第一章 空间向量与立体几何单元检测卷（B卷）-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 ——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册单元检测卷（B卷） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知向量，，且，则( ) A.-18 B.9 C.-9 D.18 2.已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则( ) A.-4 B.4 C.-10 D.10 3.已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于( ) A. B. C. D. 4.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，点N在BC上，，，则( ) A. B. C. D. 5.如图所示，在平行四边形ABCD中，，，将它沿对角线AC折起，使直线AB与CD成角，则B，D间的距离等于( ) A. B.1 C.或2 D.1或 6.已知向量，，.若O，A，B，C四点共面，则在上的投影向量的模为( ) A. B. C. D. 7.已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C到平面的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.如图，在棱长为3的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是( ) A.当时， B.当时，点到平面的距离为1 C.直线与BD所成的角可能是 D.若二面角的平面角的正弦值为，则或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知单位向量i，j，k两两的夹角均为，且.若空间向量a满足，则有序实数组称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列说法正确的有( ) A.已知，，则 B.已知，，其中，则当且仅当时，向量a，b的夹角取得最小值 C.已知，，则 D.已知，，，则三棱锥的表面积 10.已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为，，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 11.如图，正方体的棱长为1，EB是的中点，则下列说法正确的是( ) A.直线平面 B. C.三棱锥的体积为 D.直线与平面所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在平行六面体中，，，，则__________. 13.已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是_________. 14.如图，在正四棱柱中，，，点P是侧面内的动点，且，记AP与平面所成的角为，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，. （1）证明：； （2）当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 16.如图，菱形ABCD的边长为4，，E为AB的中点.将沿DE折起，使点A到达点的位置，连接，，得到四棱锥. （1）证明：； （2）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 17.如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为菱形，平面底面ABCD，M为棱BC上异于点C的一点，O为棱AB的中点，且，. （1）若，求证：M为BC的中点； （2）若平面POM与平面PAC所成的锐二面角的余弦值为，求的值. 18.如图，在四棱锥中，平面ABC，且，O为的外心，，. （1）求证：平面PBO； （2）若点M在线段PC（不含端点）上运动，设平面平面，当直线l与平面ABM所成的角最大时，求二面角的正弦值. 19.2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接.如图①所示是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，与圆柱的底面分别相切于点A，B，C，D，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线.点M为线段的中点，点N在线段上，且.已知圆柱的底面半径为2，. （1）求证：平面BDN. （2）线段上是否存在一点E，使得平面BDN？若存在，请求出AE的长，若不存在，请说明理由. （3）如图②所示是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即O，，，共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形RST为以RS为斜边的等腰直角三角形，四边形PQRS为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面PQRS所成角的正弦值的最大值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：因为向量，，且，所以，所以，，故. 2.答案：B 解析：因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行， 所以，解得. 3.答案：A 解析：如图，因为G为CD的中点，所以， 所以. 4.答案：C 解析：由，，得 .故选C. 5.答案：C 解析：，，同理，. 又与CD成角，或. ，，或，或故选C. 6.答案：A 解析：因为O，A，B，C四点共面，所以存在实数x，y，使得， 即，即解得则， 所以在上的投影向量的模为.故选A. 7.答案：A 解析：如图，连接交于点O，连接AO，过点C作于点H，连接CO，AC.易得平面平面，且平面平面，平面，所以平面，则.设，则，，则根据三角形面积公式得，代入解得（负值舍）. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，所以，，. 设平面的法向量为，则 即令，得平面的一个法向量.，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选A. 8.答案：C 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，因为，所以，所以，故，，故A正确. 