规律第个图案中圆点的个数为是解题的关键． 【详解】解：解：根据图中圆点的排列可知， 当时，圆点个数为； 当时，圆点个数为； 当时，圆点个数为； 当时，圆点个数为； … 第个图案中圆点的个数为， 第7个图案中圆点的个数为， 故选：C． 4．B 【分析】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2011除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：∵，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， …             由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，             又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． ∵ ， ∴的个位数字是； 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了图象的变化类，找到变化规律是解题的关键．先算出前几个图中的座位数，找到规律，再代入求解． 【详解】解：当摆放1张桌子时，可以坐（人）， 当摆放2张桌子时，可以坐（人）， 当摆放3张桌子时，可以坐（人）， ……， 当摆放n张桌子时，可以坐人， ∴， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键． 设中间的数为x，则五个数的和，根据选项判断即可得出结论； 【详解】解：由题意可知：若中间数为，另外四个数分别为、、、， ∴十字框中五个数的和是． ∵为偶数， ，，，， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了图形的变化规律类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 根据图形找出规律求解即可． 【详解】解：第1个点阵图中点的个数是：（个）， 第2个点阵图中点的个数是：（个）， 第3个点阵图中点的个数是：（个）， ……， ∴第9个点阵图中点的个数是：个． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查找数字规律，涉及程序计算，理解题中的计算机程序，按要求计算，找到结果呈现的规律即可得到答案，理解程序图是解决问题的关键． 【详解】解：当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； 每3次一循环， ， 第2024次得到的结果为， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查图形变化的规律．依次求出图形中黑色正方形的个数，发现规律“图为正整数）中黑色正方形的个数为个，图中黑色正方形的个数为个”即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图①中黑色正方形的个数为：； 图②中黑色正方形的个数为：3； 图③中黑色正方形的个数为：； 图④中黑色正方形的个数为：6； 图⑤中黑色正方形的个数为：； 图⑥中黑色正方形的个数为：9； ， 所以图为正整数）中黑色正方形的个数为个，图中黑色正方形的个数为个， 当，即时， （个）， 即图⑨中黑色正方形的个数为14个． 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了数字类变化规律，由图可知，从左往右数第行第个数为，第行第个数为，进而可得第行第个数为，据此即可求解，根据图形找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，从左往右数第行第个数为， 第行第个数为， ， ∴第行第个数为， ∴从左往右数第行第个数为， 故选：． 11． 【分析】本题考查了数字规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力． 【详解】解： 是第个奇数， ∴第个奇数在第组，即在第组． 故答案为： 12． 4 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，循环小数的表示，根据题意找到循环节即可得到简记的答案，再根据的小数部分每5个数为一个循环，即可得到第2019位的数字． 【详解】解：循环小数简记为， 因为的小数部分每5个数为一个循环，且， 所以小数部分第2019位是4， 故答案为：；4． 13． 5 【分析】本题主要考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．搭一间房用5根小棒，2间房用9根小棒，3间房用13根小棒，以后每增加一间房就多用4根小棒，得出所以搭n间房子需要根小棒，然后根据题意代入求解即可． 【详解】解：搭一间房用5根小棒，可以写成； 2间房用9根小棒，可以写成； 3间房用13根小棒，可以写成；… 所以搭n间房子需要根小棒． ∴当时， 解得：． ∴用21根小棒能搭5间房子， 搭100间房子要用：（根）， 故答案为：5；． 14．3 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案． 【详解】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， ∵， ∴滚动第2024次后与开始滚动时相同， ∴朝下的数字是4的对面3， 故答案为：3． 15． 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，分别根据分子与分母的变化规律例举出前面9个数，即可得到答案． 