第二章 平面解析几何单元检测卷（B卷）-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章 平面解析几何 ——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册单元检测卷（B卷） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.不论实数m为何值，直线恒过定点( ) A. B. C. D. 2.已知动点P是曲线上任意一点，定点，点M分PA所成的比为，则点M的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 3.已知直线交圆于A，B两点，则（O为坐标原点）的面积为( ) A. B. C.49 D.98 4.已知双曲线（，）的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A在F的正上方，过点A的直线l与抛物线交于另一点B，满足，则钝角( ) A. B. C. D. 6.已知M是抛物线的对称轴和准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足，则实数m的最大值为( ) A.2 B. C. D. 7.已知双曲线（，）的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点.若四边形ABCD的面积为，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 8.已知椭圆，焦距为2c，以原点O为圆心，b为半径作圆O.若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆和圆，下列说法正确的是( ) A.两圆的公共弦所在直线的方程为 B.圆O上有2个点到直线的距离为 C.两圆有两条公切线 D.点E在圆O上，点F在圆M上，的最大值为 10.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( ) A. B. C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形 11.设M为双曲线上一动点，，分别为双曲线C的上、下焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( ) A.若，则或6 B.双曲线C与双曲线的离心率相同 C.若点，点M在双曲线C的上支，则的最小值为 D.过的直线l交C于不同的两点G，H，若，则l有2条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为__________. 13.设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，若，O为坐标原点，则__________. 14.已知F，l为双曲线的右焦点与右准线，椭圆以F和l为其对应的焦点及准线，过点F作一条平行于的直线，交椭圆于A，B两点，若的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知双曲线（，）的两个焦点分别为，，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程； （2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C相交于E，F两点，若的面积为，求直线l的方程. 16.在直角坐标系xOy中，抛物线与直线交于M，N两点. （1）若M，N的横坐标分别为-2，4，求直线l的方程及线段MN的垂直平分线的方程. （2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由. 17.已知椭圆的离心率为，点在C上. （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 18.已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于P，Q两点. （1）若的离心率为2，求b. （2）若，为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标. （3）连接QO（O为坐标原点）并延长交于点R，若，求b的取值范围. 19.已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆C的方程. （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，O为坐标原点. ①若点P在直线上，求证：线段MN的垂直平分线恒过定点S，并求出点S的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：由可得， 由可得，此时，所以直线恒过定点.故选D. 2.答案：A 解析：设点M的坐标为，因为点，点M分PA所成的比为，所以点P的坐标为，代入曲线，得，即点M的轨迹方程是. 3.答案：B 解析：由题意，圆，可得圆心，则圆心O到直线的距离，所以，所以.故选B. 4.答案：D 解析：因为双曲线（，）的离心率，所以由，得，所以双曲线C的渐近线方程为.由题意知渐近线与圆相交，圆心到直线的距离，所以，故选D. 5.答案：D 解析：由题知，抛物线的焦点为，准线方程为.因为点A在F的正上方，所以点A的坐标为. 因为为钝角，则点B在x轴下方， 所以，解得，即点B的坐标为（舍去）或. 因为直线BF的斜率，所以直线BF的倾斜角为，故钝角.故选D. 6.答案：D 解析：易知，，如图所示，过P作PA垂直于准线，垂足为点A， 由抛物线定义知，则. 易知当直线PM与抛物线相切时最小，此时m取得最大值. 不妨设，与抛物线方程联立得，则，解得，此时可知，则.故选D. 7.答案：B 解析：因为双曲线的离心率为，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为.