精品解析：辽宁省辽阳市第一中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

八年级上学期初学情调研数学试卷 全卷满分为120分，时间为90分钟 一、选择题（共10个小题，每小题3分） 1. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 3. 已知三角形的两边长分别是10和4，第三边恰好是6的整数倍，那么第三边的长是（ ） A. 6 B. 6或12 C. 12 D. 6或12或18 4. 下列说法中正确的有（ ） ①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角叫做对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两点之间的距离是两点之间的线段；⑥全等三角形的周长相等、面积相等；⑦所有的等边三角形都全等；⑧两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相平行．其中正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 若等腰三角形的腰上的高与另一腰上的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数为　　 A. B. C. 或 D. 或 6. 下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（　　） A. 交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率 B. 掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率 C. 小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率 D. 小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率 7. 已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是( ) A. 22cm和16cm B. 16cm和22cm C. 20cm和16cm D. 24cm和12cm 8. 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，有图中α，β，γ三角之间关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交边于点D．①．；②．若，则点D到的距离为2；③．若，则；④．正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5个小题，每小题3分） 11. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖，石墨烯的理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______． 12. 在一个不透明口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球______个． 13. 若是一个完全平方式，则k等于__________． 14. 甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲先到达B地后原地休息，甲、乙两人的距离y（km）与乙步行的时间x（h）之间的函数关系的图象如图，则a＝________ 15. 如图，，点P为内一点，.点M、N分别在上，则周长最小值为________. 三、解答题（16题8分，每小题4分，17题5分） 16. （1）计算；（利用乘法公式） （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题（18题8分，19题8分．20题7分，21题10分，22题10分，23题9分，24题10分） 18. 如图，与均为等边三角形，点D在上，连接．求证：． 19. 同学们知道，完全平方公式是：，，由此公式我们可以得出下列结论： ，（1） ．（2） 利用公式（1）和（2）解决下列问题： 已知m满足． （1）求的值； （2）求值． 20. 如图，直线，C、E分别在、上，小华想知道和是否互补，但是他有没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连接，再找出的中点O，然后连接并延长和直线相交于点B，经过测量，他发现，因此他得出结论：和互补，而且他还发现．以下是他的想法，请你填上根据．小华是这样想的： ∵O是的中点（已知）， ∴（ ） 又∵（已知）， （ ） ∴（ ） ∴（ ） （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 21. 如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，OA与BC分别表示它们与甲地距离s（千米）与时间t（小时）的关系，则： （1）摩托车每小时走　 　千米，自行车每小时走　 　千米； （2）自行车出发后多少小时，它们相遇？ （3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？ 22. （1）你能求出（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以思考一下，从简单的情况入手，分别计算下列各式的值： （a﹣1）（a+1）=　 　； （a﹣1）（a2+a+1）=　 　； （a﹣1）（a3+a2+a+1）=　 　； … 由此我们可以得到：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=　 　． （2）利用（1）结论，完成下面的计算： ①2199+2198+2197+…+22+2+1； ②（﹣2）49+（﹣2）48+（﹣2）47+…+（﹣2）2+（﹣2）+1． 23. 已知：如图1，在中，和的平分线相交于点P． （1）若，求的度数； （2）设（n为已知数），则的度数______； （3）如图2，在中，的三等分线与的角平分线分别交于点D、E，若，，则______°； （4）如图3，在中，和的三等分线交于点E、D，若，，则_______°． 24. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期初学情调研数学试卷 全卷满分为120分，时间为90分钟 一、选择题（共10个小题，每小题3分） 1. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、幂的乘方以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 【详解】A、a3+2a，无法计算，故此选项错误； B、a4÷a=a3，正确； C、a2•a3=a5，故此选项错误； D、（-a2）3=-a6，故此选项错误； 故选B. 【点睛】此题主要考查了合并同类项、幂的乘方以及同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知三角形的两边长分别是10和4，第三边恰好是6的整数倍，那么第三边的长是（ ） A. 6 B. 6或12 C. 12 D. 6或12或18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查知识点是三角形三边关系，记住三边关系式解题关键．根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得第三边的范围，再找出是6倍数的数即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为10和4， ∴第三边长， ∵第三边恰好是6的整数倍， ∴第三边长是12， 故选C． 4. 下列说法中正确的有（ ） ①两点之间所有连线中，线段最短；②相等的角叫做对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两点之间的距离是两点之间的线段；⑥全等三角形的周长相等、面积相等；⑦所有的等边三角形都全等；⑧两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相平行．其中正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的性质，两点之间的距离，对顶角，平行线，垂直的含义，全等三角形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质逐一分析即可． 【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短；正确， ②相等的角不一定是对顶角；原说法错误， ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；原说法错误， ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；原说法错误， ⑤两点之间的距离是两点之间的线段的长度；原说法错误， ⑥全等三角形的周长相等、面积相等；正确， ⑦所有的等边三角形不一定全等；原说法错误， ⑧两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．