山东省烟台市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023~2024学年度第二学期期末学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知事件A与事件B互为对立事件，且，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 2．给定一组数据：10，12，15，16，18，20，21，则其75%分位数为（ ） A．17 B．18 C．19 D．20 3．某公司A，B，C三个部门的员工数量之比为a：3：4，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从B部门抽取员工6名，则从A部门抽取员工的数量为（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．在正方体中，直线AC与所成角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球、3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（ ） A． B． C． D． 6．若a，b是异面直线，则下列结论一定正确的是（ ） A．存在与a，b都平行的直线 B．存在与a，b都垂直的平面 C．存在过a且与b垂直的平面 D．存在过a且与b平行的平面 7．如图，是用斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中．以BC为轴，将旋转一周得到的几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体骰子，观察并记录骰子朝上面的点数．若甲表示事件“第一次的点数大于4”，乙表示事件“两次点数之和为7”，丙表示事件“至少有一次的点数为4”，则（ ） A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．乙与丙独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的有（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 10．已知一组样本数据，，，，满足，则去掉后的新数据与原数据相比（ ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变 11．已知D，E，F是边长为2的等边三角形ABC相应边的中点，分别沿着DE，EF，DF把，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面DEF垂直，再顺次连接A，B，C，得到多面体，则（ ） A．多面体中直线AC与BD所成的角为60° B．多面体中直线BE与平面ADF所成的角为60° C．多面体的体积为 D．多面体外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数据-1，2，4，x，7，8的众数为4，则其标准差为________． 13．若某正四棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为________． 14．如图，在三棱锥中，底面ABC是边长为2的正三角形，且PA⊥平面ABC，点M为AB的中点，点N为棱PC上一动点，且．若直线MN与底面ABC所成角的正切值为，则的值为________；在A，M，B，P，N，C6个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为________．（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为x，黄色骰子与地面接触的面上的数字为y． （1）求“xy为偶数”的概率； （2）求“”的概率． 16．（15分）每年的4月23日为“世界读书日”．为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9．求落在样本数据的平均值和方差． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，． （1）求证：平面PAD⊥平面ABCD； （2）若，E，F分别为BD，PD的中点，求证：平面平面AEF． 18．（17分）甲、乙两支代表队进行趣味篮球对抗赛，规则如下：对抗赛分为若干局：每局比赛只有胜负两种结果，胜者得1分，负者得0分；积分首先达到3分的代表队赢得对抗赛，对抗赛结束．假定甲代表队每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果互不影响． （1）求经过3局比赛，对抗赛结束的概率； （2）求甲代表队赢得对抗赛的概率． 19．（17分）如图，在直三棱柱中，，，P，Q分别为AC，的中点． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为l，求二面角的正切值； （3）在线段CQ上是否存在点M，使直线AM与平面所成角的大小为？若存在，求出CM的长度；若不存在，说明理由． 2023~2024学年度第二学期期末学业水平诊断 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题 CDBC ADBC 二、选择题 9．BC 10．ABD 11．ACD 三、填空题 12．3 13． 14．， 四、解答题 15．解：（1）由题意知，样本空间，共16个样本点． 3分 设事件A=“xy为偶数”， 则， 共12个样本点． 6分 所以，即“xy为偶数”的概率为． 8分 （2）由（1）知，样本空间Ω包含16个样本点． 设事件B=“”，则， 共10个样本点． 11分 所以．即“”的概率为． 13分 16．解：（1）由题意知，， 2分 解得． 4分 （2）根据频率分布直方图， ， 6分 所以． 8分 （3）由频率分布直方图知，落在、的样本数据的频数分别为60，40， 9分 所以， 12分 所以． 15分 17．证明：（1）因为，，所以． 又因为，，平面PAD，平面PAD， 所以CD⊥平面PAD． 4分 又平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD． 6分 （2）延长AE交CD于G， 因为E，F分别为BD，PD中点， 所以，又平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． 9分 因为，所以，又E为BD中点，所以， 注意到，所以，所以． 又因为，所以G为CD中点，所以． 12分 又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 13分 因为，平面AEF，平面AEF， 所以平面平面AEF． 15分 18．解：（1）设事件“甲第i局获胜”，事件A=“经过3局比赛，对抗赛结束”， 由题意知，前3局比赛中，甲全胜或者全负，即， ， 2分 ， 4分 于是， 经过3局，对抗赛结束的概率为． 6分 （2）设事件B=“甲赢得对抗赛”，“经过i局比赛，甲赢得对抗赛”，． 则． 若，则甲、乙的积分之比为3：0，； 10分 若，则甲、乙的积分之比为3：1，即在前三局比赛中，甲胜两局负一局，第四局甲获胜，所以 ； 13分 若，则甲、乙的积分之比为3：2，即在前四局比赛中，甲、乙两人各胜两局，第五局甲获胜，所以 ； 16分 故． 17分 19．解：（1）设，连接PN， 因为四边形为平行四边形，所以N为中点， 又因为P为AC中点，所以． 2分 因为平面，平面，所以平面， 4分 （2）设平面与平面的交线为l， 又平面，平面，所以． 5分 因为，，，所以BC⊥平面． 5分 设O为AB中点，则， 所以PO⊥平面． 6分 因为平面，所以． 过O作，因为， 所以l⊥平面POH． 连接PH，则， 所以为二面角的平面角． 8分 因为，所以，即，所以． 9分 在中，，，所以， 即二面角的正切值为． 10分 （3）设A在面上射影为E，则∠AME为AM与平面所成角． 11分 由，可得． 13分 由，所以． 14分 在中，由余弦定理． 14分 解得， 16分 所以，在线段QC上存在点M，当时，AM与平面所成角大小为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$