对于B，，，因为，由选项A知，所以，设平面的法向量为，则即令，则，，故， 所以点到平面的距离为，故B正确. 对于C，假设直线与BD所成的角为，设，则，所以，又，所以，整理得，解得，矛盾，故假设不成立. 所以直线与BD所成的角不可能是，故C错误. 对于D，，，由选项C设，则， 设平面，平面的法向量分别为，， 即分别令，，则，，，，故，. 设二面角的平面角为，则，故，故由，解得或，即或，故D正确.故选C. 9.答案：BC 解析：由定义可得，因为，且，所以，故A错误；如图所示，设，，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当时，取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，，故C正确；由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误.故选BC. 10.答案：BC 解析：由空间单位向量，，两两之间的夹角均为，得，故A错误； ，故B正确； 由，得，由，得，则， 所以， 则 ，故C正确； ， 所以，，故D错误.故选BC. 11.答案：AB 解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，所以，，，. 对于A，设平面的法向量为，则即取，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确； 对于B，因为，所以，即，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由题意易知，为平面的一个法向量，，设直线与平面所成的角为，所以，所以，故D错误.故选AB. 12.答案： 解析：由题设，作出示意图. 由图得，，则. 13.答案：且 解析：因为，，所以，. 因为向量与的夹角为锐角，所以，解得.当时，，解得，所以实数k的取值范围为且. 14.答案： 解析：根据题意，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，，所以. 设点P的坐标为（，），则，因为，所以，即. 取平面的一个法向量为，故，则， 又在上单调递减，在上单调递增， 故时，取得最小值，此时取得最大值，此时，则取得最大值，为. 15.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）因为E，F分别是AC和的中点，且， 所以，. 连接AF，由，，得， 于是， 所以. 由，得， 故以B为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，. 设，则， 于是. 所以，所以. （2）平面的一个法向量为. 设面DFE的一个法向量为，，， 则，所以， 令，得，， 所以， 所以. 设面与面DFE所成的二面角为， 则， 故当时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，为， 即当时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小. 16.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：在菱形ABCD中，E为AB的中点，， 是等边三角形，， 在翻折过程中，恒有，， 又，平面，平面， 又平面，. （2）由题意及（1）得，为二面角的平面角，记其为，则， 以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，得，又 则， 令，，得， ， 当且仅当时，等号成立. 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 17.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）因为，O为AB的中点，所以， 又平面底面ABCD，平面平面，平面PAB， 所以平面ABCD， 因为平面ABCD，所以， 因为，， 所以平面POM， 因为平面POM，所以， 因为，所以， 所以M为BC的中点. （2）连接OC，因为，， 所以为正三角形，所以. 分别以向量，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，，，， 所以，，，. 设是平面PAC的一个法向量， 则，即， 取，得. 设， 则，即， 设是平面POM的一个法向量， 则，即， 取，得. 因为平面POM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为， 所以， 化为，解得，或（舍去）， 所以. 18.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：如图所示，连接OC， 因为O为的外心，所以，又因为， 所以. 所以， 所以，均为等边三角形， 所以，四边形OACB为菱形，所以. 又平面，平面PBO， 所以平面PBO. （2）记， 因为，平面，平面PAO，所以平面PAO. 又因为平面平面，平面PBC，所以.如图所示， 以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴， 过点D且平行于OP的直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 则，，，，， 所以，，，. 因为点M在线段PC（不含端点）上运动，设， 所以. 设平面ABM的法向量为，则有 所以 令，则，所以， 设直线l与平面ABM所成的角为，则 ， 当且仅当，即时取等号，即M为PC中点时，直线l与平面ABM所成的角最大， 所以.又，. 设平面OBM的法向量为， 则有即 令，则，，所以. 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 19.答案：（1）证明见解析 （2）存在， （3） 解析：（1）证明：如图，是从题图①中抽出的部分图形，连接ON，取AO中点， 又M是的中点，则且， 所以四边形是平行四边形，所以. 又，，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面BDN，所以平面BDN. （2）以O为原点，分别以，，所在方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图. 则，，，， 设，所以，，， 若平面BDN， 则得，解得，即时，平面BDN. （3）在（2）的坐标系下，将矩形PQRS作为参照物，不妨设顺时针旋转， 则，即，，所以. 因为y轴与平面PQRS垂直，所以平面PQRS的一个法向量为. 设与平面PQRS所成的角为， 则 ， 若，则； 若，令，则， 则， 当且仅当，即，即时，取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$