【详解】解：观察这列数的规律是：第1个数的分子为1， 第2个数的分子为， 第3个数的分子为， 第4个数的分子为， 第5个数的分子为， 第6个数的分子为， 第7个数的分子为， 第8个数的分子为， 第9个数的分子为， 第1个数的分母为， 第2个数的分母为， 第3个数的分母为， 第4个数的分母为， 第5个数的分母为， 第6个数的分母为， 第7个数的分母为， 第8个数的分母为， 第9个数的分母为， ∴第9个数为． 故答案为： 16． 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，后一个图形比前一个图形多2根火柴，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知，后一个图形比前一个图形多2根火柴， ∴第个这样的飞角形需要火柴棒：根， ∴2024个这样的飞角形需要火柴棒根； 故答案为：4049． 17．4 【分析】本题考查图形类规律探究，根据图形可知，3和4是对立面，2和5是对立面，进而得到朝下一面以2，3，5，4为一组，进行循环，进行求解即可． 【详解】解：由图形可知：3和4是对立面，2和5是对立面， 朝下一面以2，3，5，4为一组，进行循环， ∵， ∴滚动2016次后，骰子朝下一面的点数是4； 故答案为：4． 18．10 【分析】本题主要考查图形变化的规律，根据所给图形用含n的代数式表示出第n个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中“•”的个数和“〇”的个数之和并发现规律即可，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和为：； 第2个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和为：； 第3个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和为：； ……， 依次类推，第n个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和为：． 当时，解得：或10（舍弃负值），即． 故答案为：10． 19．(1)128，130，384（表达式不唯一） (2) (3)2 【分析】（1）根据题目中的数据总结出其规律，即可求解； （2）设这连续的三个数从左到到右依次为a，2a，4a，列出式子进行求解即可； （3）依据题中规律可知：，，，再代入原式计算即可． 【详解】（1） ， 第n个数为， 第一行第8个数为128； 第二行比第一行的数都多2， 第二行第8个数为130； 第三行是第一行数的3倍， 第三行第8个数为384； 第三行是第一行数的3倍，第一行第n个数为， 第三行第n个数为：（表达式不唯一）； （2）依第一行数的规律可设这连续的三个数从左到到右依次为a，2a，4a， 若，则最大与最小差为，即； 若，则最大与最小差为，即； 因为第一行中只有，没有256， 所以这三个连续的数为，，， 所以最大与最小数的和为：； （3）依据题中规律可知：，，， ． 【点睛】本题考查数字类规律型，解题的关键是找出所给数据的规律，并灵活运用． 20．(1)1，7， (2)1 (3)不能 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题． （1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出与的值，再根据第9个数是可得； （2）找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2023除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解； （3）可先计算出这三个数的和，再照规律计算． 【详解】（1）任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ， 解得， ， ， 所以，数据从左到右依次为1、7、、1、7、、， 第9个数与第三个数相同，即， 故答案为1，7，； （2）解：由于表格中的数是1，7，，1，7，，循环，而， ∴第2023个格子中的数是1； （3）解：， 而， ∴不能． 21．(1)14 (2)需要23张餐桌 【分析】本题考查图形的规律性问题，总结规律即可得出答案． （1）总人数等于桌子的数量乘2再加4人，从而得出5张桌子的人数； （2）根据第（1）小题得出的规律，从而计算出50人用的桌子的数量． 【详解】（1）解：由图可得1张桌子时，有把椅子； 2张桌子时，有把椅子； 3张桌子时，有把椅子； 4张桌子时，有把椅子； ∴5张桌子时，有把椅子； 故答案为：14 （2）由（1）可得出n张桌子时，有把椅子． 当， 解得：， 某班恰好有50人，需要23张餐桌． 22．（1）；；（2）， 【分析】本题考查的是乘方的含义，数字类规律探究； （1）根据题意，可得在这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是3；由第一个数为3，故可得，的值； （2）根据题中的提示，可得的值； 【详解】解：（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是3， ∴，； （2）∵， ∴②， 由，得． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 24．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行解答即可； （2）分析所给的等式，不难得出结果； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：第3个等式为：， 故答案为：； （2）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ， 第个等式：， 故答案为：； （3）草垛的最底端有2024支小正方形草束， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$