第十七章 一元二次方程压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

第十七章 一元二次方程压轴训练 一、选择压轴 1．已知，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 2．已知方程，则满足该方程的所有根之和为（    ） A． B． C．0 D．1 3．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 4．设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．已知，（其中a任意实数），下列说法： ①若中不含项，则； ②若化简的结果为整式，则； ③无论a取何值，关于x的方程始终有4个不相等的实数根.其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 8．已知实数，满足，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 9．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 10．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 二、填空压轴 11．已知，是方程的两个根，则 ． 12．已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 13．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 14．已知a，b为正整数，且满足，则的值为 ． 15．有两个关于的方程：和：，其中，下面四个结论中，错误的有 （填序号） ①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根； ②若方程两根符号相同，则方程的两根符号也相同； ③若是方程的一个根，则是方程的一个根； ④若方程、有一个相等的实数根，则这个实数根必定是． 16．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 17．若方程的根也是方程的根，则 ． 18．已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ． 三、解答压轴 19．已知关于的一元二次方程与的根都是整数，求整数的值． 20．已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长． 21．已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数． (1)求k的取值范围； (2)当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由． 22．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 23．阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 24．为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校．充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． (1)5月份借阅图书的学生人数______，6月份借阅图书的学生人数______， (2)求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ (3)由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 25．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 一元二次方程压轴训练 一、选择压轴 1．已知，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，两边同除可得，， ∴， 解之得，或， 当时，，，无解，故舍去， 当时，，． 综合得，， 故选：A． 2．已知方程，则满足该方程的所有根之和为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去． 因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去． 解：当时，即，原方程化为：， ∵， ∴，（舍去）， ∴， 当，即时，原方程化为：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴． 则． 故选：A． 3．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】解：设正方形B的边长为a，其中， ∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1， ∴阴影部分为正方形，且边长为1， ∴图①中大正方形的边长为， 即正方形A的边长为， 又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示： ∴图②中大正方形的边长为：， ∵图②中阴影部分的面积为7， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴图②中大正方形的边长为： ∴图②中大正方形的面积为15． 故选：B． 4．设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：设一元三次方程的三个非零实根分别为，，， 则方程可写成，即． 对比可得，，，， 可得，，， ， 综上可知，①②④正确，③错误， 故选B． 5．已知，（其中a任意实数），下列说法： ①若中不含项，则； ②若化简的结果为整式，则； ③无论a取何值，关于x的方程始终有4个不相等的实数根.其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：① ， 中不含项， ， 解得：， 故①说法正确； ②， 当时， 原式 ， 故②说法正确； ③， ， ， 或， ， 整理得：， ， 则原方程有两个不相等的实数根； ， 整理得：， ， 则原方程有两个不相等的实数根， 无论取何值，关于的方程始终有4个不相等的实数根， 故③说法正确， 正确的有①②③，共3个． 故选：D． 6．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解： ， ， 时, 解得 ； 时，解得 或 (舍)； 时， 解得 或(舍)； 时，方程无解； 综上所述：方程的解为：或 或 故选C． 7．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【详解】解：①解方程得可得：， ∴方程不是2倍根方程，故①错误； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴，， ∴，即，故②错误； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是2倍根方程， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则，故④正确． 综上所述，关于2倍根方程的说法正确的为：③④． 故选：D． 8．已知实数，满足，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵实数，满足，， ∴，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， 即的最小值是， 故选：． 9．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 10．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【详解】解：①当时，原方程为：， 解得，， ∴， ∵， ∴该方程是“限根方程”； ∴ ①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，，或，． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 当，时， ∵， ∴， 解得：， ∵m只是一个整数， ∴m值不存在； 当，时，， 解得：， ∴m值不存在． 综上所述，m的值不存在． ∴②错误． ∴①正确，②错误． 故选：C． 二、填空压轴 11．已知，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴ 故答案为：． 12．已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设公共实数根为，则，，， ∴三式相加得出，即， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 【答案】2或 【详解】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 故答案为：2或． 14．已知a，b为正整数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ∴ 设(k是正整数) ， 则 那么： 即： a是正整数，则方程有正整数解， ∴ ∴而k是正整数， 又∵且a为正整数 为整数， 当时， 当时， 当时， 当时， 此时 即或 若则 若则 ， 故答案为：． 15．有两个关于的方程：和：，其中，下面四个结论中，错误的有 （填序号） ①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根； ②若方程两根符号相同，则方程的两根符号也相同； ③若是方程的一个根，则是方程的一个根； ④若方程、有一个相等的实数根，则这个实数根必定是． 【答案】④ 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ， 方程也有两个不相等的实数根，①结论正确； 方程的两根符号异号， ， ， 方程的两根符号也异号，②结论正确； ③是方程的一个根， ，即， 是方程的一个根，③结论正确； ④设相同的根为，， ． ． ，，， ． ． ． 即有相同的根，④结论错误． 故答案为：． 16．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 17．若方程的根也是方程的根，则 ． 【答案】 【详解】解：设m是方程的一个根， 则，所以． 由题意，m也是方程的根， 所以， 把代入此式，得， 整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（（其中k为常数）， 所以，，， 所以 ，，， 因此，． 故答案为： 18．已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， 解得：或， 当时方程为，则， 当时方程为，则， ， 故答案为：． 三、解答压轴 19．已知关于的一元二次方程与的根都是整数，求整数的值． 【答案】1 【详解】关于的一元二次方程有整数根， ，即且． 关于的一元二次方程有整数根， ，即． 且． 为整数， 或． 当时， ， 解得：， 故不符合题意，舍去， 当时， ， 解得：， 解得：，， 所以整数的值为 20．已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17或37 【详解】（1）解：由根与系数关系得：， 依题意得：， ， ， ， 解得：，， 由得：， ， ； （2）解：分两种情况： ①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得：， 整理得，解得，， 当时，，解得，则三角形周长为； 当时，，解得，则三角形周长为； ②当时，即方程有两个相等实根，，则，，方程化为，解得，则，故舍去， ∴这个三角形的周长为17或37． 21．已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数． (1)求k的取值范围； (2)当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1)且，； (2)成立，见解析 【详解】（1）解：解分式方程①得． 方程①的根为非负数， ，解得且． 又一元二次方程中，，所以． 综上所述可知且，； （2）解：成立．理由如下： 是负整数，且，2， ． 方程②有两个实数根，， ． 化简，得， 将代入，得， ，③， △④， 把③代入④得， 整理，可得． 22．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 23．阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程， ，， ； （3）解：把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 24．为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校．充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． (1)5月份借阅图书的学生人数______，6月份借阅图书的学生人数______， (2)求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ (3)由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 【答案】(1)1100，1440 (2)从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为 (3) 【详解】（1） 由题意，得5月份借阅图书的人数是：（人， 则6月份借阅图书的人数为：（人， 故答案为：1100，1440； （2） 设平均增长率为． 解得： 答：从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为； （3）国庆节的总利润为：（元， 国庆节后的进货量为：本，进货价为：， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ， 答：的值为． 25．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$