精品解析：山东省青岛市青岛大学附属中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题

青大附中2022-2023学年度第二学期期中阶段性调研数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（每道小题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，下列说法不正确是（　　） A. 与是内错角 B. 与是内错角 C. 与是同旁内角 D. 与是同位角 3. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：下列说法错误的是（　　） 温度 声速 A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B. 在一定温度范围内，温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声音可以传播 D. 当温度升高到时，声速为 4. 研究表明，某新型冠状病毒体长约为纳米，1纳米就是米．那么纳米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片（ ） A. 3张 B. 4张 C. 5张 D. 6张 6. 如图，能判断的是（　　） A. B. C. D. 7. 将一副三角板按如图放置，点共线，直线，则（　　） A. B. C. D. 8. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点A，B，E共线，且H为中点，连结，．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知长为12，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　 　） A. 19 B. 39 C. 48 D. 20 二、填空题：（每道小题3分，共24分） 9. 已知A，C，B三地依次在一条笔直的公路上，其中A、C相距3千米．小红骑自行车以8千米/小时速度从C地出发，向B地行进，走了x小时后，距离A地有y千米，则y与x的函数表达式为___________． 10. 若一个角的余角是，则这个角的补角为___________． 11. 已知，那么的值是___________． 12. 如图，把长方形沿对折后，使四边形与四边形重合，若，则的度数为___________． 13. 若是完全平方式，则的值为___________． 14. 为了增强抗旱能力，保证粮食丰收，某村今年新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①点到点只进水，不出水；②点到点不进水，不出水；③点到点只出水，不进水，则一定正确的论断是___________． 15. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，必有；④．其中正确的有___________．（填写序号） 三、解答题（本题共72分） 16. 已知动点以每秒的速度沿图1的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中，则______；当______时，的面积是． 三、解答题（本题共72分） 17. （1）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺作图． ①经过点，画线段所在直线． ②过点，画直线所在直线． （2）尺规作图：（用圆规直尺） 已知：如图，点是在内的一点 求作：射线上一点，使．（保留作图痕迹，不要求写画法）． 18. 计算题： （1） （2） （3） （4） （5）先化简，再求值：，其中． 19. 请根据题目中的逻辑关系填空： 已知：如图，．求证：． 证明： （___________） ___________（___________） 又（___________） ___________（___________） ___________（___________） ___________ 20. 小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的卖． （1）分别求出总价（元）和（元）与购买本数（本）（）的关系式． （2）当小明要买18本时，到哪家超市购买较省钱？ （3）小明现有27元，去哪家买合算？ 21. 几何证明题： 已知：如图，．求证：． 22. 甲骑自行车与乙骑电动车同时分别从A，B两地向C地（A，B，C地在同一路线上）匀速行驶，下图是两人行驶过程中离A地的距离与行驶时间的关系图，请你根据图象回答下列问题： （1）A，B两地相距___________；图象中点D表示的实际意义是___________． （2）在行驶途中，甲乙两人出发多长时间时，距离A地的路程相等？ 23. 如图，在边长为正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． D． （2）应用你从（1）选出等式，完成下列各题：已知，求的值． （3）有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： 则：___________． （4）利用你发现的规律：计算：___________． 24. 已知如图1，直线分别是直线上的点，点是直线上一定点，点是直线上一动点，过点作直线，点是直线上的动点（点不与点重合）．设 （1）当点在点左侧运动，点在线段上运动时，如图之间有什么数量关系？证明你结论． （2）当点在点左侧运动，点在线段外运动时，之间有什么数量关系？直接写出你的结论：___________． （3）当点在点右侧运动，点也同时运动时，之间有哪些数量关系？请在备用图中画出相应的图形，并直接写出结论：___________．（备用图不够时，可以自己添图形） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青大附中2022-2023学年度第二学期期中阶段性调研数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（每道小题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法以及同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法以及同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方，熟练掌握同底数幂的除法以及同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方的运算法则是解题的关键． 2. 如图，下列说法不正确的是（　　） A. 与是内错角 B. 与是内错角 C. 与是同旁内角 D. 与是同位角 【答案】B 【解析】 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：A. 与是内错角，故该选项正确，不符合题意； B. 与是同旁内角，故该选项不正确，符合题意； C. 与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意； D. 与是同位角，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键． 3. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：下列说法错误的是（　　） 温度 声速 A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B. 一定温度范围内，温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声音可以传播 D. 当温度升高到时，声速为 【答案】C 【解析】 【分析】根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．其定义是在一个变化过程种，如果有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么是自变量，是因变量，也是函数． 【详解】解：A． 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，故该选项正确，不符合题意； B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快，故该选项正确，不符合题意； C．当空气温度为时，声音可以传播，故该选项不正确，符合题意； D．∵（），（），（），（），（）， ∴当温度每升高，声速增加6， ∴当温度升高到时，声速为，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了自变量，因变量，列表法表示函数．熟练掌握自变量、因变量的定义是解题的关键． 4. 研究表明，某新型冠状病毒体长约为纳米，1纳米就是米．那么纳米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：纳米米． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 5. 小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片（ ） A. 3张 B. 4张 C. 5张 D. 6张 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得大长方形的面积为，根据多项式乘以多项式运算法则进行计算，即可获得答案． 【详解】解：， 则需要类卡片张数为5张． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键． 6. 如图，能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 由可得，故该选项正确，符合题意； B. 由，不能推出两直线平行，故该选项不正确，不符合题意； C. 由可得，不合题意，故该选项不正确，不符合题意； D. 由可得，不合题意，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 7. 将一副三角板按如图放置，点共线，直线，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，根据题意可得，进而可得，进而根据平行线的性质以及三角板中的角度计算即可求解． 详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角板中的角度计算，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 8. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点A，B，E共线，且H为的中点，连结，．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知长为12，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　 　） A. 19 B. 39 C. 48 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，三角形面积公式，正方形面积公式，正确对完全平方公式进行等价变形是解题关键．设甲正方形纸片的边长为，乙正方形纸片的边长为．根据题意得，，再根据完全平方公式求出，再结合图用甲，乙两个正方形面积减去和的面积，并代入计算即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设甲正方形纸片的边长为，乙正方形纸片的边长为． ，，甲正方形的面积，乙正方形的面积． 长为，图的阴影部分面积为， ，，． ． ． ． 点为的中点， ． ∴，． ∴ ． 故选：B． 二、填空题：（每道小题3分，共24分） 9. 已知A，C，B三地依次在一条笔直的公路上，其中A、C相距3千米．小红骑自行车以8千米/小时速度从C地出发，向B地行进，走了x小时后，距离A地有y千米，则y与x的函数表达式为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据路程速度时间，即可列出函数表达式． 【详解】解：由题意可知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数解析式，根据题意正确列式是解题关键． 10. 若一个角的余角是，则这个角的补角为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据余角和补角的定义：若两个角和为，则这两个角互为余角；若两个角和为，则这两个角互为补角；先求出这个角的度数，即可进行解答． 【详解】解：∵一个角的余角为， ∴这个角为， ∴这个角的补角为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，解题的关键是掌握若两个角和为，则这两个角互为余角；若两个角和为，则这两个角互为补角． 11. 已知，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法,根据幂的乘方得出,代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、有理数的混合运算和幂的乘方的逆运用，用了整体代入的方法． 12. 如图，把长方形沿对折后，使四边形与四边形重合，若，则的度数为___________． 【答案】## 度 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交的延长线于点， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13. 若是完全平方式，则的值为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ = ∴， 解得或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14. 为了增强抗旱能力，保证粮食丰收，某村今年新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①点到点只进水，不出水；②点到点不进水，不出水；③点到点只出水，不进水，则一定正确的论断是___________． 【答案】① 【解析】 【分析】根据图1可知进水速度小于出水速度，且出水速度为进水速度的2倍，结合图2每一个时间段的蓄水量增减变化即可判断各时间段内进水管和出水管的打开情况． 【详解】解：由图可知，每小时每个出水管的水速是每个进水管水速的两倍； 由图可知，点到点打开两个进水管，没有打开出水管； 点到点蓄水量没有变化，说明打开两个进水管和一个出水管或者进水管和出水管都不打开； 因某天点到点（至少打开一个水管），故点到点打开两个进水管和一个出水管； 点到点打开一个进水管和一个出水管． 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了函数图象的分析能力和函数与实际问题结合的应用，能够根据图象的性质结合给出的数据准确分析出图象中各段代表的实际意义是解题的关键． 15. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，必有；④．其中正确的有___________．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据同角的余角相等，即可判断①结论；利用三角形内角和定理，即可判断②结论；利用对顶角相等以及三角形内角和定理，得到，即可判断③结论；利用三角板的特征即可判断④结论． 【详解】解：由三角板的特征可知，，，，， ，，， ，①结论正确； ，， ， ， ，②结论正确； ， ， ， ， ， ， 与不平行，③结论错误； ，，， ， ， ，④结论正确， 综上可知，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同角的余角相等，平行线的判定，三角板的特征等知识，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键． 三、解答题（本题共72分） 16. 已知动点以每秒的速度沿图1的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中，则______；当______时，的面积是． 【答案】10；2.5或7.5 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键． 根据函数图象结合题意分析，分别求得，，的长，进而根据路程除以速度等于时间得出的值，根据的面积是，得出点的位置，进而即可求解． 【详解】解：依题意，当从运动时，增大，则， 当从运动时，不变，根据函数图象可得， 当从运动时，减小，结合函数图象可得， ， ， ； ， ，的面积是； 点在上或上，到的距离为， ，则， 或， ． 三、解答题（本题共72分） 17. （1）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺作图． ①经过点，画线段所在直线． ②过点，画直线所在直线． （2）尺规作图：（用圆规直尺） 已知：如图，点是在内的一点 求作：射线上一点，使．（保留作图痕迹，不要求写画法）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据格点的特征和平行线的作法作图即可； ②根据格点的特征和垂线的作法作图即可； （2）根据同位角相等两直线平行作平行线即可． 【详解】解：（1）①如图，直线即为所求； ②如图，直线即为所求； （2）如图，点D即为所求． 【点睛】本题考查了复杂作图，熟练掌握基本作图方法是解题关键． 18. 计算题： （1） （2） （3） （4） （5）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）； 【解析】 【分析】（1）根据单项式的乘除混合运算进行计算即可求解； （2）根据负整数指数幂，零指数幂，积的乘方与幂的乘方的逆运算，进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可求解； （5）根据整式乘法，多项式除以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ； 小问5详解】 当时，原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算以及乘法公式是解题的关键． 19. 请根据题目中的逻辑关系填空： 已知：如图，．求证：． 证明： （___________） ___________（___________） 又（___________） ___________（___________） ___________（___________） ___________ 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；已知；；等量代换；；两直线平行，内错角相等； 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定完成填空即可求解． 【详解】证明： （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 又（已知） （等量代换） （两直线平行，内错角相等） ． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 20. 小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的卖． （1）分别求出总价（元）和（元）与购买本数（本）（）的关系式． （2）当小明要买18本时，到哪家超市购买较省钱？ （3）小明现有27元，去哪家买合算？ 【答案】（1）， （2）到乙超市购买较省钱； （3）到甲超市合算 【解析】 【分析】（1）根据题意写出函数关系式即可求解； （2）将分别代入（1）中的解析式，进而即可求解； （3）将，分别代入（1）中的解析式，求得的最大整数解，进而即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ； 【小问2详解】 当时，， ， ∵， ∴到乙超市购买较省钱； 【小问3详解】 当时，到甲超市，， 解得：，则最多可以购买31本， 到乙超市，，解得：，最多可以购买30本， ∴到甲超市合算 【点睛】本题考查了列函数关系式，求函数值或者自变量的值，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 21. 几何证明题： 已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据对顶角相等，以及已知条件，可得，证明，得出，根据，可得，则． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 22. 甲骑自行车与乙骑电动车同时分别从A，B两地向C地（A，B，C地在同一路线上）匀速行驶，下图是两人行驶过程中离A地的距离与行驶时间的关系图，请你根据图象回答下列问题： （1）A，B两地相距___________；图象中点D表示的实际意义是___________． （2）在行驶途中，甲乙两人出发多长时间时，距离A地的路程相等？ 【答案】（1）20；乙从B地出发，行驶一小时后到达A地； （2）甲乙两人出发或时，距离A地的路程相等． 【解析】 【分析】（1）根据图象即可得到答案； （2）分两段路程进行讨论：①当乙从B地向A地行驶时；②当乙到达A地后向C地行驶时，结合图象分别求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，A，B两地相距， 图象中点D表示的实际意义是乙从B地出发，行驶一小时后到达A地， 故答案为：20；乙从B地出发，行驶一小时后到达A地； 【小问2详解】 解：设距离A地的路程为，行驶时间为， 甲的速度为， 甲距离A地的路程， ①当乙从B地向A地行驶时，此时乙的速度为， 乙距离A地的路程， 由题意得：， 解得：； ②当乙到达A地后向C地行驶时，此时乙的速度为， 乙距离A地的路程， 由题意得：， 解得：， 综上可知，甲乙两人出发或时，距离A地的路程相等． 【点睛】本题考查了从函数图象获取获取信息，函数解析式，根据图象正确获取信息是解题关键． 23. 如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． D． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知，求的值． （3）有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： 则：___________． （4）利用你发现的规律：计算：___________． 【答案】（1）C （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； （2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得； （3）观察等式的规律，可得等式的右边为，即可求解； （4）根据（3）的规律进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：左图中，阴影部分为大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分面积为：， 右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：， 所以右图阴影部分面积为：， 由于左右两图阴影部分面积相等， 所以有：， 故答案为： C． 【小问2详解】 由（1）中规律，利用平方差公式可得： ， ∵ ． 【小问3详解】 解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 【小问4详解】 解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景和应用，代数式求值，有理数混合运算及数式规律问题，利用平方差公式将代数式变形是关键． 24. 已知如图1，直线分别是直线上的点，点是直线上一定点，点是直线上一动点，过点作直线，点是直线上的动点（点不与点重合）．设 （1）当点在点左侧运动，点在线段上运动时，如图之间有什么数量关系？证明你的结论． （2）当点在点左侧运动，点在线段外运动时，之间有什么数量关系？直接写出你的结论：___________． （3）当点在点右侧运动，点也同时运动时，之间有哪些数量关系？请在备用图中画出相应的图形，并直接写出结论：___________．（备用图不够时，可以自己添图形） 【答案】（1），证明见解析 （2）或 （3）或或． 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点作，当点在点左侧运动，点在线段上运动时，，，则，即可得出结论； （2）过点作，分点在上方，在下方，分别讨论即可求解； （3）过点作，分三种情况，根据平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 ，证明如下， 如图所示，过点作， ∵， ∴， 当点在点左侧运动，点在线段上运动时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 如图所示，过点作， ∵， ∴， 当点在点左侧运动，点在的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作， ∵， ∴， 当点在点左侧运动，点在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或； 【小问3详解】 如图所示，过点作， ∵， ∴， 当点在的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作， ∵， ∴， 当在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作， ∵， ∴， 当点在的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了平行线性质与判定探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$