精品解析：湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期拔尖创新人才早期培养第一次联考数学试卷

2024年邵阳市拔尖创新人才早期培养高一第一次联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 不存在值域相同，对应关系相同，但定义域不同的两个函数 B. 当正整数越来越大时，的底数越来越小，指数越来越大，的值也会越来越大，但是不会超过某一个确定的常数 C. 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点 D. 如果，则是第一象限角或第二象限角 6. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 2025 B. 3 C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列四个结论正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 在上恰有6个零点 10. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 函数的值域为 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（其中为自然对数的底数）.设分别为的零点，则______. 13. 计算______. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.结合以上推广，现有函数，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知定义在上的奇函数，其中. （1）求函数的值域； （2）解不等式：. 16. 已知函数，其中. （1）若函数在区间内有且仅有3个零点，求的取值范围； （2）当时，若对任意实数，存在实数，使成立，求实数的取值范围. 17. 已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令. （1）求实数的值及； （2）判断函数在区间上的单调性，不用说明理由； （3）已知，且，证明：. 18. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 19. 已知两个函数和，记的最大值为.若存在最小的正整数，使得不等式恒成立，则称是的“阶上界函数”. （1）若是的“阶上界函数”，求的值； （2）已知，其中. （i）设的最大值为，求； （ii）求证：是的“2阶上界函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年邵阳市拔尖创新人才早期培养高一第一次联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 所以 故选：D 2. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】假设函数的值域为，借助对数的性质及二次函数的性质可得的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解. 【详解】若的值域为， 则对有，解得或， “”是“或”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由真数等于，求出定点的坐标，设幂函数，将点的坐标代入幂函数，求出的值，可得出幂函数的解析式，由此可计算出的值. 【详解】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，. 故选：C. 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性确定范围即可比较大小. 【详解】依题意， ， ， 所以. 故选：A 5. 下列说法正确的是（ ） A. 不存在值域相同，对应关系相同，但定义域不同的两个函数 B. 当正整数越来越大时，的底数越来越小，指数越来越大，的值也会越来越大，但是不会超过某一个确定的常数 C. 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点 D. 如果，则是第一象限角或第二象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的值域，定义域，零点存在性定理及正弦函数的取值范围结合举反例即可判断ACD；先证明不等式，得出，设整数，令，得出的单调性，令，即可证明的有界性，进而判断B． 【详解】对于A，设，当时，或，故A错误； 对于B，我们先证明一个不等式，对于任意满足的实数，， 因为， 将上式中第二个括号内的换成， 所以， 整理得，①， 设整数，令，此时满足的前提条件， 则①式仍成立，即， 所以随单调递增， 令，代入①式得，， 两边平方得，， 因为是大于1的整数，所以，故B正确； 对于C，设，，则，但函数在区间内没有零点，故C错误； 对于D，当时，，但不是第一象限角或第二象限角，故D错误. 故选：B． 6. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用得出，然后利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】，故， 因为，且为则增函数， 故，即， 故，且 则， 因为为对勾函数，在上单调递减， 当时，， 故. 故选：C 7. 已知函数，则（ ） A. 2025 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量范围结合函数的性质，分段函数解析式，应用对数运算求解即可. 【详解】因为时，所以 所以， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断为偶函数，可得，令，则可作出的图象，结合图象以及方程有8个不同的实数根的条件可求答案. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，当时， 令，则可作出的图象： 关于的方程有8个不同的实数根， 方程在区间内有两个不相等的实数根. 令，则. ， 故选：A. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列四个结论正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 在上恰有6个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：举出反例即可得；对B：借助二倍角公式化简后结合即可得的值域；对C：计算出、后可得，即可得；对D：令，求出其在上的所有实数解即可得. 