精品解析：2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题卷（终极卷）

2024年长沙市初中学业水平考试押题卷（终极卷） 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较方法“根据正数都大于负数，负数小于零，正数大于零，两正数绝对值较大的数较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 2. 花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 【详解】A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式的运算，完全平方公式，根式的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据单项式的运算，完全平方公式，根式的运算，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：对于A选项，，故该选项不正确，不符合题意； 对于B选项，，故该选项不正确，不符合题意； 对于C选项，，故该选项不正确，不符合题意； 对于D选项，，故该选项正确，符合题意； 故选D． 4. 2024 年春节期间电影票房迎来大井喷，其中《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》《熊出没·逆转时空》合计贡献了大盘超95%的票房，这四部电影票房累计突破113亿．数据“113亿”用科学记数法可以表示为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数． 根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： 113亿， 故选：C． 5. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“馬”和“車”的坐标建立坐标系，进而得到“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系， ∴炮”坐标为， 故选：C． 6. 如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到，平分，从而，求出，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】由作法得，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 7. 如图，直线，，AC平分，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，首先平角定义和角平分线求出求出，再由得出，根据平行线的性质得，由可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵AC平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 8. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近1个月内每人阅读课外书的数量，统计结果如下： 课外书数量（本） 1 2 3 4 人数 7 9 8 6 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 3，2 C. 2，3 D. 2，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，理解中位数和众数的概念是解题的关键． 根据中位数和众数的概念求解即可． 【详解】∵，从低到高排序后，处于第号和第号的数都是， ∴这组数据的中位数， ∵每人阅读课外书是的人数有人，人数最多， ∴这组数据的众数是， 故选：D． 9. 如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】过点作于点E，于点， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理： ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线． 10. 在象棋中，“兵”在过河后，可以向左、向右或往前行进一步，但是永远不能往后方移动．如图，“兵”已经过河了，可以向右、向上行进．那么“兵”从现在的位置走到“将”的位置，且要使路程之和最短，有几种行走的路线（　　） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】“兵”从现在的位置走到“将”的位置，总共会走3次右和3次上，依据图表，运用列举法算即可求解． 【详解】解：兵”从现在的位置走到“将”的位置，总共会走3次右和3次上，路线如下图所示，逐一列举如下： 则行走的路线的种数有：1-2-3-4-5-6；1-2-7-4-5-6； 1-2-7-8-5-6；1-2-7-8-9-6；1-10-7-4-5-6；1-10-7-8-5-6；1-10-7-8-9-6；1-10-11-8-5-6；1-10-11-8-9-6；1-10-11-12-9-6；13-10-7-4-5-6；13-10-7-8-5-6；13-10-7-8-9-6；13-10-11-8-5-6；13-10-11-8-9-6；13-10-11-12-9-6；13-14-11-8-5-6；13-14-11-8-9-6；13-14-11-12-9-6；13-14-15-12-9-6；共20种， 故选：B． 【点睛】本题主要考查用列举法计算．解题的关键是数形结合，有序列举，不重不漏； 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13. 方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意不要漏掉检验这一关键步骤． 【详解】解：将分式方程化为整式方程得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为： 故答案为： 14. 某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 设的半径为R，则， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 则半径为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 15. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得到三角形的面积，由于，得到，即可得到结论． 【详解】解：轴， ， ∴三角形的面积， ， ， ， ． 故答案为：2． 16. 如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H，利用∠CQP＝∠CTP＝90°，得出C，P，T，Q四点共圆，则点Q的运动轨迹是射线TQ，再利用垂线段最短和三角形相似，求出BH的长度即可． 【详解】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H． ∵∠CQP＝∠CTP＝90°， ∴C，P，T，Q四点共圆． ∴∠CTQ＝∠CPQ＝30°， ∴点Q的运动轨迹是射线TQ， ∵AC＝4，BC＝3，AB＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CBT＝∠ABC，∠ACB＝∠CTB＝90°， ∴△BTC∽△BCA， ∴BC2＝BT•BA， ∴BT， ∵∠BTH＝60°， ∴BH＝BT•sin60°， ∴当点Q与点H重合时，CQ的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查了四点共圆，直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了算术平方根意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，11 【解析】 【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 19. 贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上） （1）求索道的长（结果精确到）； （2）求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案； （2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为， ∴； 【小问2详解】 解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数． 20. 随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）估计这所学校3000名学生中，“不了解”的人数是多少人． （2）“非常了解”的4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）估计这所学校名学生中，“不了解”的人数是人 （2）恰好抽到2名男生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了概率，扇形统计图，条形统计图， （1）由非常了解的学生人数及其所占百分比可得人数，用总人数乘以样本中不了解所对应的百分比可得； （2）将抽取分别记为第一次和第二次，列表表示出所有可能出现的结果，从中找到恰好抽到2名男生的结果数，再利用概率公式计算即可得； 掌握概率，扇形统计图，条形统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：（1）本次调查的学生总人数为， “不了解”对应的百分比， ∴估计该校名学生中“不了解”的人数是（人）， 即估计这所学校名学生中，“不了解”的人数是人； 【小问2详解】 解：将抽取分别记为第一次和第二次，用下表列出所有可能出现的结果 第一次 第二次 由表可知，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，可能出现的结果有种，恰好抽到2名男生的结果有2个， ∴P（抽到2名男生） ， 即恰好抽到2名男生的概率为． 21. 如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接、． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得出全等三角形判定的条件即可解决问题． （2）根据全等三角形的性质，得出，进而得出，再利用勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 证明：由旋转可知， ，， ， ， ． 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 又， 则在中， ， 故的长为． 22. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人； （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ 【答案】（1）原计划租用A种客车26辆，这次研学一共有1200人 （2）该校共有 3 种租车方案，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用，理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设租用A种客车x辆，则这次研学一共有人，根据等量关系列出方程即可求解； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆，根据不等关系列出不等式，进而可求解 【小问1详解】 解：设租用A种客车x辆，则这次研学一共有人， 根据题意得， 解得：， 人， 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学一共有1200人； 【小问2详解】 设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得， 解得：， ∵B种客车不超过7辆， ∴， 又∵y为正整数，y可以为5，6，7， ∴该校共有 3 种租车方案： 方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车； 方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车． 23. 如图1，在正方形中，点P在上，分别过点C、D作于点E、G，联结，过点C作于点F． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的值； （3）如图2，若，经过的中点K，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明，则，即可证明四边形是正方形； （2）连接交于点O，证明. 则.又由得到 再证明. 即可得到； （3）证明，则.设，则，在中，由勾股定理得，则，证明，进一步得到是等腰直角三角形，，由得到，即可得到答案． 【小问1详解】 证明∵， ∴四边形是矩形. 在正方形中， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ∴. ∴四边形是正方形. 【小问2详解】 连接交于点O，由（1）可得. 又， ∴. ∴. 又， ∴ ∴，. ∴ ∴. ∴； 【小问3详解】 连接. 由题意得，则. 由（2）可知，， ∵， ∴. 所以. 设，则，在中，由勾股定理得， 则， 又， ∴， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 所以． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图1，在矩形中，，，点在射线上（不与点重合），以为圆心，为半径向上作半圆，半圆交延长线于点． （1）若，是半圆上一点，则、两点之间距离的最小值为______． （2）如图2，连接交半圆于点，在接交半圆于点，若点恰好是的中点，求的长；【注：，】 （3）连接，若半圆与的边有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交圆O于点M，此时、两点之间距离最小，结合勾股定理即可作答； （2）交于点N，点恰好是的中点，即有，，证明，可得，根据，可得，结合弧长公式即可作答； （3）两个临界点：第一个，设与半圆O相切于点G，连接，此时半圆与的边有一个交点，随着半径的增大，半圆与的边有两个个交点，利用面积，在中，可得；第二个：随着半圆的半径继续扩大，当半圆O经过点B时， 此时半圆与的边又只有一个交点，结合，在中，，问题随之得解． 【小问1详解】 连接，交圆O于点M，如图，此时、两点之间距离最小， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8； 【小问2详解】 交于点N，如图， ∵点恰好是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴结合，有， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 设与半圆O相切于点G，连接，如图， 此时，半圆与边有一个交点， 随着半径的增大，半圆与的边有两个个交点， ∵与半圆O相切于点G， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴； 随着半圆的半径继续扩大，当半圆O经过点B时，如图， 此时，半圆与的边又只有一个交点， 此时有：， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴半圆与的边有两个交点时， 的取值范围为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，弧长公式，圆的基本性质，三角函数，勾股定理以及垂径定理的推论等知识，问题的难点在第（3）问，确定临界点，是解答本题的关键． 