专题03 一元二次方程的数字、营销、几何问题（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题03 一元二次方程的数字、营销、几何问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、数字问题 1 类型二、营销问题 6 类型三、有关图形的问题 10 类型四、动态几何问题 14 压轴能力测评 20 列一元二次方程解应用题的具体步骤 （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． （6）答：写出答案． 类型一、数字问题 【例1】我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”． （1）若0，1，，2，是“梦数列”，则 ； （2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则 ； （3）若数列是“梦数列”，则 ． 【例2】第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【变式1-1】如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ，；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【变式1-2】两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【变式1-3】已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 类型二、营销问题 【例3】某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 【例4】大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【变式2-1】中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； (3)该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 【变式2-2】龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【变式2-3】“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． (1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ (2)花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值． 类型三、有关图形的问题 【例5】如图，将边长为15的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离等于 ． 【例6】有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 【变式3-1】新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 【变式3-2】如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知． （1）当时，则c的值是 ； （2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ． 【变式3-3】阅读并完成下列问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ (1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意可得方程组， 消去y，得． ∵， ∴，， ∴满足要求的矩形B存在． (2)如果已知矩形A的两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)如果矩形A的两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由． 类型四、动态几何问题 【例7】如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 【例8】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【变式4-1】如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 【变式4-2】如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1)，，，（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【变式4-3】如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)五边形的面积能否达到？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 1．如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    2．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 3．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ． 图1                  图2 4．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 5．阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 6．实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 7．某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． (1)若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ (2)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ (3)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 8．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为_______； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 9．阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由    可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 10．岳西县被誉为“中国茭白之乡”，该县某村今年种植12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售，若在A市销售，每千克茭白的利润为2元，若在B市销售，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足：． (1)若在A市销售茭白2万千克，则销售完这批茭白共获利多少万元； (2)若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求B市销售茭白多少万千克； (3)若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，请直接写出m与n所满足的关系式：______． 11．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过6秒后，BP=_______，BQ=                     (2)经过几秒△BPQ的面积等于10？ (3)经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程的数字、营销、几何问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、数字问题 1 类型二、营销问题 6 类型三、有关图形的问题 10 类型四、动态几何问题 14 压轴能力测评 20 列一元二次方程解应用题的具体步骤 （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． （6）答：写出答案． 类型一、数字问题 【例1】我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”． （1）若0，1，，2，是“梦数列”，则 ； （2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则 ； （3）若数列是“梦数列”，则 ． 【答案】 2 1或 【详解】（1） 由题意得： ， 故答案为： ； （2）∵数列是“梦数列”， ∴， ∵不论取何值， 数列都是“梦数列”， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）∵数列是“梦数列”， ∴， ， 则有， ∴， 解得： 或. 故答案为： 或. 【例2】第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）依题意有：， 解得，负值舍去． 故的值是． 【变式1-1】如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ，；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【变式1-2】两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【答案】(1)满足上述结论，理由见详解 (2)见详解 (3)，；， 【详解】（1）解：满足上述结论； 理由如下： ， ， 为偶数； （2）解： ， 为偶数； 故上述结论正确； （3）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ，， 或，， 故符合要求的偶数为，；，． 【变式1-3】已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 【答案】(1) (2)这四个正整数为，，， 【详解】（1）解：令， ∴化为：， 解得：或， ∵， ∴， ∴； （2）解：设最小的数为，则， ∴， 设，则， 解得：，， ∵是正整数， ∴， 解得：，(舍去)， ∴这四个正整数为，，，． 类型二、营销问题 【例3】某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 【答案】(1)50，8 (2)5或25元 (3)该电风扇每天销售利润不能达到2000元，理由见解答 【详解】（1）解：根据题意得：当每台电风扇降价10元时，每台的利润为（元）， 平均每天多售出（台）， 故答案为：50，8； （2）解：设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得， 整理得， 解得，， 答：每台需要降价5或25元； （3）解：该电风扇每天销售利润不能达到2000元， 理由如下： 假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 【例4】大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【答案】(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个； (2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； (3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个， ， 解得， 答：购进款纪念币12个，款纪念币20个； （2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增小， 当时，取得最大值，最大值（元， 此时（个． 即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； （3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 依题意得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【变式2-1】中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； (3)该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 【答案】(1) (2)当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：∵当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒， ∴售价每盒下降元，则每天能售出盒， 故答案为：； （2）解：设售价每盒下降元，每天的销售利润为元， 由题意得：， 解得：，， （元）， （元）， 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）解：不能，理由如下， 设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元， 由题意得：， 整理得：， ， ∴方程无解， ∴该商场每天所获得的利润不能达到元． 【变式2-2】龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为50元 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 【变式2-3】“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． (1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ (2)花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值． 【答案】(1)100支 (2)2 【详解】（1）解：设花店购进玫瑰支，则购进郁金香支， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为100． 答：花店最多购进玫瑰100支； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：的值为2． 类型三、有关图形的问题 【例5】如图，将边长为15的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离等于 ． 【答案】7或8/8或7 【详解】设，与相交于点， ∵是正方形剪开得到的， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵两个三角形重叠部分的面积为， ∴， 解得， 即移动的距离为或． 故答案为：或． 【例6】有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 【答案】(1)①裁去的正方形边长为；②有，裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为 (2)裁去的左侧正方形的边长为 【详解】（1）①设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的正方形边长为； ②侧面积为长方体盒子总面积减去底面积， 即 配方得 ， 即最大值为200，此时 答：裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为； （2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的左侧正方形的边长为． 【变式3-1】新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：原矩形的周长为， 面积为． 设它的“k倍”矩形长为x，宽为y， 则， 由①得， 将③代入②得， ∴， 由得， ， 解得，或（舍去）． ∴k的最小值为， 故答案为：． 【变式3-2】如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知． （1）当时，则c的值是 ； （2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ． 【答案】 2 28或 【详解】解：由题意可得，， ， ． （1）当时， ， 解得（负值舍去）， 即． 故答案为：2； （2）， ． ， ， ， 为整数， 可能取值有：4或1， 可能为2或1． 当时，，解得（负值舍去）； 当时，，解得（负值舍去）， 矩形和正方形的周长之和为： ． 当，时，； 当，时，． 故答案为：28或． 【变式3-3】阅读并完成下列问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ (1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意可得方程组， 消去y，得． ∵， ∴，， ∴满足要求的矩形B存在． (2)如果已知矩形A的两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)如果矩形A的两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由． 【答案】(1)， (2)满足要求的矩形B不存在 (3)时，矩形存在 【详解】（1）解：设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意可得方程组， 消去y，得． ∵， ∴，， ∴满足要求的矩形B存在． （2）解：设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意可得方程组， 消去y，得． ∵， ∴方程无解， ∴满足要求的矩形B不存在． （3）解：当满足时，矩形存在. 理由如下： 设所求矩形的两边长分别是和，由题意，得 消去，得 ， ， 当 时，存在满足要求的矩形 ， 即当时，矩形存在. 类型四、动态几何问题 【例7】如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 【答案】3或 【详解】解：（秒），（秒），（秒）． 当时，连接，，此时，，如图1所示． 依题意得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，，，如图2所示． 依题意得： ， 即， 解得：t（不合题意，舍去）； 当时，，，如图3所示． 依题意得：， 即， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 【例8】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后，的面积等于 (2)0秒或2秒后，的长度等于 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）设经过x秒以后，面积为， 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：或舍， ∴1秒后的面积等于； （2）设经过t秒后，的长度等于 由， 即， 解得：，， ∴0秒或2秒后，的长度等于5cm； （3）不能，理由如下： 由题意，得： 整理得：， 由于， ∴该方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【变式4-1】如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 【答案】1秒或4秒 【详解】．由（1）得：， ，，运动时间t的取值范围为：， ∵四边形APQC的面积等于， ∴， 整理得：， 解得，， ∴或4时，四边形APQC的面积等于． 答：1秒或4秒后，四边形APQC的面积等于． 【变式4-2】如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1)，，，（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【变式4-3】如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)五边形的面积能否达到？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析． 【详解】（1）解：根据题意，， 为等腰三角形，， ，即， 解得：， ∴当时，为等腰三角形． （2）解：， ， 解得：， ∴当时，的面积为． （3）解：， ， 整理得：， ， ∴该方程没有实数根， ∴五边形的面积不能达到． 1．如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    【答案】或18 【详解】解：移动时间为秒，正方形的边长为10厘米，厘米， ①当在上时， 有厘米，厘米，厘米， ， ，即， 整理得，解得（不合题意，舍去），． ②当在上时， 则厘米，厘米， ， 整理得，解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或18． 故答案为：或18． 2．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点的运动时间为，则，， ， ， 的面积为， ， 解得：或（舍）， 即使的面积为，则点P运动的时间是， 故选：B． 3．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ． 图1                  图2 【答案】 【详解】解：如图，由题意知，，设， 依题意得，， ∵，， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∵， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 4．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 5．阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 【答案】 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为， 根据题意得：， ∴，即， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴这个两位数为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)矩形种植园一边的长15米 (2)不能围成面积为的矩形种植园 【详解】（1）解：设的长为x米， 则， 解得： ． ∵，      ∴， ∴舍去， ．                      答：矩形种植园一边的长15米． （2）解：设的长为x米， 则 ， 化简得， ，          ∴不能围成 ， 答：不能围成面积为的矩形种植园． 7．某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． (1)若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ (2)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ (3)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)800元 (2)55元 (3)该超市不能每月获得880元的利润，理由见解析 【详解】（1）解：元， 答：若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是800元； （2）解：设每箱饮料降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：每箱饮料售价应定为55元； （3）解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该超市不能每月获得880元的利润． 8．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为_______； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：（）， 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 9．阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由    可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 【答案】(1)25 (2)不能，理由见解析 (3)能， 【详解】（1）解：根据题意，得， 即， 解得，（负值舍去）， 的值为25； （2）解：不能，理由为： 由得， ， ， 为正整数，是无理数， 不存在值，使前行的点数和是900． 即在第一问的三角点阵图形中，前行的点数不能是900； （3）解：能，，理由为： 由得， 则， ， 解得，（负值舍去）， 当时，前行的点数和是900． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题中公式，正确列出方程并会解一元二次方程是解答的关键． 10．岳西县被誉为“中国茭白之乡”，该县某村今年种植12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售，若在A市销售，每千克茭白的利润为2元，若在B市销售，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足：． (1)若在A市销售茭白2万千克，则销售完这批茭白共获利多少万元； (2)若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求B市销售茭白多少万千克； (3)若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，请直接写出m与n所满足的关系式：______． 【答案】(1)26万元 (2)B市销售茭白3万千克或8万千克 (3) 【详解】（1）解：若在A市销售茭白2万千克，则在B市销售茭白万千克， 则销售完这批茭白共获利万元； （2）解：设在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白万千克， 根据题意可得：， 解得：或， 答：B市销售茭白3万千克或8万千克． （3）解：在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白万千克， 在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白万千克， 根据题意可得：， 化简得：， 即或， 解得：（舍去），或． 答：m与n所满足的关系式为：． 11．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过6秒后，BP=_______，BQ=                     (2)经过几秒△BPQ的面积等于10？ (3)经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)6cm；12cm； (2)2秒 (3)6秒， 【详解】（1）由题意，得， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：6cm；12cm； （2）作于D， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵由题意得：AP=x,PB=12-x，， ∴， 解得， ∵时，，故舍去， ∴． ∴经过2秒的面积等于； （3）∵的面积， ∴当时，的面积最大，此时最大值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$