【详解】对A：由， ，即， 故不为偶函数，故A错误； 对B：， 由，则， 故，即的值域为，故B正确； 对C：由， ，有， 故在上不单调递减，故C错误； 对D：由， 令，则或， 即或或，， 当时，则或或或或或， 即在上恰有6个零点，故D正确. 故选：BD. 10. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义判断A；根据指数运算判断B、C；由，可求其值域，即可对D判断. 【详解】对于A：函数，定义域为， 所以，则函数是奇函数，故A正确； 对于B：由于， 又 ， 所以，故B错误； 对于C：因为双曲正弦函数和双曲余弦函数 则，故C错误； 由，又因为，所以，所以， 所以的值域为，故D正确； 故选：AD. 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（其中为自然对数的底数）.设分别为的零点，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用，结合的单调性求解即可. 【详解】分别为的零点， 故， 因为，所以，且， 因为函数为增函数，且， 故，所以. 故答案为：3 13. 计算______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化简分子，求得结果. 【详解】分母 ， 分子 ， 所以原式. 故答案为：2. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.结合以上推广，现有函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意计算可得函数的图象关于点成中心对称，利用函数对称性计算即可得解. 【详解】由且定义域为，则有， 则，故为奇函数， 故函数的图象关于点成中心对称， ， ， 又， . 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知定义在上的奇函数，其中. （1）求函数的值域； （2）解不等式：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值，再利用指数函数的性质即可得其值域； （2）原不等式可化为，借助换元法计算可得的取值范围，再利用指数函数的性质计算即可得解. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， ，， 当时，，符合题意， ， ，， ， 的值域为； 【小问2详解】 由（1）有， 原不等式可化为， 令，则， ，即， ，， 不等式的解集为. 16. 已知函数，其中. （1）若函数在区间内有且仅有3个零点，求的取值范围； （2）当时，若对任意实数，存在实数，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的性质可得，解出即可得； （2）由题意结合正弦函数与指数函数的性质可得，参变分离后计算即可得解. 【小问1详解】 由题意有：， 在内有且仅有3个零点， 方程在内恰有三个不相等的实数根， 即与直线在内恰有三个交点， 令，则， 则与直线在内恰有三个交点， ，解得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 当时，， 当时，， ，， 由题意，存在，使得，即成立， ，， 故实数的取值范围为. 17. 已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令. （1）求实数的值及； （2）判断函数在区间上的单调性，不用说明理由； （3）已知，且，证明：. 【答案】（1）， （2）在上单调递增，在上单调递减 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，令和，得到，再由二次函数的性质，求得，得到，进而得到的解析式； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由，化简得到，结合基本不等式，即可得证. 【小问1详解】 解：由，均有且， 令，可得， 令，可得. 因为曲线与恰有一个交点且交点横坐标为，所以， 又因为曲线与恰有一个交点，所以有两个相等的实数根， 则， 因为，可得，解得， 所以，则. 【小问2详解】 函数在上单调递增，在上单调递减. 设且， 则 ， 其中 当时，，则，即， 此时函数在上单调递增； 当时，，则，即， 此时函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 证明：因为， 由，可得，即， 所以，整理得， 又因为，由基本不等式，可得. 18. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求的值即可； （2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等式成立. 【小问1详解】 由，则， 【小问2详解】 由题意，得：. ①当时，， 在内单调递增，又， 由于，而， ，又， 由零点存在定理得在内有唯一零点，使得. 当时，，则， ，则在上无零点； 当时，， ，则在上无零点. 综上，在上有且仅有一个零点. ②由①得，且， 则，. 由函数的单调性得函数在上单调递增， 则，故. 【点睛】关键点点睛：已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式，三角恒等变换的公式来进行求解，判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断. 19. 已知两个函数和，记的最大值为.若存在最小的正整数，使得不等式恒成立，则称是的“阶上界函数”. （1）若是的“阶上界函数”，求的值； （2）已知，其中. （i）设的最大值为，求； （ii）求证：是的“2阶上界函数”. 【答案】（1）2 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】1）先求的最大值，得到利用恒成立问题的方式处理； （2）（i）令，得到分类讨论对称轴落在的区间上即可求解；（ii）先求的最大值，得到，再说明不恒成立就可求证. 【小问1详解】 （1）时，单调递增，于是， ，则最大值为2. 由题意有：恒成立，故，注意到是最小正整数， . 【小问2详解】 依题意得，. 令，则. 抛物线的对称轴为， 又. 由于，下面分类讨论： 当，即时，. 而此时. 当，即时，. 又此时. 当，即时，在上单调递减. ， 又此时. 故. （ii）， 当时，， 此时； 当时，， ； 当时，， 此时. 综上，有：. 另一方面，当时，. 此时不恒成立，不是的“1阶上界函数”. 使不等式恒成立的最小的正整数的值为2. 故是的“2阶上界函数”. 【点睛】本题综合的考查了分类讨论思想，函数值域的求法等问题，特别是观察分析出的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $