精品解析：2024年江苏南京中考数学仿真模拟试题（一）

备战2024届江苏南京中考数学仿真模拟练习卷（一） 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 把“3.16亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校用标准视力表检查全校学生视力，并将全校学生的视力情况会制成如下的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在三边长分别为a，b，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7. 计算结果是__________. 8. 分解因式的结果是__________． 9. 计算的结果是 __． 10. 不等式的最大整数解是______． 11. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______． 12. 已知一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面积是______．（结果保留） 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．则的值是_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数，的图像分别经过点，，则的值为__________． 15. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 16. 邻边长分别为2，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作），再把剩下的平行四边形如此操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值______． 三．解答题（共11小题，满分88分） 17. 求不等式组的解集，并写出它的自然数解． 18. 先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 19. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 20. 某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 运动项目 频数(人数) 羽毛球 30 篮球 乒乓球 36 排球 足球 12 请根据以上图表信息解答下列问题： (1)频数分布表中的 ， ； (2)在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为 度； (3)全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？ 21. 一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分． 甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是____________． 22. 如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； （1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 23. 如图（1）所示，大正方形是由四个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形EFGH拼成，设直角三角形较长的直角边（如：）为a，较短直角边（如：）为b． （1）用含a，b的代数式表示大正方形的面积S； （2）图2是由图1变化得到，它是由八个大小、形状都一样直角三角形和小正方形拼接而成．记图2中正方形、正方形的面积分别为、若，，求直角三角形与正方形的面积． 24. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 25. 已知：抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为．点在图象上，且． ①求的取值范围； ②若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 ． 26. 我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点． （1）如图1，当，的长为时，求的长． （2）如图2，当，时，求值． （3）如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 27. 【初识模型】 （1）如图①，在中，D是上一点，，，连接． 求证：（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【再研模型】 （2）如图②，在中，D是上一点，．求证：． 【应用模型】 （3）如图③，直线与交于点O，，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两处沿，方向同时匀速行驶，快车速度是慢车速度的2倍，在行驶过程中两车与某一定点P所组成的三角形的形状始终不变．当两车距离为700m时，求慢车到定点P的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2024届江苏南京中考数学仿真模拟练习卷（一） 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 把“3.16亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中3.16亿=316 000 000，有9位整数，n=9-1=8． 【详解】解：3.16亿=316 000 000=3.16×108． 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．熟练确定科学记数法的表示形式a×10n中 a的值以及n的值，是解决此类问题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是同底数幂的乘除法运算，幂的乘方的运算，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：．，符合题意； ．，不合题意； ．，不合题意； ．，不合题意； 故选：． 3. 某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如下的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可求解． 【详解】解：的情况占，故中位数可能是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 4. 在三边长分别为a，b，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，结合勾股定理进行判断即可． 【详解】解：∵a、b、c分别为直角三角形的三条边，且， ∴c为斜边，a、b为直角边， ∴，且，故AD成立，不符合题意； ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，故B成立，不符合题意； ∵，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴，故C不成立，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，如果a、b为一个直角三角形的两条直角边，c为斜边，那么． 5. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题． 【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； 综上所述：正确的个数为4个； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 6. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①设等边三角形的边长为a，代入检验即可；②在中，由勾股定理可得，因为是奇异三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；③要证明△ACE是奇异三角形，只需证即可；④由③可得ΔACE是奇异三角形，所以，当ΔACE是直角三角形时，由②可得或，然后分两种情况讨论． 