四川省遂宁中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

四川省遂宁市遂宁中学2024-2025高二上开学考 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设z＝，则＝(　　) A．1－2i　　B．1＋2i C．2－i D．2＋i 2．sin 70°sin 40°－sin 50°cos 110°＝(　　) A．　　　B．－　　　C． 　　　D．－ 3．函数y＝·ln (2－x)的定义域为(　　) A．(1，2) B．[1，2) C．(1，2] D．[1，2] 4．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是(　　) A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α B．若m∥α，β⊥α，则m∥β C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥β，则α∥β 5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为a，众数为b，平均值为c，则(　　) A． a＝b＝c B．a＝b＜c　C．a＜b＜c D．b＜a＜c 6．已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos 〈a＋b，a－b〉＝(　　) A．　　　B．　　　C． 　　　D． 7．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 8．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．y＝x B．y＝|x|＋1 C．y＝ D．y＝－ 10．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫做集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列解析正确的是(　　) A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8} B．如果A－B＝∅，那么A⊆B C．已知全集、集合A、集合B关系如图中所示，则B－A＝A∩(∁UB) D．已知A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A－B＝{x|x<－2或x≥4} 11．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB＝2，AA1＝，E，F分别为AB，BC的中点．则(　　) A．A1E⊥DF B．点A1，E，F，C1四点共面 C．直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为 D．三棱锥E-C1DF的体积为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 13．如果用半径R＝2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________． 14.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60 m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （13分） (1)计算：＋log23·log34＋lg 2＋lg 50； (2)已知tan α＝2，求cos ·cos (π－α)的值． 16． （15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数； (2)已知落在[50，60)的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2. 17．（15分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D为棱BC的中点．(1)证明：A1C∥平面AB1D；(2)求点A1到平面AB1D的距离． 18.（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(1+cos A，sin B )，n＝且m∥n. (1)求角A的大小； (2)若D是BC的中点，AD＝1，求△ABC面积的最大值． 19.（17分）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足：p(t)＝其中t∈N． (1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义； (2)若该路公交车每分钟的净收益y＝－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益． 遂宁中学介福校区高2026届（高二上） 入学考试数学试卷答案 1．B　[由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B.] 2．C　[sin 50°＝sin (90°－40°)＝cos 40°；cos 110°＝cos (180°－70°)＝－cos 70°； ∴原式＝sin 70°sin 40°＋cos 40°cos 70°＝cos (70°－40°)＝cos 30°＝．故选C．] 3． B　[要使函数有意义，则解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1，2)． 4．C　[若m∥α，不妨设m在α内的投影为m′，则m∥m′，对于选项A：若m∥α，m⊥n，则n⊥m′，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直α，故A错误； 对于选项B：若m∥α，β⊥α，此时m与β可能相交、平行或m在β上，故B错误；对于选项C：若m∥α，n⊥α，则n⊥m′，从而m⊥n，故C正确；对于选项D：若m∥α，m⊥β，则m′⊥β，结合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D错误．故选C.] 5．D　[由统计图知众数b＝5.将30名学生得分从小到大排列，第15个数是5，第16个数是6，所以中位数a＝＝5.5.又平均值c＝≈5.97.所以b＜a＜c.] 6．B　[因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B．] 7．B　[＝＋＝)＋＝(－＋)＋＝－.故选B. 8． C　[依题意可知棱台的高为MN＝157.5－148.5＝9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台下底面积S＝140.0 km2＝140×106m2，上底面积S′＝180.0 km2＝180×106m2，∴V＝h(S＋S′＋)＝×9×(140×106＋180×106＋)＝3×(320＋60)×106≈(96＋18×2.65)×107＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.] 9．BC　[对于A，y＝x是奇函数，故不符合题意； 对于B，y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 对于C，y＝是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 对于D，y＝－是奇函数，不符合题意．] 10．BD　[对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，故B－A＝{3，8}，错误； 对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则A－B＝∅，故A⊆B，正确； 对于C，由Venn图知：B－A如图阴影部分，所以B－A＝B∩(∁UA)，错误； 对于D，∁RB＝{x|x<－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x<－2或x≥4}，正确． 故选BD.] 11．BCD　[对于A，假设A1E⊥DF，由题意知BC⊥平面AA1B1B，A1E⊂平面AA1B1B，∴A1E⊥BC，又BC∩DF＝F，∴A1E⊥平面ABCD，由长方体性质知A1E与平面ABCD不垂直，故假设不成立，故A错误； 对于B，连接EF，AC，A1C1，由于E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又因为长方体ABCD-A1B1C1D1，知A1C1∥AC，∴EF∥A1C1，所以点A1，E，F，C1四点共面，故B正确； 对于C，由题意可知DC⊥平面BB1C1C， ∴∠DC1C为直线C1D与平面BB1C1C所成角，在Rt△DCC1中，CC1＝，CD＝2，则tan ∠DC1C＝＝＝，故C正确；对于D，连接DE，C1E，∵AB＝AD＝2，则S△DEF＝S□ABCD－S△ADE－S△BEF－S△CDF＝2×2－×2×1－×1×1－×1×2＝，利用等体积法知：＝＝·S△DEF·CC1＝××＝，故D正确．故选BCD.] 12.充分不必要　[由于A＝{x|0＜x＜1}，所以AB，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．] 13．3　[设圆锥筒的底面半径为r，则2πr＝πR＝2π，则r＝， 所以圆锥筒的高h＝＝＝3.] 14．30　[如图所示，设水柱CD的高度为h，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h，∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵B，A，C在同一水平面上， ∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝h，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos 60°， ∴＝h2＋602－2×60×h×，即h2＋30h－1800＝0，解得h＝30. ∴水柱的高度是30 m． 15．[解]　(1)＋log23·log34＋lg 2＋lg 50＝＋log23×2log32＋lg 100＝＋2＋2＝． (2)cos ·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝＝＝－． 16.[解]　(1)∵每组小矩形的面积之和为1， ∴(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030. 成绩落在[40，80)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65. 落在[40，90)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9. 设第80百分位数为m，由0.65＋(m－80)×0.025＝0.80，得m＝86， 故第80百分位数为86.设平均数为，由图中数据可知：＝10×(45×0.005＋55×0.010＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.025＋95×0.010)＝74. (2)由图可知，成绩在[50，60)的市民人数为100×0.1＝10， 成绩在[60，70)的市民人数为100×0.2＝20.故＝＝62， s2＝[10×(56－62)2＋10×7＋20×(65－62)2＋20×4]＝23. 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23. 17[解]　(1)证明：连接A1B交AB1于O，连接OD， 正三棱柱ABC-A1B1C1中，易得O为AB1中点，又D为BC的中点，所以OD∥A1C. 因为A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D. (2)因为A1C∥平面AB1D，所以C与A1到平面AB1D的距离相等， 由题意得AB1＝2，DB1＝，AD＝，因为 ＝，所以AD⊥DB1， 所以＝××＝，S△ADC＝×1×＝，设C到平面ADB1的距离为h，则＝VB1-ACD，所以×h＝××2，所以h＝，即点A1到平面AB1D的距离为. 18．[解]　(1)由m＝，n＝且m∥n， 得b＝a sin B，由正弦定理得sin B＝sin A sin B， ∵B∈，∴sin B≠0，∴1＋cos A＝sin A，∴2sin ＝1， 又∵A∈，A－∈，∴A－＝，即A＝. (2)由＝，得到＝，则4＝b2＋c2＋2bc cos ∠BAC，化简得b2＋c2＝4－bc≥2bc，∴bc≤，当且仅当b＝c时，等号成立，∴S△ABC＝bc sin A≤××＝，即△ABC面积的最大值为. 19[解]　(1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35． (2)∵y＝－10，∴当5≤t<10时，y＝－10＝110－， 任取5≤t1<t2≤6，则y1－y2＝ ＝6(t2－t1)＋＝6(t2－t1)＋＝， ∵5≤t1<t2≤6，∴t2－t1>0，25<t1t2<36，∴y1－y2<0， ∴函数y＝110－在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间(6，10)上单调递减，∴当t＝6时，y取得最大值38； 当10≤t≤20时，y＝－10＝－10，该函数在区间[10，20]上单调递减， 则当t＝10时，y取得最大值28.4． 综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$