设直线的倾斜角为，则，由双曲线及圆的对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则. 于是得，而双曲线的虚半轴长为b，即，显然四边形ABCD为矩形，其面积，得，所以，所以双曲线的方程为.故选B. 8.答案：B 解析：如图，连接OA，OB，OP，OP与AB交于点H，则，且. 由题意，得，， 则. 在中，，故，整理得，所以，即，所以，即，解得.故选B. 9.答案：BCD 解析：因为圆，所以圆心，半径为，因为圆，可化为，所以圆心，半径为.对于A，两圆的方程作差得，即，所以两圆公共弦所在的直线方程为，故A错误； 对于B，圆心到直线的距离为，则，所以圆O上有2个点到直线的距离为，故B正确； 对于C，因为，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故C正确； 对于D，，故D正确.故选BCD. 10.答案：AC 解析：对于A，依题意，抛物线C的焦点为，直线过点，所以，解得，故A正确. 对于B，由A可知抛物线，将直线方程与C的方程联立、整理可得.设，，则. 设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义可知，，，所以，故B错误. 对于C，由B知，所以以MN为直径的圆的半径为.设MN的中点为P，因为，即点P的横坐标为，所以P到C的准线的距离为，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确. 对于D，由于，不妨设，， 将代入，解得，所以，，同理可得，又，所以不是等腰三角形，故D错误.故选AC. 11.答案：ABC 解析：对于A，因为，，所以，，则，由双曲线的定义可知，又4，则，解得或6.当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上，或6，故A正确. 对于B，因为双曲线离心率，所以双曲线的离心率为.双曲线，即，离心率为， 所以双曲线C与双曲线的离心率相同，故B正确. 对于C，，当且仅当点M在线段与双曲线的交点处时，等号成立，所以的最小值为，故C正确. 对于D，由双曲线，得，， 当直线l的斜率为0时，l的方程为，联立得或所以，，所以，不符合题意； 当直线l的斜率不存在时，，不符合题意，所以直线l的斜率存在且不为0. 故设，，设，， 联立得，则 所以 ， 所以或， 解得或，符合题意，所以这样的直线l有4条，故D错误.故选ABC. 12.答案： 解析：设直线l与的交点为.由已知条件，得直线l与的交点为.联立即解得即，所以直线l的方程为，即. 13.答案：14 解析：设，，， 易知，， 则，，. 因为，所以，即. 由抛物线的定义可得，，，所以. 14.答案： 解析：由双曲线方程可知其焦准距为3，则椭圆的焦准距（同侧焦点和准线）.如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系. 设， 设，，直线AB的方程为. 联立直线AB和椭圆的方程可得，，由一元二次方程根与系数的关系可知 由椭圆中心O位于以AB为直径的圆外，则有，代入得，把代入得，即， 解得. 15.答案：（1） （2）或 解析：（1）由题得解得 故所求双曲线方程为. （2）由题可知，直线l的斜率存在， 所以可设直线l的方程为，，. 由消去y得. 因为直线l与双曲线C相交于E，F两点， 所以即 所以. 所以，. 方法一：点O到直线l的距离，， 所以 ， 即，解得，满足条件， 故直线l的方程为或. 方法二：，下同方法一. 方法三：，下同方法一. 16.答案：（1）直线l的方程为；线段MN的垂直平分线的方程为 （2）存在符合题意的点，理由见解析 解析：（1）由题意可知，， 则直线MN的斜率，线段MN的中点坐标为， 所以直线l的方程为，即，线段MN的垂直平分线的斜率为-2， 所以线段MN的垂直平分线的方程为，即. （2）存在符合题意的点，理由如下： 设点为符合题意的点，，，直线PM，PN的斜率分别为，. 联立方程得， 因为，所以，可得，， 从而 ， 因为k不恒为0，所以当且仅当时，恒有， 此时直线PM与直线PN的倾斜角互补，即， 所以存在点符合题意. 17.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）由题意知 解得 所以C的方程为. （2）证明：由题意可知，直线PQ的斜率必存在，设直线PQ的方程为，，. 联立得， ，故. 所以 所以. 又因为直线，直线， 所以，， 所以线段MN的中点坐标为， 而 ， 故线段MN的中点为定点. 18.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）由双曲线的方程知， ， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点P在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，，则， 得，所以. （3）由双曲线的方程知，，且由题意知Q，R关于原点对称. 设，，则. 设直线PQ的方程为. 联立直线与双曲线的方程得， 消去x，得，且，即. 由根与系数的关系，得，. 因为，， 由，得， 所以，即， 整理，得， 所以， 整理，得，所以. 又，所以，得，所以，又， 故b的取值范围是. 19.答案：（1） （2）①线段MN的垂直平分线恒过定点 ②证明见解析 解析：（1）因为焦距，即，所以. 又因为椭圆过点，所以，解得，， 所以椭圆C的方程为. （2）证明：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 设，，. 由得， ， ，. ①因为点P为线段MN的中点，且点P在直线上， 所以，即，即. 所以. 所以线段MN的垂直平分线的方程为， 即，即. 故线段MN的垂直平分线恒过定点. ②由弦长公式得， 坐标原点到直线MN的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以取最大值时， . 所以直线OM与ON的斜率之积为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$