精品解析：2024年上海市中考数学冲刺卷（二）

上海市名校联盟冲刺卷（二）数学 考生注意： 1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，在答题纸指定位置填写姓名、考号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上的作答一律不得分． 4．选择题和作图题用2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答． 一、选择题 （本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是无理数，故此选项符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意； D、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 3. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：A.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意； B.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二、三象限；当时，y随x的增大而增大．故选项B不符合题意； C.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意； D.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键． 4. 在知识竞赛中，成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将九年级二班参赛选手的成绩整理并绘制成如下的统计图，九年级二班参赛选手成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 100和90 B. 100和80 C. 80和90 D. 80和80. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：由统计图可知，A级的占比最多，即得分为100分的人数最多， ∴二班参赛选手的成绩的众数为100； ∵中位数是一组数据中处在最中间或处在最中间的两个数据的平均数， ∴由扇形统计图可知处在最中间的成绩为80分或处在最中间的两个数据分别为80分，80分， ∴中位数即为80， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，熟知二者的定义是解题的关键． 5. 如图，已知，为三角形ABC的中线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，则，则． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 点睛】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算是解题的关键． 6. 如图，AB是⊙O弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，作OF⊥AB，即可求出CE，再证明，即可求出AC，BC，然后根据垂径定理求出BF，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，过点O作OF⊥AB，于点F， ∴EO=CO+CD=5cm， ∴CE=8cm． ∵∠ADC=∠CBE，∠ACD=∠BCE， ∴， ∴， 即AC·BC=CE·CD， 则2AC2=16， 解得， ∴， 则． ∵OF⊥AB， ∴． 在Rt△BOF中，BO=5cm， ∴（cm）． 故选：C． 【点睛】这是一道关于圆得综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，构造相似三角形求出线段的长是解题的关键． 二、填空题 （本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 【点睛】此题考查提取公因式法因式分解，准确找到公因式是解此题的关键． 8. 已知函数f（x）＝，则f（8）的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的概念计算求值即可； 【详解】解：由题意得：f（8）＝=2， 故答案为：2； 【点睛】本题考查了由自变量的值求函数的值；立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根），正数只有一个正的立方根，负数只有一个负的立方根，零的立方根为零． 9. 方程的根是___________． 【答案】x=1 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再根据原方程中x的取值范围进行取舍即可得出结果． 【详解】解：∵，∴3-2x≥0且x≥0，解得0≤x≤． 原方程两边同时平方，整理得，x2+2x-3=0， ∴(x-1)(x+3)=0，∴x1=1，x2=-3． 又0≤x≤，∴x=1． 故答案为：x=1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及解一元二次方程，掌握基本概念和解法是解题的关键． 10. 关于x的不等式，且，则该不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，由知结合得 再进一步求解即可，掌握解不等式的基本步骤是关键，需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解： 则 解得： 故答案为：． 11. 已知与互为补角，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角．熟练掌握互为补角的两角之和为是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 【答案】0或2##2或0 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解题关键是掌握分式方程解法，理解分式方程解的定义．将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情况，分别进行计算即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程得： ， 即， 由于分式方程无解， 所以或者分式方程有增根， 当时，， 解得， 综上所述，的值为0或2， 故答案为：0或2． 13. 如果从1，2，3，5，8，13，21，24这8个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是素数的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】确定出素数有3个，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵1，2，3，5，8，13，21，24这8个数中素数有2，3，5，13这3个， ∴取到的数恰好是素数的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 将函数的图像向下平移2个单位后，经过点，那么y的值随x的增大而______．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】根据函数图像的平移可知，将函数的图像向下平移2个单位后表达式为，把点代入一次函数得到关于的一元一次方程，解之，通过的正负情况即可得到答案． 【详解】解：根据函数图像的平移可知，将函数的图像向下平移2个单位后表达式为， 图象经过点， ，解得，即函数为， ， y的值随x的增大而增大， 故答案：增大． 【点睛】本题考查了函数图像的平移和正比例函数的增减性，涉及到解一元一次方程，正确掌握代入法和正比例函数的增减性是解题的关键． 15. 某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是_____元． 【答案】6600 【解析】 【分析】根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可． 【详解】解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得 ，解得， ∴y=-600x+7000， 当x=8时，y=， ∴这天销售苹果的盈利是=6600（元）， 故答案为：6600． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，点E在上，将沿翻折得到，点B的对应点F恰好落在线段上，线段的延长线交于点G，，则的值为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点H，设，则，再证明，可得，，再根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， 设，则， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质是解题的关键． 17. 如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______. 【答案】4 【解析】 【分析】解：如图，联结CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解． 【详解】解：如图，联结CE， ， ， 六边形是正六边形， AB=AF=EF=BC，， ， ， ， ， 四边形BCEF是平行四边形， ， 的面积为1，， 的面积为， 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 18. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】连接AC，作交BC于E点，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作交AD于F点，可证，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果． 【详解】解：如图，连接AC，作交BC于E点， ，， ，设AE=3x，BE=4x， ，则， 解得x=2，则AE=6，BE=8， 又，CE=BC-BE=4， ， 作交AD于F点， ，， ，==， 又，同理可得DF=3，CF=4， ， AD=AF+DF=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键． 三、解答题 （本大题共7题，共78分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解题的关键： （1）利用零指数幂的意义，二次根式的性质，绝对值的意义等化简计算即可； （2）先根据分式的运算法则进行化简，再代入即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 当时，原式． 20. 解方程组 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题主要考查解高次方程，关键在于对原方程组的两个方程进行化简，重新组合． 首先对原方程组进行化简，然后分别重新组合，成为4个方程组，最后解这两个方程组即可． 【详解】解： 方程①可变形为． 得或． 方程②可变形为． 得或． 因此，原方程组可组成以下四个二元一次方程组： ，，，． 分别解这四个方程组， 得原方程组的解是，，，． 21. 已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： （1）线段的长； （2）的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质等知识点． （1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出∠C的正切值即求出了的值． 【小问1详解】 解：∵是边上的高，和是， 在中， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 小问2详解】 解：在中， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元 （2）购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键． 【小问1详解】 设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； 【小问2详解】 设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为10万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元． 23. 如图，的边是的直径，点在上，点是边上的一点，点和点关于对称，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点，线段交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）联结，当时，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用三个角是直角四边形是矩形，即可得证； （2）证明比例式，首先化成乘积式，然后找到相似的三角形，再证明三角形相似即可． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， 点和点关于对称， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 如图，连接， ， ， ， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， ， ， ， ， 即， 由得， ， ， 即． 【点睛】本题考查了矩形的判断、三角形相似，解题的关键是熟练矩形的判断方法，以及三角形相似的判断方法． 24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D． （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2＋4，（1，4）；（2）（﹣2，﹣5）；（3） 【解析】 【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x＝＝1，列方程组求出a、b的值； （2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长． 【详解】解：（1）根据题意，得，解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3； ∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4， ∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）． （2）如图1， 由y＝﹣x2＋2x＋3，得C（0，3），B（3，0）． 设直线CD的解析式为y＝kx＋3，则k＋3＝4，解得k＝1， ∴y＝x＋3； 当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD， 设直线PB的解析式为y＝x＋m，则3＋m＝0，解得m＝﹣3， ∴y＝x﹣3． 由，得，， ∴P（﹣2，﹣5）． （3）如图2， 作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF． 由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3）， ∴OB＝OG＝3． ∵PH∥OG， ∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°， ∴∠HPF＝45°＋∠FPB； ∵tan（∠PBO＋∠PEO）＝， ∴45°＋∠PEO＝45°＋∠FPB， ∴∠PEO＝∠FPB， 又∵∠PBE＝∠FBP（公共角）， ∴△PBE∽△FBP， ∴，BE•BF＝PB2， ∵HF＝PH＝×5＝， ∴BF＝﹣2﹣3＝， 又∵PH＝BH＝5， ∴PB2＝52＋52＝50， ∴BE＝50， 解得BE＝， ∴OE＝3＋＝． 【点睛】本题考查二次函数解析式、一次函数、锐角三角函数、相似三角形的判定．利用同角锐角三角函数转换角的关系是解题的关键， 25. 数学家庞斯莱发明过一种玩具（如图1），这种玩具用七根小棍做成，各结点均可活动，，，且．使用时，将A，O钉牢在平板上，使A，O间的距离等于木棍的长，绕点O转动点C，则点C在上运动，点E在直线上运动，．图2是该玩具转动过程中的一幅示意图． （1）判断点A，C，E在同一条直线上吗？请说明理由． （2）当点O，C，F在同一条直线上时． ①求证：CD//AB． ②若，，，求的长． 【答案】（1）点A，C，E在同一条直线上，理由见解析； （2）①见解析；②4． 【解析】 【分析】（1）连接FD，与CE的交点为O′，根据菱形的判定与性质及补角的概念可得答案； （2）①由菱形的性质、圆周角定理及平行线的判定与性质可得∠DCM=∠OCM，然后由等腰三角形的性质及平行线的判定可得结论； ②延长ED与AB交于点N，根据菱形的性质及平行四边形的判定与性质可得AN=EN，然后由解直角三角形及勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：点A，C，E在同一条直线上，理由如下： ∵， ∴四边形CDEF是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点A，C，E在同一条直线上； 【小问2详解】 设⊙O与AB交于点M，连接CM， ①证明：∵四边形CDEF是菱形， ∴CF=CD，AE⊥FD， ∴∠CFD=∠CDF， ∵AM是直径， ∴AE⊥CM， ∴FD∥CM， ∴∠OCM=∠CFD，∠FDC=∠DCM， ∴∠DCM=∠OCM， ∵OC=OM， ∴∠OCM=∠OMC， ∴∠DCM=∠OMC， ∴CD∥AB； ②解：延长ED与AB交于点N， 设BN=x，BE=y， ∵四边形CDEF是菱形， ∴FO∥EN，ED=CD， ∴∠ECD=∠CED， ∵CD∥AB， ∴四边形COND是平行四边形， ∴∠ECD=∠CAB， ∴CD=ON=3，∠CAB=∠CED， ∴AN=EN， ∵OC=OA=2， ∴EN=AN=AO+ON=2+3=5， ∴AB=5+x， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去），， ∴． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市名校联盟冲刺卷（二）数学 考生注意： 1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，在答题纸指定位置填写姓名、考号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上的作答一律不得分． 4．选择题和作图题用2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答． 一、选择题 （本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A B. C. D. 3. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ） A B. C. D. 4. 在知识竞赛中，成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将九年级二班参赛选手的成绩整理并绘制成如下的统计图，九年级二班参赛选手成绩的众数和中位数分别是（ ） A 100和90 B. 100和80 C. 80和90 D. 80和80. 5. 如图，已知，为三角形ABC的中线，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 （本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 因式分解：______． 8. 已知函数f（x）＝，则f（8）的值是_____． 9. 方程的根是___________． 10. 关于x的不等式，且，则该不等式的解集为______． 11. 已知与互为补角，，则的度数是________． 12. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 13. 如果从1，2，3，5，8，13，21，24这8个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是素数的概率是_______． 14. 将函数的图像向下平移2个单位后，经过点，那么y的值随x的增大而______．（填“增大”或“减小”） 15. 某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是_____元． 16. 如图，在矩形中，点E在上，将沿翻折得到，点B的对应点F恰好落在线段上，线段的延长线交于点G，，则的值为___________________． 17. 如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______. 18. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______． 三、解答题 （本大题共7题，共78分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 解方程组 21. 已知：如图在中，是边上高，为边的中点，，，．求： （1）线段的长； （2）的值． 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 23. 如图，的边是的直径，点在上，点是边上的一点，点和点关于对称，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点，线段交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）联结，当时，求证：． 24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D． （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长． 25. 数学家庞斯莱发明过一种玩具（如图1），这种玩具用七根小棍做成，各结点均可活动，，，且．使用时，将A，O钉牢在平板上，使A，O间的距离等于木棍的长，绕点O转动点C，则点C在上运动，点E在直线上运动，．图2是该玩具转动过程中的一幅示意图． （1）判断点A，C，E在同一条直线上吗？请说明理由． （2）当点O，C，F在同一条直线上时． ①求证：CD//AB． ②若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$