【详解】解：设等边三角形的边长为a， 则，满足奇异三角形的定义， 等边三角形一定是奇异三角形， 故①正确； 在中，， ∵， ∴，， 若是奇异三角形，一定有， ∴， ∴，得． ∵， ∴， ∴， 故②错误； 在中，， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在中，； 在中，． ∵D是半圆的中点， ∴， ∴AD=BD， ∴， 又∵，， ∴． ∴ΔACE是奇异三角形， 故③正确； 由③可得ΔACE是奇异三角形， ∴． 当ΔACE是直角三角形时， 由②可得或， （Ⅰ）当时， ，即， ∵， ∴， ∴． （Ⅱ）当时， ，即， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠ABC=120°， ∴∠AOC的度数为60°或120°， 故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了：1．命题；2．勾股定理；3．圆周角定理及推论；4．直角三角形的性质．能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7. 计算的结果是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法、绝对值，先计算有理数的减法，再根据绝对值的性质即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 分解因式的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，合并同类项化简后，再用公式法进行因式分解即可得解． 【详解】先去括号，合并同类项化简，得： ， 利用平方差公式进行因式分解，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式去括号、合并同类项化简以及采用平方差公式进行因式分解知识，熟练掌握上述考点知识是解答本题的基础． 9. 计算的结果是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 不等式的最大整数解是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．移项合并同类项，再把系数化为1，可得，即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解是3． 故答案为：3 11. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，直接求解即可． 【详解】由题可知：，解得． 故答案为：9 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有两个相等的实数根时，；有两个不相等的实数根时，；无实数根时，． 12. 已知一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得，这个圆锥的侧面积是， 故答案为：． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形是解题的关键． 延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形，，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 详解】解：延长至格点，连接，如图， 由题意得： ，，， ， ， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数，的图像分别经过点，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，易证△OCB∽△ADO，利用相似三角形的性质可得面积比，从而可求出k的值． 【详解】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C， ∵，的图像分别经过点，， ∴ ∵ ∴△OCB∽△ADO ∴ ∴ ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数问题、相似三角形的判定与性质，构造K型相似是解决本题的关键． 15. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 【答案】105 【解析】 【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ 连接，，如图， 则等边三角形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形，， ∴ ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 16. 邻边长分别为2，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作），再把剩下的平行四边形如此操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值______． 【答案】或8或或5 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的四条边都相等．根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，经历三次折叠后， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴ ∵四边形菱形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，即， 解得： ； ②如图，经历三次折叠后， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵四边形，， ∴ ∴ 解得：； ③如图，经历三次折叠后， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵四边形都为菱形， ∴， ∴， 解得： ④如图，经历三次折叠后， ∵四边形都为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上：a的值为或5或． 故答案为：或8或或5． 三．解答题（共11小题，满分88分） 17. 求不等式组的解集，并写出它的自然数解． 【答案】，自然数解为0，1 【解析】 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集，再写出它的自然数解． 【详解】解： 由①式得， 由②式得， 不等式组的解集为． 它的自然数解为0，1 18. 先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式的运算法则及有意义的条件．先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：． ， ∵且， ∴且， ∴， ∴原式． 19. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 20. 某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 运动项目 频数(人数) 羽毛球 30 篮球 乒乓球 36 排球 足球 12 请根据以上图表信息解答下列问题： (1)频数分布表中的 ， ； (2)在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为 度； (3)全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？ 【答案】(1)24，18；(2) 54；（3）360. 【解析】 【分析】（1）根据选择乒乓球运动的人数是36人，对应的百分比是30%，即可求得总人数，然后利用百分比的定义求得a，用总人数减去其它组的人数求得b； （2）利用360°乘以对应的百分比即可求得； （3）求得全校总人数，然后利用总人数乘以对应的百分比求解． 【详解】（1）抽取的人数是36÷30%＝120（人）， 则a＝120×20%＝24， b＝120﹣30﹣24﹣36﹣12＝18． 故答案是：24，18； （2）“排球”所在的扇形的圆心角为360°×＝54°， 故答案是：54； （3）全校总人数是120÷10%＝1200（人）， 则选择参加乒乓球运动的人数是1200×30%＝360（人）． 21. 一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分． 甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列表共有12种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可； （2）先列表，再求甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的等可能结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 根据题意，列表得： 红1 红2 白 黄 红1 （红2，红1） （白，红1） （黄，红1） 红2 （红1，红2） （白，红2） （黄，红2） 白 （红1，白） （红2，白） （黄，白） 黄 （红1，黄） （红2，黄） （白，黄） 摸球的结果共有12种等可能结果，其中两次均摸到红球的有2种结果， ∴P（两次均摸到红球）=． 【小问2详解】 根据题意，列表得： 红1 红2 白 黄 红1 （红1，红1） （红2，红1） （白，红1） （黄，红1） 红2 （红1，红2） （红2，红2） （白，红2） （黄，红2） 白 （红1，白） （红2，白） （白，白） （黄，白） 黄 （红1，黄） （红2，黄） （白，黄） （黄，黄） 摸球的结果共有16种等可能结果， 由题意可知：摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分． ∴甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的有：（红1，红1）、（红2，红1）、（红1，红2）、（红2，红2）、（红1，黄）（红2，黄）、（黄，红1）、（黄，红2）共8种等可能结果， ∴P（甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分）=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 22. 如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； （1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质即可在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点， 作角平分线交于点，过点作的垂线交于点即可． 【小问1详解】 解：如图1所示：点即为所求作的点； 【小问2详解】 如图2所示：点即为所求作的点． 作图如下： 延长至， 作的平分线， 得过点的垂线， 延长交于点， 作的角平分线交于点， 过点作的垂线交于点． 23. 如图（1）所示，大正方形是由四个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形EFGH拼成，设直角三角形较长的直角边（如：）为a，较短直角边（如：）为b． （1）用含a，b的代数式表示大正方形的面积S； （2）图2是由图1变化得到，它是由八个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形拼接而成．记图2中正方形、正方形的面积分别为、若，，求直角三角形与正方形的面积． 【答案】（1） （2）直角三角形与正方形的面积分别为1，5． 【解析】 【分析】（1）先计算出直角三角形的面积，再计算出小正方形的面积，通过大正方形等于八个直角三角形和一个小正方形相加即可得到答案； （2）设直角三角形的面积为，得到，，通过两式相加和相减，再结合，可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得直角三角形的面积为，， ， ∴． 【小问2详解】 解：设直角三角形的面积为，则 ，， 两式相加可得 ∴， 两式相减得， ∴， ∴． 故直角三角形与正方形的面积分别为1，5． 【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是找到直角三角形与大、中、小正方形的面积关系列出代数式． 24. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【解析】 【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 已知：抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为．点在图象上，且． ①求的取值范围； ②若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】（1）； （2）① ≤≤0或≤≤；②≥4或≤． 【解析】 【分析】（1）将代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为； （2）①图象的解析式分为两部分，当或时，，此时与轴的两个交点为，；当时，根据对称性求出解析式为，即，此时与轴的两个交点为，．所以当点在图象上，且时，可得的取值范围是或； ②先根据求出自变量的取值范围是或，又由①知或，根据不等式的性质即可得出或． 【小问1详解】 解： 抛物线过点， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ①， 当时，，解得或2， 与轴交于点，． 当时，，解得， ， 顶点为，，它关于直线对称点的坐标为，， 当或时，图象的解析式不变，仍然为； 当时，图象的解析式为，即， 当时，，解得或1， 如果点在图象上，且时，或； ②由图象可知，时，， ， ， 解得或． 或， 又或， 或． 故答案为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，对称轴与坐标轴平行时二次函数解析式的特点，不等式的性质，难度适中．运用数形结合是解题的关键． 26. 我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点． （1）如图1，当，的长为时，求的长． （2）如图2，当，时，求的值． （3）如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出的长． （2）根据等弧所对圆周角相等推出，再根据角平分线的性质定理推出，利用直角三角形的性质即可求出，通过等量转化和余弦值可求出答案． （3）根据三角形相似的性质证明和，从而推出和，利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案 【小问1详解】 解：如图1，连接，设的度数为． ，的长为， ． ，即． ． 直线是的切线， ． ∴． 【小问2详解】 解：如图2，连接，过点作于点， 为直径， ． ． ， ． ，， ． ，， ． ． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图3，连接BQ， ，， ，， ， ， ． ， ， ．① ，， ， ．② ， 得，． ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 27. 【初识模型】 （1）如图①，在中，D是上一点，，，连接． 求证：（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【再研模型】 （2）如图②，在中，D是上一点，．求证：． 【应用模型】 （3）如图③，直线与交于点O，，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两处沿，方向同时匀速行驶，快车速度是慢车速度的2倍，在行驶过程中两车与某一定点P所组成的三角形的形状始终不变．当两车距离为700m时，求慢车到定点P的距离． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）m 【解析】 【分析】（1）（Ⅰ）可证，即可得证；（Ⅱ）可证，从而可证，即可得证； （2）可证，从而可证，可证，可得，由可证，从而可证，即可求证； （3）作的外接圆，在圆上取点P，且使，连接，，若快车行驶到，慢车行驶到，，连接，，，可证2，，过点作，交的延长线于点G，设，则，（），由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明： （Ⅰ），， ， ； （Ⅱ）， ， ， 即， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， 即， 又， ， ， 即：， ， 即：， 又， ， ； （3）解：作的外接圆，在圆上取点P，且使，连接，， 若快车行驶到，慢车行驶到，，连接，，， 由（2）可知， ， 2， ， 过点作，交的延长线于点G， 由题意可知，， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 设，则， （）， 在中： ， ， 解得：， （）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，圆的性质，勾股定理等，能根据题意构建直角三角形，作出辅助圆，用圆的性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$