原说法错误， 故选A． 【点睛】本题主要考查平行线，两点间的距离，相交线，对顶角，全等三角形的性质，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 5. 若等腰三角形的腰上的高与另一腰上的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数为　　 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ，， ， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ，， ， ， ， ∴三角形的顶角为， 故选C． 6. 下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（　　） A. 交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率 B. 掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率 C. 小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率 D. 小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率 【答案】D 【解析】 【分析】A：交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同，所以它们发生的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可． B：因为图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，所以掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可． C：因为“直角三角形”三边的长度不相同，所以小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可． D：小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的相同，属于“等可能性事件”，据此判断即可． 【详解】∵交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同， ∴它们发生的概率不相同， ∴它不属于“等可能性事件”， ∴选项A不正确； ∵图钉上下不一样， ∴钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同， ∴它不属于“等可能性事件”， ∴选项B不正确； ∵“直角三角形”三边长度不相同， ∴小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率不相同， ∴它不属于“等可能性事件”， ∴选项C不正确； ∵小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，A、B、C被选中的相同， ∴它属于“等可能性事件”， ∴选项D正确． 故选D． 【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是知道“等可能性事件”. 7. 已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是( ) A. 22cm和16cm B. 16cm和22cm C. 20cm和16cm D. 24cm和12cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件作出图像，连接BD，根据垂直平分线的性质可得BD=AD，可知两三角形的周长差为AB，结合条件可求出腰长，再由周长可求出BC，即可得出答案． 【详解】如图，连接BD， ∵D在线段AB的垂直平分线上， ∴BD=AD， ∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm， 且AB+AC+BC=60cm， ∴AB=60-38=22cm， ∴AC=22cm， ∴BC=38-AC=38-22=16cm， 即等腰三角形腰为22cm，底为16cm． 故选A． 【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线再来解答． 8. 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义即可求解． 【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高， 故选：D． 【点晴】此题主要考查高作法，解题的关键是熟知高的定义． 9. 如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．延长交直线于F，利用平行线的性质，求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交边于点D．①．；②．若，则点D到的距离为2；③．若，则；④．正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】如图作于E．再根据角平分线的性质定理，三角形的内角和定理与外角的性质，含的直角三角形的性质即可一一判断； 【详解】解：如图作于E． 由作图可知，平分， ∴，故①正确， ∵，， ∴， ∴点D到的距离为2，故②正确， ∵，则， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵，，， 当时，，此时， 已知条件不能推出，故④错误， 故选C． 【点睛】本题考查作图——基本作图，角平分线的性质定理，含的直角三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识； 二、填空题（共5个小题，每小题3分） 11. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖，石墨烯的理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，熟练掌握科学记数法是解题关键．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球______个． 【答案】16 【解析】 【详解】解：设红球有x个，根据题意得， x=4÷0.2-4=16 解得x=16， 故答案为：16． 13. 若是一个完全平方式，则k等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可得． 【详解】是一个完全平方式 则 即 由此可得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式是解题关键． 14. 甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲先到达B地后原地休息，甲、乙两人的距离y（km）与乙步行的时间x（h）之间的函数关系的图象如图，则a＝________ 【答案】5.25 【解析】 【分析】由图象得A. B两地相距21千米，3小时后两人相遇，求得甲的速度，乙的速度，甲所用的时间可得答案. 【详解】解：由图象得A. B两地相距21千米，3小时后两人相遇， 甲的速度km/h，乙的速度为km/h， 甲所用的时间h，所以a=5.25. 故答案为：5.25. 15. 如图，，点P为内一点，.点M、N分别在上，则周长的最小值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解． 【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N．连接OP，则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形． △PMN的周长＝P1P2，∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出辅助线，证明△OP1P2是等边三角形是关键． 三、解答题（16题8分，每小题4分，17题5分） 16. （1）计算；（利用乘法公式） （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是化简绝对值，零次幂，负整数指数幂，平方差公式的应用，掌握相应的运算法则是解本题的关键． （1）把原式化为，再结合平方差公式计算即可； （2）先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，涉及知识有：完全平方公式、多项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键． 将中括号中的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘以多项式的法则计算，去括号合并后，再利用多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果，将x和y的值代入化简后的式子，即可得到原式的值． 【详解】解： ， 当时，原式． 四、解答题（18题8分，19题8分．20题7分，21题10分，22题10分，23题9分，24题10分） 18. 如图，与均为等边三角形，点D在上，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是根据等边三角形的性质得出边相等，利用边角边证明全等即可，解题关键在于熟练掌握证明全等三角形的条件并会运用．根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】证明： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 19. 同学们知道，完全平方公式是：，，由此公式我们可以得出下列结论： ，（1） ．（2） 利用公式（1）和（2）解决下列问题： 已知m满足． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解本题的关键； （1）设，，由可得答案； （2）设，，可得，再进一步求解可得答案． 【小问1详解】 解：设，，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵设，， ∴， ∵，， ∴ ； ∴； 20. 如图，直线，C、E分别在、上，小华想知道和是否互补，但是他有没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连接，再找出的中点O，然后连接并延长和直线相交于点B，经过测量，他发现，因此他得出结论：和互补，而且他还发现．以下是他的想法，请你填上根据．小华是这样想的： ∵O是的中点（已知）， ∴（ ） 又∵（已知）， （ ） ∴（ ） ∴（ ） （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 【答案】中点的性质，对顶角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．根据题干信息的提示，结合全等三角形的判定方法与性质，平行线的判定与性质逐一完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：∵O是的中点（已知）， ∴（中点的性质） 又∵（已知）， （对顶角相等） ∴（） ∴（全等三角形的对应边相等） （全等三角形的对应角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 21. 如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，OA与BC分别表示它们与甲地距离s（千米）与时间t（小时）的关系，则： （1）摩托车每小时走　 　千米，自行车每小时走　 　千米； （2）自行车出发后多少小时，它们相遇？ （3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？ 【答案】（1）40，10；（2）4小时；（3）摩托车出发后或或4小时，他们相距10千米 【解析】 【分析】（1）根据图像可得BC为摩托车的图像可得时间和路程，就可以得到摩托车的速度；OA为自行车图像，由图像可得时间和路程，就可以得到自行车的速度； （2）由图像可知自行车先出发3小时，由相遇时两车路程相等可列方程． （3）由相遇前自行车在摩托车前，可用自行车路程－摩托车路程=10；相遇后摩托车在自行车前，可用摩托车路程－自行车路程=10；最后摩托车达到终点不再行驶，则自行车距离终点10千米也为题中所求． 【详解】（1）摩托车每小时走：80÷（5﹣3）＝40（千米）， 自行车每小时走：80÷8＝10（千米）． 故答案40，10； （2）设自行车出发后x小时，它们相遇， 10x＝40（x﹣3） 解得x＝4． （3）设摩托车出发后t小时，他们相距10千米； ①相遇前：10（t+3）﹣40t＝10， 解得t＝； ②相遇后：40t﹣10（t+3）＝10， 解得：t＝， ③摩托车到达终点10（t+3）＝70，解得t＝4 答：摩托车出发后或或4小时，他们相距10千米． 【点睛】本题考查一次函数与路程实际问题相结合，一定要先分析两个函数图像分别表示的是哪辆车，再进行计算． 22. （1）你能求出（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以思考一下，从简单的情况入手，分别计算下列各式的值： （a﹣1）（a+1）=　 　； （a﹣1）（a2+a+1）=　 　； （a﹣1）（a3+a2+a+1）=　 　； … 由此我们可以得到：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=　 　． （2）利用（1）的结论，完成下面的计算： ①2199+2198+2197+…+22+2+1； ②（﹣2）49+（﹣2）48+（﹣2）47+…+（﹣2）2+（﹣2）+1． 【答案】（1）a2﹣1；a3﹣1； a4﹣1； a100﹣1；（2）①2200﹣1；②﹣（250﹣1）． 【解析】 【分析】（1）已知等式利用平方差公式，多项式乘以多项式法则计算，以此类推得到一般性规律，即可求出所求式子的值； （2）利用（1）中计算将原式变形，计算即可得到结果． 【详解】（1）（a﹣1）（a+1）=a2﹣1； （a﹣1）（a2+a+1）=a3﹣1； （a﹣1）（a3+a2+a+1）=a4﹣1； … 由此我们可以得到：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=a100﹣1； 故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1； （2）①2199+2198+2197+…+22+2+1 =（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1） =2200﹣1； ②（﹣2）49+（﹣2）48+（﹣2）47+…+（﹣2）2+（﹣2）+1 =﹣×（﹣2﹣1）[（﹣2）49+（﹣2）48+（﹣2）47+…+（﹣2）2+（﹣2）+1] =﹣ [（﹣2）50﹣1] =﹣（250﹣1）． 【点评】本题考查了平方差公式以及多项式乘多项式的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键． 23. 已知：如图1，在中，和的平分线相交于点P． （1）若，求的度数； （2）设（n为已知数），则的度数______； （3）如图2，在中，的三等分线与的角平分线分别交于点D、E，若，，则______°； （4）如图3，在中，和的三等分线交于点E、D，若，，则_______°． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是与角平分线，三等分线有关的内角和定理； （1）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理得，，则，整理得到，然后把代入计算即可； （2）把代入（1）中的结论即可； （3）由条件可得，，可得，再代入数据进一步可得答案； （4）由条件可得，，可得，再代入数据进一步可得答案； 【小问1详解】 解：如图， ∵和的平分线相交于点P． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ 当时，； 【小问2详解】 解：由（1）得：当时，； 【小问3详解】 解：∵的三等分线与的角平分线分别交于点D、E， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵和的三等分线交于点E、D， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 24. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1），理由见解析；（2）结论：仍然成立，理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是海里． 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2） 延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证． 主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键． 【详解】解：（1）理由如下： 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵； 故答案为：； （2） 结论：仍然成立，理由如下： 延长到点G，使，连结，如图， 在和中， ， ， 在和 中， ， ； （3）如图， 连接，延长相交于点C， ，， 又∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论：成立， 即海里． ∴此时两舰艇之间的距离是海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $