第二章 平面解析几何单元检测卷（A卷）-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章 平面解析几何 ——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册单元检测卷（A卷） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知三条直线，，交于一点，则实数( ) A.-1 B.1 C. D. 2.方程表示的是( ) A.一条直线和一条曲线 B.两条直线 C.两个点 D.以上答案都不对 3.已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 4.设抛物线的焦点为F，直线l过点且与C交于A，B两点，.若，则实数( ) A. B.2 C.4 D.6 5.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为和.过向一条渐近线作垂线，垂足为P.若，直线的斜率为，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 6.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆.椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，点P在椭圆C上，且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆C的两个焦点分别为，，则的值不可能为( ) A.4 B.7 C.10 D.14 7.不过原点的直线（，）与双曲线（，）交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点.若直线OM的斜率小于，则双曲线E的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，P，Q是C上位于直线AF两侧的点，且点F到直线AP与到直线AQ的距离相等，则直线PQ与x轴交点横坐标的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆，则下列说法正确的是( ) A.过点作直线与圆O交于A，B两点，则的取值范围为 B.过直线上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点 C.圆O与圆有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为 D.圆O上有2个点到直线的距离等于1 10.已知抛物线的焦点，过的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是( ) A.为定值 B.线段AB中点的轨迹方程为 C.的最小值为16 D.点O在以AB为直径的圆外 11.已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是( ) A. B.椭圆C的离心率为 C.直线l的方程为 D.的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.设点M在直线上，点和均在上，则的方程为___________. 13.已知椭圆和双曲线（，）的焦点相同，，分别为左、右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点.若轴，则椭圆和双曲线的离心率之积为___________. 14.抛物线与圆交于A，B两点，圆心，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则周长的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知椭圆C的两个焦点分別为，，且椭圆C过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点作直线l交椭圆C于M，N两点，Q是弦MN的中点，求直线l的方程. 16.已知直线与抛物线交于A，B两点，. （1）求p； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值. 17.已知双曲线：（，）的一条渐近线与直线垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l与双曲线C交于B，D两点，线段BD的中点为，求直线l的方程. 18.已知椭圆的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2，F为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C，D两点，且直线MC与MD的斜率之积为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线BF与椭圆E的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称. 19.已知O为坐标原点，P是圆上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设直线l与曲线C恰有一个公共点（在y轴右侧），且l与直线分别交于M，N两点，求的面积S的最小值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由解得即两直线交点坐标为，代入中得，解得.故选C. 2.答案：C 解析：由方程，得解得或所以方程表示的是两个点和，故选C. 3.答案：A 解析：已知直线，变形整理得，由得即直线l恒过定点，代入圆C的方程的左端有，即点在圆内，所以直线l与圆C相交.故选A. 4.答案：C 解析：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为，由及抛物线的定义知点B的横坐标为，代入抛物线方程得. 根据抛物线的对称性，不妨取，则直线l的方程为. 联立得，于是.故选C. 5.答案：D 解析：方法一：由题意知点P在渐近线上，O为坐标原点，则，，所以，，所以，点.由题知点，所以，解得，则双曲线的方程为.故选D. 方法二：易知，排除B，C选项；若，则，，，此时满足，故选D. 6.答案：D 解析：因为椭圆C的面积为，所以，即.① 设，则，则， 所以点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为.② 联立①②可得，，则，故，故选D. 7.答案：B 解析：设点，，则有，， 两式作差得，即， 设，则有，，又，，代入整理得，即.由题意知，因为，所以，，又，所以，解得，即，则.故选B. 8.答案：A 解析：将代入中，得，所以椭圆C的方程为. 由题意知，直线PQ的斜率不为0，故设直线PQ的方程为，，，则，，直线PQ与x轴交点的横坐标为t，由，得，则，，. 因为，，且点F到直线AP与到直线AQ的距离相等，所以F是的平分线上一点，所以， 即，即，整理得，即，即，所以. 若，则直线PQ的方程为，此时PQ过定点，由题意知，直线PQ不经过，故，所以，得.当时，由得， 由，解得，故t的取值范围为，故选A. 9.答案：AB 解析：因为圆O的圆心为，半径. 对于选项A，因为，可知点P在圆O内，可得圆心O到过点P的直线的距离，所以，故A正确； 对于选项B，设，则，可得， 以Q为圆心，QC为半径的圆的方程为，整理得，由题意可知，直线CD为圆Q与圆O的公共弦所在的直线， 两圆的方程相减可得，整理得，令解得所以直线CD必过定点，故B正确； 对于选项C，圆的圆心为，半径为r，则，若圆O与圆C有且仅有两条公切线，则，即，解得，所以实数r的取值范围为，故C错误； 对于选项D，因为圆心O到直线的距离为，所以圆O上有4个点到直线的距离等于1，故D错误.故选AB. 10.答案：ABD 解析：由题意可知，所以，则抛物线方程.易得直线l的斜率不为0，则可设直线l的方程为，，，所以得，，所以，. 对于A，，故选项A正确； 对于B，设线段AB的中点为，则有 ，，所以满足，故选项B正确； 对于C，，当且仅当，即直线l垂直x轴时取等号，故选项C错误； 对于D，，则O在以AB为直径的圆外，所以选项D正确.故选ABD. 11.答案：BCD 解析：对于A，因为椭圆的焦点为，，所以椭圆的焦点在y轴上，所以，得，所以A错误. 对于B，由选项A可知，得，所以离心率，所以B正确. 对于C，设，，则两式相减得，即.因为为线段MN的中点， 所以，，所以，所以，所以直线l的斜率为-3，所以直线l的方程为，即，经检验符合题意，所以C正确. 对于D，因为直线过点，所以的周长为，所以D正确.故选BCD. 12.答案： 解析：不妨设，，则线段AB的垂直平分线方程为，即. 联立解得即圆心，圆的半径为，所以的方程为. 13.答案：1 解析：设，由题可知，.因为轴，所以， 所以椭圆和双曲线的离心率之积为 . 14.答案： 解析：圆，抛物线，圆心也是抛物线的焦点，抛物线的准线方程为. 如图所示，设直线PN与准线的交点为H，根据抛物线的定义可得，故的周长. 由可得，，又圆与y轴正半轴交于，，又，的取值范围为，的周长的取值范围为. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）由椭圆C的两个焦点分别为，， 则可设椭圆C的标准方程为，且， 则①. 又椭圆C过点，所以②，联立①②解得，， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由题意可知直线l的斜率存在，且直线l过点， 则设直线l的方程为，即. 设，，联立 消去y得， ， 所以，， 又是弦MN的中点，所以，解得， 故直线l的方程为. 16.答案：（1） （2） 解析：（1）联立消去y并整理得， 由得， 设，，则，， 所以， 解得（负值舍去）. （2）由题知，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为， 由（1）知，抛物线C的方程为，联立 消去x并整理得，， 设，，则，， 所以，. 因为抛物线的焦点为，所以，， 所以， 所以，所以，此时. 若，则，所以，解得或， 设点F到直线MN的距离为d，则， 又， 所以， 所以当时，的面积取得最小值. 17.答案：（1） （2） 解析：（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为， 所以，可得， 所以双曲线C的渐近线方程为，即. 因为右顶点到渐近线的距离为，所以， 解得，所以，所以双曲线C的方程为. （2）若直线轴，则B，D关于x轴对称，此时线段BD的中点在x轴上，不符合题意. 设直线l的斜率为k，，，则 两式相减可得， 所以， 化简得. 因为线段BD的中点为，所以，， 所以，解得，双曲线的渐近线方程为，直线的斜率大于渐近线的斜率， 故过点的直线与双曲线有两个交点， 所以直线l的方程为，即. 18.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）由题意有，，设， 则，化简得， 结合，可得， 由椭圆焦距为2，得， 所以，所以，， 则椭圆E的标准方程为. （2）证明：显然直线AB的斜率不存在时，与椭圆无交点， 根据椭圆的对称性，欲证点A，H关于x轴对称， 只需证，即证. 设，，直线AB的方程为，. 由消去x得， ，解得， 所以，， 则. 因为， 所以，即点A，H关于x轴对称. 19.答案：（1） （2） 解析：（1）由题意可得，， 则点Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线. 设C的方程为（，）， 则，，即，，所以， 所以曲线C的方程为. （2）易知直线l的斜率不为0，则可设，代入曲线C的方程得， 由已知得且，即. 将，代入得， 设，，则，， 易知直线l与x轴的交点为， 则. 由得，即且，则当时，S有最小值且最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$