江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题

丰城九中2024-2025学年上学期高三入学考试试卷 数 学 考试范围：选择性必修一、选择性必修二、一轮复习第一章至第二章第四节 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．设正项等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数 ，若实数 成等差数列，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 8．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．的最小值为 10．已知，分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的值域为 C．若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D．若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12．已知实数、满足，则的最小值为 ． 13．已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为 （用数字作答）. 14．已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15、（13分）已知函数，. (1)求的最小值； (2)设，求的取值范围， 16、（15分）已知函数的图象在点处的切线经过点. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求证：. 17、（15分）已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的面积； (2)若的内切圆半径为，，求的值． 18、（17分）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19、（17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线 和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：，用同样的方式也可以推导不等式.    已知函数，其中. (1)请参考上述材料证明：函数图象上的任意两点切线均不重合； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 高三入学考试试卷第2页 / 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学参考答案 1．A2．C3．D4．A5．B6．B7．C8．C9．ABD10．ABD11．BC 12．13．14． 15．(1)(2) 16．(1)(2)证明见解析 【详解】（1）因为，则， 所以，则切线方程为， 即， 令，解得，所以； （2）由（1）可得，. 方法一： 所以， 则， 两式相减得， 故 ， 所以由可得， 故； 17．(1)(2) 【详解】（1）在中，由余弦定理，可得， 由，，则， 得, 由的周长为20，即，则， 所以，则，即， 所以， 故的面积为，. （2）根据题意，如图所示， 圆为的内切圆，半径为，切点分别为， 则，且， 由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点， 则，且， 由中，即， 所以，又，即， 所以，则，则， 在中， 故，即. 18．(1)答案见解析(2) 【详解】（1）由已知可得函数，. ①当时， 当时，，时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ②当时，当时，， 或时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增； ④当时，当时，，或时，； 则在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意，恒成立，因，即恒成立. 即需求在上的最大值. 令，，则， 令，，则， 即在上单调递减， 又，所以在上存在唯一的使（*）， 当时，，即则在上单调递增； 当时，，即则在上单调递减. 故在时取得最大值，为， 又由（*）可得，，故， 两边取对数得：， 令，由知在定义域内单调递增， 故由可得，，即， 所以，故，即. 19．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）由函数，可得， 不妨设，曲线在处的切线方程为 ，即， 同理曲线在处的切线方程为， 假设与重合，则， 代入化简可得， 两式消去，可得，整理得， 由知，与上式矛盾 即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合， 所以函数图像上的任意两点切线均不重合； （2）当时，不等式恒成立， 所以在恒成立，所以， 下证：当时，恒成立． 因为，所以 设 （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立，即在为增函数． 所以，即在为减函数，所以成立， 综上所述，实数的取值范围是 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 丰城九中2024—2025学年上学期高三入学考试 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔 填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写 清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号， 在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分）