25. 定义：一般地，如果函数的图象经过点，（、），那么我们称函数为卡尔达诺函数，这对点叫做函数的一对最佳偏移点． （1）当对于函数，，时． ①求证：若为卡尔达诺函数，则； ②设函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点，求函数的函数解析式． （2）已知卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为． ①当时，该函数的最大值与最小值之差为，求的值； ②已知点，，，当与的图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①见解析；② （2）①或或；② 【解析】 【分析】（1）①设一对最佳偏移点为和，代入证明即可；②由①得，则函数，设、相同的一对最佳偏移点为和，分别代入和（），计算求出的值，即可得出函数的函数解析式； （2）①分“当”和“”两大类讨论，结合二次函数最值的情况，“”可细分“若”，“若”，“若”，结合函数的最大值与最小值之差为，多种情况讨论，最后得出答案即可；②求出当的图象经过点时，的值，结合函数图象，分析的不同取值范围，与的图象的公共点情况，得出答案即可． 【小问1详解】 解：①∵为卡尔达诺函数， ∴设一对最佳偏移点为和， ∴， 得：， ∴； ②∵函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点， 由①得：， ∴函数，设、相同的一对最佳偏移点为和， ∴把代入，得：， 把和代入（），得：， ∴得：，即， ∴， ∴函数的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①∵卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为，当时，该函数的最大值与最小值之差为， ∵对称轴是，，另一个最佳偏移点为，， ∴，， ∴把代入得：， ∴，则， ∴， 时，， 当时，则， ∴当时，“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴，整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， ∴， 解得：（舍去）或； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或（舍去）． 综上所述，的值为或或； ②∵由①得：， ∴当的图象经过点时，， 整理得：， ， ， ∴， 解得：，， 如图，当时，与的图象没有公共点， ； 如图，当时，与的图象有一个公共点， ； 如图，当时，与的图象有两个公共点， ； 如图，当时，与的图象有一个公共点， ； 如图，当时，与的图象没有公共点， ； 综上所述，当与的图象有两个公共点时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、新定义的理解、二次函数最值的讨论，熟练掌握知识点推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年长沙市初中学业水平考试押题卷（终极卷） 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024 年春节期间电影票房迎来大井喷，其中《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》《熊出没·逆转时空》合计贡献了大盘超95%票房，这四部电影票房累计突破113亿．数据“113亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，直线，，AC平分，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近1个月内每人阅读课外书的数量，统计结果如下： 课外书数量（本） 1 2 3 4 人数 7 9 8 6 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 3，2 C. 2，3 D. 2，2 9. 如图，两张宽为3长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 在象棋中，“兵”在过河后，可以向左、向右或往前行进一步，但是永远不能往后方移动．如图，“兵”已经过河了，可以向右、向上行进．那么“兵”从现在的位置走到“将”的位置，且要使路程之和最短，有几种行走的路线（　　） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为________． 12. 分解因式：___________． 13. 方程的解为_________． 14. 某公路隧道截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为_____米． 15. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为_____． 16. 如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为 _____． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上） （1）求索道的长（结果精确到）； （2）求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 20. 随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）估计这所学校3000名学生中，“不了解”的人数是多少人． （2）“非常了解”的4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 21. 如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接、． （1）求证： （2）若，，求的长． 22. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人； （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ 23. 如图1，在正方形中，点P在上，分别过点C、D作于点E、G，联结，过点C作于点F． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的值； （3）如图2，若，经过的中点K，求的长． 24. 如图1，在矩形中，，，点在射线上（不与点重合），以圆心，为半径向上作半圆，半圆交延长线于点． （1）若，是半圆上一点，则、两点之间距离的最小值为______． （2）如图2，连接交半圆于点，在接交半圆于点，若点恰好是的中点，求的长；【注：，】 （3）连接，若半圆与的边有两个交点，求的取值范围． 25. 定义：一般地，如果函数的图象经过点，（、），那么我们称函数为卡尔达诺函数，这对点叫做函数的一对最佳偏移点． （1）当对于函数，，时． ①求证：若为卡尔达诺函数，则； ②设函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点，求函数的函数解析式． （2）已知卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为． ①当时，该函数最大值与最小值之差为，求的值； ②已知点，，，当与的图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$