精品解析：河南省郑州市郑东新区外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年上学期九年级第一次数学练习 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 菱形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 2. 下列判断错误的是（　　） A. 四条边都相等的四边形是菱形 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 3. 用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（ ） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有． ④量出两条对角线长，看是否相等． A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①② 4. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（ ） A. 先增大，后减小 B. 逐渐减小 C. 逐渐增大 D. 不变 7. 如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，对角线，，于点，且与交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图，在菱形中，，点P是菱形内或边上的一点，且，连接，则面积的最小值为(    ) A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分） 11. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形． 12. 菱形的对角线，则的长为______． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则BE＝___． 14. 如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于______． 15. 如图，在梯形中 ，点E、F分别在线段上，将沿翻折，点A的落点记为P，当点P落线段上时，的最大值为___，最小值为___． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 17. 学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 （1）小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ （2）爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 19. 如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 20. 如图，有两个全等矩形纸条，长与宽分别是18和12，按如图所示的方式交叉叠放在一起，重合部分构成四边形． （1）求证：四边形是菱形； （2）求四边形的面积． 21. 如图所示，在中，分别以为边在的同侧作等边，等边、等边． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当满足　　　条件时，四边形是矩形； ②当满足　　　条件时，四边形是菱形； ③当满足　　　条件时，四边形是正方形； ④当满足　　　条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在． 22. 阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． （1）请你按材料中的分析写出证明过程； （2）上述证明方法中主要体现的数学思想是　　　； A．转化思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想 （3）如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，则　　　． 23. 感知： 如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，易证：．（不需要证明） 探究： 如图②，在正方形中，，分别为边，上的点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用： 应用：如图③，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为　　　，的周长为　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级第一次数学练习 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 菱形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 【详解】菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 故选：D 2. 下列判断错误的是（　　） A. 四条边都相等的四边形是菱形 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，角平分线的性质等知识．熟练掌握菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，角平分线的性质是解题的关键． 根据菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，角平分线的性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A中四条边都相等的四边形是菱形，正确，故不符合要求； B中角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，故不符合要求； C中对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故不符合要求； D中一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，故符合要求； 故选：D． 3. 用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（ ） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有． ④量出两条对角线长，看是否相等． A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查矩形的判定，常见的判定方法有：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、对角线相等的平行四边形是矩形；3、有三个角是直角的四边形是矩形． 因为刻度尺只能测量线段的长度，所以可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 【详解】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定是否是矩形，故此选项正确； ②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确； ③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误； ④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误； 综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②． 故选：D． 4. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形是菱形，然后根据正方形的判定即可得． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵与不一定垂直， ∴与也不一定垂直， ∴四边形一定是菱形，不一定是正方形， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4， 即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 6. 如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（ ） A. 先增大，后减小 B. 逐渐减小 C. 逐渐增大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 7. 如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得是等腰三角形，由三角形内角和定理，则可求得的度数；由即可求解． 【详解】解：正方形中，； 为等边三角形， ， ，， ； ； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握这三种性质是关键． 8. 如图，四边形是菱形，对角线，，于点，且与交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高． 【详解】∵四边形是菱形， ，，， ， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 如图，作于，于，则四边形是矩形，证明四边形是正方形，则，，证明，则，可判断①的正误；证明，可判断②的正误；由，可得，可判断③的正误；由题意知，当时，，此时，可判断④的正误． 【详解】解：如图，作于，于，则四边形是矩形， ∵正方形， ∴， ∴，即， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∴四边形是正方形，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴，②正确，故符合要求； ∴， ∴，即，③正确，故符合要求； 由题意知，当时，，此时，④不一定成立，故不符合要求； 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，点P是菱形内或边上的一点，且，连接，则面积的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，求得，当面积的最小时，到的距离最小，即到的距离最大，当是等腰直角三角形时，即到的距离最大，推出点边上，且，过作于，于，于是得到距离． 【详解】解：过点C作过点P作，如图所示： 在菱形中， ， ， ， ， ， 当面积的最小时，到的距离最小，即到的距离最大， 当是等腰直角三角形时，即到的距离最大， ， 点在边上，且， 过作于，于， ，， 到的距离， 面积的最小值为， 故选：A． 二．填空题（共5小题，每小题3分） 11. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形． 【答案】AB=AD. 【解析】 【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定． 【详解】添加AB=AD， ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为AB=AD． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 12. 菱形的对角线，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，，再由菱形的面积求出，则，然后由勾股定理求出的长即可．本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理，由菱形的面积求出的长是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则BE＝___． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，作辅助线AF⊥ED，然后根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到BE＝FE，AB＝AF，AD＝DE，再根据矩形的性质，可以得到AD的长，然后根据勾股定理可以得到DF的长，从而可以得到FE的长，即BE的长． 【详解】解：如图，作AF⊥ED于点F， ∵四边形ABCD是矩形，BC＝5， ∴∠B＝90°，AD＝BC＝5，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵EA平分∠BED，BE⊥AB，EF⊥AF， ∴∠AEB＝∠AEF，BA＝FA=3， ∴∠AEF＝∠DAE， ∴AD＝DE＝5， 在△ABE和△AFE中， ， ∴△ABE≌△AFE（HL）， ∴BE＝EF， ∵AF⊥FD， ∴DF， ∴FE＝DE﹣DF＝5﹣4＝1， ∴BE＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 14. 如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可求出答案．本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：，， 是的中线，， 是的中点， 是的中位线， 设， ， ，点是的中点，点是的中点， ，， 的周长为8， ， ， ， 由勾股定理可知：， 故答案为： 15. 如图，在梯形中 ，点E、F分别在线段上，将沿翻折，点A的落点记为P，当点P落线段上时，的最大值为___，最小值为___． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠性质，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再设，得出，结合，代入化简，再算出对应的（舍去），得出最小值，当与重合时，E在的中点时，此时有最大值，即可作答． 【详解】解：如图：过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵点E、F分别在线段上，将沿翻折，点A的落点记为P，当点P落线段上时， 设 ∴ ∴ ∵ ∴ 即 令 ∴令 则 ∴ ∴（舍去） ∵ ∴最小能取到 当与重合时，E在的中点时 此时与重合 则 故答案为：4， 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意作出菱形，根据菱形的性质，对角线互相垂直，即可根据菱形面积等于两个三角形的面积和，即可得证． 【详解】如图，四边形是菱形， ， ， 菱形的面积为， 即菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 【点睛】本题考查了菱形的性质，根据对角线互相垂直证明是解题的关键． 17. 学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 （1）小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ （2）爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量取3个相等的小段，记，在边上量取4个相等的小段，记，这时只要量一下是否等于即可． 【小问1详解】 解：垂直，理由为： 在中，因为厘米，厘米，厘米， 所以厘米， ， 所以， 所以四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在边上量取3个相等的小段，记， 在边上量取4个相等的小段，记，， 这时只要量一下是否等于5个相等的小段，即，即可判断四边形是矩形． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示菱形即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 19. 如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质、平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，得到，再利用得到，则四边形是平行四边形．再利用得到，即可证明四边形是矩形． （2）证明，，，利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 在中，； 20. 如图，有两个全等矩形纸条，长与宽分别是18和12，按如图所示的方式交叉叠放在一起，重合部分构成四边形． （1）求证：四边形是菱形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）156 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由矩形和矩形是全等矩形，可得，，，，即可证明四边形是平行四边形，证明，可得，由此证明四边形是菱形； （2）设菱形的边长为，则，，，利用勾股定理可得，求得，利用四边形的面积为：，即可求解． 【小问1详解】 证明： 矩形和矩形是全等矩形， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：设菱形的边长为， 则，，， 在中，利用勾股定理得，即， 解得， 四边形的面积为：． 21. 如图所示，在中，分别以为边在的同侧作等边，等边、等边． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当满足　　　条件时，四边形是矩形； ②当满足　　　条件时，四边形是菱形； ③当满足　　　条件时，四边形是正方形； ④当满足　　　条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质证，，就有，从而得证四边形是平行四边形； （2）①当，，所以平行四边形是矩形；②当时，可证明，结合①即可证明结论；③当且时结合①②可证明结论；④当，点D、A、E共线，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在． 【小问1详解】 证明：和都是等边三角形， ， ， ， 又是等边三角形， ． 同理可证 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：①当时，四边形是矩形， 证明如下：∵、是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ②当时，四边形是菱形： 证明如下：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ③当且时，四边形是正方形， 证明如下：当时，同理可证明四边形是矩形， 当时，同理可证明， ∴四边形是正方形； ④当时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；证明如下： ∵，， ∴点D、A、E共线， ∴以D、A、E、F为顶点的四边形不存在． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键． 22. 阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． （1）请你按材料中的分析写出证明过程； （2）上述证明方法中主要体现的数学思想是　　　； A．转化思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想 （3）如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，则　　　． 【答案】（1）见解析 （2）A （3） 【解析】 【分析】（1）延长到，使得，连接、，证四边形是平行四边形，再由，得平行四边形是矩形，则，进而得出结论； （2）由（1）的证明方法即可得出结论； （3）连接并延长到点，使，连接，，连接并延长到点，使，连接，，延长交于点，连接， 则四边形，四边形，四边形都为矩形，得，，再由勾股定理得，然后证是的中位线，即可求解． 【小问1详解】 证明：如解图①，延长到点，使得 连接，， 图① 是斜边上的中线， ， 又， 四边形是平行四边形， 又 平行四边形是矩形， ， ， ； 【小问2详解】 由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想， 故答案为：A 【小问3详解】 解：如解图②，连接并延长到点，使，连接，，连接并延长到点，使，连接，，延长交于点，连接， 则四边形，四边形，四边形都为矩形， 四边形，四边形均为矩形， 在 中，由勾股定理得： 点，分别是，的中点，四边形，四边形都是矩形， 点，分别是，的中点， 是的中位线， 的长为。 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理以及转化思想等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明为的中位线是解题的关键． 23. 感知： 如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，易证：．（不需要证明） 探究： 如图②，在正方形中，，分别为边，上的点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用： 应用：如图③，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为　　　，的周长为　　　． 【答案】感知：见详解探究：；应用：， 【解析】 【分析】感知：由正方形的性质得出，，证得，由证得，即可得出结论； 探究：分别过点、作，，分别交、于点、，由正方形的性质得出，，，推出四边形是平行四边形，，，证出，同理，四边形是平行四边形，，，证得，由证得，得出，推出，由为中点，得出，则，由勾股定理得出，即可得出结果； 应用：，由阴影部分的面积与正方形的面积之比为，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，由证得，得出，，则，，则，，设，，则，，由勾股定理得出，，即，得出，即可得出结果． 【详解】感知： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 探究： 解：分别过点、作，，分别交、于点、，如图②所示： 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 同理，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ； 应用： 解：， ， 阴影部分的面积与正方形的面积之比为， 阴影部分的面积为：， 空白部分的面积为：， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， 则， ， ， ， 即， ，即， 的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $