第十七章 一元二次方程知识归纳与题型突破（19类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十七章 一元二次方程知识归纳与题型突破（19类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3． 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4． 列出实际问题的一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2． 根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 （3）公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 知识点三：根的判别式的应用 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）= （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（） ①当方程有实数根； （当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；） ②当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论. （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 知识点四：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 知识点五：一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。 具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键； ②设未知数，注意单位; ③根据题意找等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验解是否合理； ⑥写出答案作答 考点1 数字问题 数字问题有以下几种常见类型: (1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是. (2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是. (3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是. (4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是. (5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是. 考点2 多边形对角线问题 利用一元二次方程解多边形对角线问题时需要用到公式，其中是多边形的边数，是多边形对角线的总条数. 考点3 循环问题 双方参与问题有以下几种常见类型: (1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手. (2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡. (3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场; ②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场. 考点4 传播问题 1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感. 2、 树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。 考点5 增减率问题 增减率问题涉及的公式有: (1) (2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则. 考点6 面积问题 利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形 考点7 利润问题 利润问题常用公式如下: (1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价. (2)利润率= (3)销售额=销售价×销售量. (4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量 03 题型归纳 题型一　一元二次方程的定义 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．1 巩固训练 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 3．已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 题型二　一元二次方程的一般形式 1．把方程化成一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 2．把方程化成一般形式是 ． 3．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 题型三　一元二次方程的解 1．若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 2．已知是关于的方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 巩固训练 1．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，则这个方程为 ． 3．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 题型四　一元二次方程的解的估算 1．根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 2．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 3．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 2．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 题型五　直接开平方法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 2．运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 3．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 巩固训练 1．用直接开平方法解方程：． 2．用直接开平方法解方程：． 3．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型六　配方法 1．解关于x的一元二次方程：（用配方法）． 2．用配方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 3．解方程（用配方法） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 巩固训练 1．用配方法解方程：． 2．用配方法解一元二次方程： 3．用配方法解关于的一元二次方程． 4．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 题型七　因式分解法 1．利用因式分解求解方程 （1）； (2)． 2．探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 ， ， ， ， 　　，　　 　　　　 将你发现的结论一般化，并写出来． 3．阅读材料：解方程x2+2x﹣35＝0我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式x2+2x﹣35， ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项：⇒7x﹣5x＝2x． ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． （2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0，则方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解x2+2x﹣35＝0方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0所以原方程的解为x1＝5，x2＝﹣7 （3）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2+5x+4＝0； ②x2﹣6x﹣7＝0； ③x2﹣6x+8＝0； ④2x2+x﹣6＝0． 巩固训练 1．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： ． 理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题： （1）因式分解：___________ （2）求方程的解 2．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得方程的解． （1）用“转化思想”求得方程的解为，____，_____． （2）解方程：． 3．阅读下面材料： 把方程写成，即． 因式分解得， 即． 发现：，． 结论：方程可变形为． 应用上面总结的解题方法，解下列方程： （1）； （2）； （3）． 4．以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 题型八　公式法 1．用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 2．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 3、利用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 巩固训练 1．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 2．公式法解方程：． 3．用公式法解方程：． 4．用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型九　配方法的应用 1．将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 2．下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 2．用配方法解方程时，配方后得到的方程为 . 3．（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 题型十　换元法 1．方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 巩固训练 1、关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，则的值是 ． 3．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 题型十一　一元二次方程根与系数的关系 1．设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．10 D．11 2．已知是方程的两个实数根，则代数式的值（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 3．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 巩固训练 1．若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的两根分别为，，则： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型十二　根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 2．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 巩固训练 1．下列方程有实数根的是（　　） A． B． C． D． 2．不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况： （1），Δ ，则方程 ； （2），Δ ，则方程 ； （3），Δ ，则方程 ； （4），Δ ，则方程 ； （5），Δ ，则方程 ． （6），Δ ，则方程 ． （7），Δ ，则方程 ． （8），Δ ，则方程 ． （9），Δ ，则方程 ． （10），Δ ，则方程 ． （11），Δ ，则方程 ． （12），Δ ，则方程 ． （13），Δ ，则方程 ． （14），Δ ，则方程 ． （15），Δ ，则方程 ． （16），Δ ，则方程 ． （17），Δ ，则方程 ． 3．已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 题型十三　根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 题型十四　传播问题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 3．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 巩固训练 1．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 2．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 3．有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？ 35．有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 题型十五　增长率问题 1．华为手机王者归来，遥遥领先，系列火爆销售中．据调查，2021年华为系列全年销售600万台，2023年预计销售1350万台． (1)求华为手机系列销售量的年平均增长率； (2)如果保持此增长率，2024年华为手机系列销售量能否超过2000万台？ 2．栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； (2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 3．甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 巩固训练 1．建设美丽城市，改造老旧小区，某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同，求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．解题方案：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． (1)用含的代数式表示： 年投入资金为______万元； 年投入资金为______万元； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为______． 2．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆． (1)若该小区2022年底到2024年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资不超过15万元，再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量是室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？ 3．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 4．某镇2015年有绿地面积50公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2017年达到72公顷． (1)求该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率； (2)若年增长率保持不变，2018年该镇绿地面积能否达到90公顷？ 题型十六　与图形有关的问题 1．如图所示，小明的爷爷想用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． 若花圃的面积刚好为54平方米． (1)设花圃段的长为x米，则的长可表示为______米． (2)求花圃段的长x的值． 2．如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 3．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． 巩固训练 1．丹东市开展创文明城活动，振兴区某街道有一块矩形空地准备进行绿化．如图，已知该矩形空地长为，宽为，按照规划将预留总面积为的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．求各通道的宽度； 2．如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． (1)当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； (2)能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 3．如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平米，求； (3)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 4．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 题型十七　营销问题 1．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 2．“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． (1)若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； (2)在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 3．某专卖店销售山核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可出售．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可销售可增加．若该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 巩固训练 1．中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； (3)该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求： (1)若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利多少元？ (2)若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？ 3．每年暑假是游泳旺季，今年我市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． (1)若降价5元，求平均每天的销售数量； (2)当每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 4．某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． (1)若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ (2)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ (3)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 题型十八　动态几何问题 1．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 2．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 3．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 巩固训练 1．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 2． 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 3．如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    4．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 题型十九　其他应用问题 1．如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 2．我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级． 3．【阅读材料】 一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和，公式中的表示数的个数，表示第一个数的值． 例如：，，，，，，，，，． 就是一个等差数列，公差，，， 所以． 用上面的知识解决下列问题 【完成任务】 （1）等差数列：，，，，，，，，，，，，，，．则，_____，_____； 【能力提升】 （2）有一等差数列的和为，用式子表示为：，求这个数列中数的个数； 【延伸拓展】 （3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为、、、四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木， 2011年 2012年 2013年 2014年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 巩固训练 1．科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升． (1)每次倒出溶液多少升？ (2)若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？ 2．某地一旅游风景区，有关收费信息公告如下： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于60元 某校八年级（1）班组织学生到该风景区开展研学活动，一共支付了2800元．则该班参加这次研学活动的学生有多少人？ 3．阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 4．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 一元二次方程知识归纳与题型突破（19类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3． 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4． 列出实际问题的一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2． 根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 （3）公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 知识点三：根的判别式的应用 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）= （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（） ①当方程有实数根； （当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；） ②当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论. （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 知识点四：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 知识点五：一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。 具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键； ②设未知数，注意单位; ③根据题意找等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验解是否合理； ⑥写出答案作答 考点1 数字问题 数字问题有以下几种常见类型: (1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是. (2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是. (3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是. (4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是. (5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是. 考点2 多边形对角线问题 利用一元二次方程解多边形对角线问题时需要用到公式，其中是多边形的边数，是多边形对角线的总条数. 考点3 循环问题 双方参与问题有以下几种常见类型: (1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手. (2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡. (3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场; ②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场. 考点4 传播问题 1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感. 2、 树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。 考点5 增减率问题 增减率问题涉及的公式有: (1) (2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则. 考点6 面积问题 利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形 考点7 利润问题 利润问题常用公式如下: (1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价. (2)利润率= (3)销售额=销售价×销售量. (4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量 03 题型归纳 题型一　一元二次方程的定义 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不属于一元二次方程； B、不是整式方程，不属于一元二次方程； C、次数为3，不属于一元二次方程； D、属于一元二次方程； 故选： D 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意； B、是分式方程，故B不符合题意； C、是二元二次方程，故C不符合题意； D、是一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 3．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方次方程．根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且． 解得． 故选：A． 巩固训练 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、当时，不是一元二次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 3．已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出或或是解（1）的关键，能根据一元二次方程的定义得出且是解（2）的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可； （2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况： ①，解得：，该方程是一元一次方程； ②，解得：，该方程是一元一次方程； ③，解得：，该方程是一元一次方程； 所以当或时，该方程是关于的一元一次方程； （2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且， 解得：，都满足， 所以时，该方程是关于的一元二次方程． 题型二　一元二次方程的一般形式 1．把方程化成一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，进行去括号、移项、合并同类项求解即可． 【详解】解：方程化成一般形式为， 故选：B． 2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：A． 3．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键. 【详解】解：选项A中，，其二次项系数是3，一次项系数是，常数项是1，故选项A符合题意； 选项B中，，其二次项系数是3，一次项系数是，常数项是，故选项B不符合题意； 选项C中，，其二次项系数是3，一次项系数是6，常数项是，故选项C不符合题意； 选项D中，，其二次项系数是3，一次项系数是6，常数项是1，故选项D不符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据完全平方公式、移项把原方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 2．把方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】将原方程化简为一般形式，此题得解．本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握将给定的一元二次方程化简为一般形式的方法是解题的关键． 【详解】解：把方程化成一般形式是． 故答案为：． 3．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项为，一次项为，常数项 (2)，二次项为，一次项为，常数项 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． （1）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答； （2）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答． 【详解】（1）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项； （2）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项． 题型三　一元二次方程的解 1．若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算可简化计算． 先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ， ， ， 故选：D． 2．已知是关于的方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代入求值的计算，把代入方程可求的值，再代入式子计算即可求解． 【详解】解：根据题意，把代入方程得，， 解得，， ∴， 故选：D ． 3．若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 巩固训练 1．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：是x的一元二次方程，且一个根是0， 故，即， 将代入， 即， 解得， 由于， ． 故选：B． 2．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，则这个方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，与一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到，将其化为一般式即可求出答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是， ， 整理得， 故答案为：． 3．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 题型四　一元二次方程的解的估算 1．根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出的解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B 2．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 3．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 巩固训练 1．根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 故选C． 2．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 题型五　直接开平方法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 2．运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）运用直接开平方法解方程即可； （）运用直接开平方法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤及方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴，． 3．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 巩固训练 1．用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 2．用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 3．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 4．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 【详解】（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 题型六　配方法 1．解关于x的一元二次方程：（用配方法）． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先二次项系数化1，再移项得，配方得，然后开平方，即可作答． 【详解】解： 二次项系数化1， 移项得 ∴配方，得 则 ∴ ∴ 2．用配方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，并解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．解方程（用配方法） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， (5) (6) (7)， (8)， (9) (10) 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．＼ （1）根据完全平方公式进行配方求解即可； （2）根据完全平方公式进行配方求解即可； （3）根据完全平方公式进行配方求解即可； （4）根据完全平方公式进行配方求解即可； （5）根据完全平方公式进行配方求解即可； （6）根据完全平方公式进行配方求解即可； （7）根据完全平方公式进行配方求解即可； （8）根据完全平方公式进行配方求解即可； （9）根据完全平方公式进行配方求解即可； （10）根据完全平方公式进行配方求解即可； 【详解】（1）解： ，； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ，； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ，； （8）解： ，； （9）解： ； （10）解： ． 巩固训练 1．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查配方法解方程，先将方程左侧展开，然后利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ∴． 2．用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：    或 所以原方程的解为，． 3．用配方法解关于的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．找出一次项系数，根据完全平方公式进行配方即可求解． 【详解】解： ，且， ∴ ∴． 4．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． 题型七　因式分解法 1．利用因式分解求解方程 （1）； (2)． 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根； (2)利用提公因式法分解因式求出方程的根. 【详解】(1) ； y=0或4y-3=0 ∴， 故答案为：； (2) 或 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程时，给方程两边同除以y，解得，而丢掉y=0的情况． 2．探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 ， ， ， ， 　　，　　 　　　　 将你发现的结论一般化，并写出来． 【答案】；；；；一般结论为：若一元二次方程的两个根为、，则 【分析】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【详解】填空：﹣，﹣3；， 发现的一般结论为：若一元二次方程， 的两个根为，则 ． 【点睛】本题考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论． 3．阅读材料：解方程x2+2x﹣35＝0我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式x2+2x﹣35， ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项：⇒7x﹣5x＝2x． ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． （2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0，则方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解x2+2x﹣35＝0方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0所以原方程的解为x1＝5，x2＝﹣7 （3）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2+5x+4＝0； ②x2﹣6x﹣7＝0； ③x2﹣6x+8＝0； ④2x2+x﹣6＝0． 【答案】①，；②，；③，；④，． 【分析】①②③④均是根据题目中的方法，先进行因式分解，然后根据乘法原理即可求解各一元二次方程． 【详解】解：①， ， 解得：，； ②， ， 解得：，； ③， ， 解得：，； ④， ， 解得：，． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的十字相乘法，理解题目中的解法并学会运用是解题关键． 巩固训练 1．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： ． 理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题： （1）因式分解：___________ （2）求方程的解 【答案】（1）；（2）或或 【分析】（1）由可知符合材料的公式形式，直接套用公式即可解答； （2）先将方程左边按材料的公式形式分解因式，再求出每个因式为0时的解即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2）解：， ， ∴， 或， 解得或， 【点睛】本题主要考查了因式分解和高次方程的解法，解高次方程一般要通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．本题解题关键是学习材料内容，根据材料公式和方法解题． 2．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得方程的解． （1）用“转化思想”求得方程的解为，____，_____． （2）解方程：． 【答案】（1）1，－4；（2）， 【分析】（1）先提取公因式x，再因式分解可得x（x-1）（x+4）=0，据此解之可得； （2）将原方程整理后，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）∵x3+3x2-4x=0 ∴x（x2+3x-4）=0， ∴x（x-1）（x+4）=0 则x=0或x-1=0或x+4=0 解得x1=0，x2=1，x3=-4， 故答案为1，-4； （2） 整理得： ， ∴， 【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，方程的转化是关键． 3．阅读下面材料： 把方程写成，即． 因式分解得， 即． 发现：，． 结论：方程可变形为． 应用上面总结的解题方法，解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】根据因式分解方法解方程即可； 【详解】解：（1）原方程可化为： ， ∴或， ∴，． （2）原方程可化为： ， ∴或， ∴，． （3）原方程可化为： ， ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了用因式分解法求一元二次方程，准确计算是解题的关键． 4．以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）先移项，然后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵可能为0， ∴不能除以， ∴第②步出现了错误 故答案为②． （2）解：方程两边因式分解，得， 移项，得， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 题型八　公式法 1．用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再求出判别式的值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解； 整理得， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 2．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先将一元二次方程化为一般式，再计算判别式，最后根据判别式的正负确定解的情况，在有解时，直接代入求解公式即可得到答案，熟练掌握公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：由得， ， ， ， ． 3、利用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)原方程无实数根 (4) (5) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （5）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无实数根； （4）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （5）解： ∴， ∴， ∴， ∴． 巩固训练 1．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． （2）解：原方程可化为，即． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 2．公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 解得． 3．用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用公式法求解一元二次方程是解题的关键． 用公式法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ，． 4．用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)方程无解 (3)， (4)， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． 题型九　配方法的应用 1．将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： 故选C 2．下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的配方；根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误；     B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确；     D. ，故该选项错误． 故选C． 3．把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程及坐标与图形，解题时要注意解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为，一次项的系数是的倍数．根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再找出，的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：． 巩固训练 1．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 2．用配方法解方程时，配方后得到的方程为 . 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故答案为： ． 3．（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；；②，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质 ，熟练掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小是解题的关键； （1）①分别将m的值代入计算，再进行比较即可；②将两个式子作差得，根据完全平方的非负性，即可得出答案； （2）两个代数式作差，得到完全平方形式，比较大小，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：； （2），理由如下： ∵ ∴． 题型十　换元法 1．方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要利用换元法变形，注意变形时与互为相反数，符号要变化．注意变形时符号的变化． 【详解】解：∵ ∴ 所以． 故选：D． 2．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，）， ∴在方程中，或， 解得， 故选：C． 3．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出和是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中或， 解得：，， 故选：D． 巩固训练 1、关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，）， ∴在方程中，或， 解得， 故选：C． 2．已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 3．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题，先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，再把和6分别代入得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【详解】解：设，则，即， ∴ 解得：， 当时，，即， 解得：，; 当时，，即， 解得：，. 所以原方程的解为，，， 题型十一　一元二次方程根与系数的关系 1．设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵，分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则． 故选：B． 2．已知是方程的两个实数根，则代数式的值（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系得出，，，然后代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ∴ ， 故选：A． 3．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系的知识．根据根与系数的关系，得出和，再代入等式求得即可． 【详解】解：关于的方程的两实数根为，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 巩固训练 1．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程两根分别为，则有，将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值． 【详解】解：当时，， ∴， 将变形得：， 又， 与为方程的两个解， ∴． 故选：B． 2．若一元二次方程的两根分别为，，则： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；，． 3．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，能根据根与系数之间的关系解决相关问题． （1）分析题意，先得出和的值，把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． （2）把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得， ； （2）解：． 题型十二　根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据直线不经过第四象限，可得，分情况讨论：当时，方程变为一元一次方程，有1个实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根，即可进行选择． 【详解】解：∵直线不经过第四象限， ∴， 解得， 当时， 关于x的方程化为， ∴方程有1个实数根； 当时， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程的实数根为1或2个， 故选：D． 2．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意； B、，方程没有实数解，所以B选项不符合题意； C、，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意； D、，方程有两个相等的实数解，所以D选项符合题意． 故选：D． 3．若，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据已知不等式求出的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ∴方程没有实数根． 故选：A． 巩固训练 1．下列方程有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．根据判别式公式代入数据计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，方程无实数根，故不符合题意； B、，方程有两个不相等的实数根，故符合题意； C、，方程无实数根，故不符合题意； D、，方程无实数根，故不符合题意； 故选：B． 2．不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况： （1），Δ ，则方程 ； （2），Δ ，则方程 ； （3），Δ ，则方程 ； （4），Δ ，则方程 ； （5），Δ ，则方程 ． （6），Δ ，则方程 ． （7），Δ ，则方程 ． （8），Δ ，则方程 ． （9），Δ ，则方程 ． （10），Δ ，则方程 ． （11），Δ ，则方程 ． （12），Δ ，则方程 ． （13），Δ ，则方程 ． （14），Δ ，则方程 ． （15），Δ ，则方程 ． （16），Δ ，则方程 ． （17），Δ ，则方程 ． 【答案】 有两个不相等的实数根 无实数根 有两个相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 无实数根 有两个相等的实数根 有两个实数根 无实数根 有两个实数根 有两个实数根 有两个相等的实数根 无实数根 有两个实数根 无实数根 无实数根 无实数根 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，据此计算即可解答． 【详解】解：（1），，则方程有两个不相等的实数根； 故答案为：，有两个不相等的实数根； （2），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （3），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （4），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （5），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （6），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （7），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （8），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （9），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （10），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （11），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （12），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （13），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （14），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （15），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （16），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （17），，则方程无实数根． 故答案为：，无实数根； 3．已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 【答案】(1)，方程的另一个根为1 (2)见解答 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）先把代入一元二次方程可求得，则此时一元二次方程为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可； （2）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入一元二次方程得， 解得， 此时一元二次方程为， 设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为1； （2）证明：，， 此方程总有两个实数根． 题型十三　根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且， 即k的取值范围是且． 故选：D 2．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 巩固训练 1．关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两不等实数根， ∴， 解得：， 又，解得：， ∴的取值范围是且， 故选：． 2．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，解题的关键是掌握：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 先利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且， 故答案为：且． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 当方程有实数根时，实数的取值范围为； （2）解：方程两实数根分别为，， ，． ， ， ， 整理，得：， 解得：，． ， 实数的值为1． 题型十四　传播问题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)经过三轮传染后共有729人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）解：（人． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列一元二次方程和解一元二次方程， 根据已知求得主干、支干和小分支的数量，再结合总数为91即可列出方程； 移项化简，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，主干、支干和小分支分别为1，x和，则； （2）解：，化简为， 解得，（舍去）， 故． 3．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设每天平均一个人传染了x人，根据“经过两天的传染后共有81人患了甲型流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 ， 解得：，（舍去）， （人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 巩固训练 1．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 2．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 3．有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？ 【答案】1331人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再列式计算即可得出结论． 【详解】解：设该传染病在每轮传染中平均一个人会传染个人，则 ， 解得（舍），或， ∴经过三轮传染后染上这种病的人数为： （人）． 答：经过三轮传染后将会有1331人染上这种病． 35．有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)三轮传染后患病的共有512人 【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，得． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）根据题意，得 (人) 答：三轮传染后患病的共有512人． 题型十五　增长率问题 1．华为手机王者归来，遥遥领先，系列火爆销售中．据调查，2021年华为系列全年销售600万台，2023年预计销售1350万台． (1)求华为手机系列销售量的年平均增长率； (2)如果保持此增长率，2024年华为手机系列销售量能否超过2000万台？ 【答案】(1)华为手机系列销售量的年平均增长率为 (2)如果保持此增长率，2024年华为手机系列销售量能超过2000万台 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设华为手机系列销售量的年平均增长率为，根据2021年华为系列全年销售600万台，2023年预计销售1350万台列出方程求解即可； （2）根据（1）所求，求出2024的预计销量，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设华为手机系列销售量的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：华为手机系列销售量的年平均增长率为； （2）解：根据题意得：（万台）， ， 如果保持此增长率，2024年华为手机系列销售量能超过2000万台． 2．栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； (2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元， ∴月销售量为：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元． 3．甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】(1) (2)该商品在原售价的基础上，再降低25元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键． (1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． (2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 （2）设降价y元，则多销售件， 根据题意得， 解得：， 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．- 巩固训练 1．建设美丽城市，改造老旧小区，某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同，求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．解题方案：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． (1)用含的代数式表示： 年投入资金为______万元； 年投入资金为______万元； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为______． 【答案】(1)；； (2)； (3)，； (4)当时，不合题意，故舍去； (5)． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）因为年投入资金万元，则年投入资金为万元；因为年投入资金为万元，则年投入资金为万元． 故答案为：；； （2）根据题意，列出相应方程为， 故答案为：； （3）解这个方程，得，， 故答案为：，； （4）检验：当时，不合题意，故舍去， 故答案为：当时，不合题意，故舍去； （5）答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． 故答案为：． 2．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆． (1)若该小区2022年底到2024年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资不超过15万元，再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量是室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？ 【答案】(1)该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为 (2)小区最多可建室内车位个 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键． （1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到辆列一元二次方程求出x的值，进一步计算即可； （2）设该小区可建室内车位a个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的倍，据此列一元一次不等式组，求出a的取值范围，据此即可解答． 【详解】（1）解：设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 答：该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为． （2）解： 设该小区可建室内车位a个，则露天车位个， 根据题意可得：， 解得：， ∵a为整数， ∴小区最多可建室内车位个． 答：小区最多可建室内车位个． 3．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为50元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 4．某镇2015年有绿地面积50公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2017年达到72公顷． (1)求该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率； (2)若年增长率保持不变，2018年该镇绿地面积能否达到90公顷？ 【答案】(1)该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率为 (2)若年增长率保持不变，2018年该镇绿地面积不能达到90公顷． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率为，利用该镇2017年绿地面积该镇2015年绿地面积该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用该镇2018年绿地面积该镇2017年绿地面积该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率），可求出该镇2018年绿地面积，再将其与90公顷比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率为； （2）解：根据题意得：（公顷）， ， 若年增长率保持不变，2018年该镇绿地面积不能达到90公顷． 题型十六　与图形有关的问题 1．如图所示，小明的爷爷想用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． 若花圃的面积刚好为54平方米． (1)设花圃段的长为x米，则的长可表示为______米． (2)求花圃段的长x的值． 【答案】(1) (2)花圃段的长x的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出一元二次方程模型并运用一元二次方程解决实际问题． （1）设花圃的宽为米，由长为25米的篱笆，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，列出长的代数式即可； （2）在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长变为，根据面积为54，列出方程，解得． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）， 化简得：， 解得：，． 当时，，不符合要求； 当时，，符合要求． 答：花圃段的长x的值为6． 2．如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)养殖园的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据隔离网的总长为30m，且，得出，进而得出答案； （2）养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到． 【详解】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且， ∴， ∴米， 故答案为：； （2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下： ∵隔离网的总长为30m， 设， ∴， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴养殖园的面积不能达到． 3．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】减去的小正方形的边长为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设减去的小正方形的边长为，根据无盖纸盒的底面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设减去的小正方形的边长为，根据题意得： ， 解的，（舍）， 答：减去的小正方形的边长为． 巩固训练 1．丹东市开展创文明城活动，振兴区某街道有一块矩形空地准备进行绿化．如图，已知该矩形空地长为，宽为，按照规划将预留总面积为的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．求各通道的宽度； 【答案】各通道的宽度为2米； 【分析】本题考查一元二次方程解决图形面积问题，先平移道路使阴影部分拼在一起，再根据预留总面积列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设路宽为，由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：各通道的宽度为． 2．如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． (1)当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； (2)能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长； （2）根据题意可得方程，将其转化为一般形式，再利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：设矩形花园，则， 则有， 解得：或， 墙最长可利用28米， ， ， 的长为； （2）解：不能，理由如下： 根据题意则有，即， ， 不能围成500平方米的矩形花园． 3．如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平米，求； (3)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)米 (3)不能，见详解 【分析】（1）因为设的长为米，则米，即可作答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为： （2）解：根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； （3）解：根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 4．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26，12 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； （2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 题型十七　营销问题 1．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 【答案】(1)50，8 (2)5或25元 (3)该电风扇每天销售利润不能达到2000元，理由见解答 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△时，方程无实数根”． （1）利用降价后每台电风扇的利润降价前每台电风扇的利润降低的价格，即可求出降价后每台电风扇的利润，利用平均每天可多出售电风扇的台数，即可求出平均每天可多出售电风扇的台数； （2）设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 【详解】（1）解：根据题意得：当每台电风扇降价10元时，每台的利润为（元）， 平均每天多售出（台）， 故答案为：50，8； （2）解：设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得， 整理得， 解得，， 答：每台需要降价5或25元； （3）解：该电风扇每天销售利润不能达到2000元， 理由如下： 假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 2．“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． (1)若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； (2)在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 【答案】(1) (2)90元/盒 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润单个的利率销售量列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为： 盒； （2）解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要尽快减少库存， 取， 答：该礼盒的售价应定为90元/盒． 3．某专卖店销售山核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可出售．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可销售可增加．若该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【答案】该店应按原售价的9折出售 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该店应按原售价的x折出售，则每千克的销售利润为元，平均每天可售出千克，根据该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该店应按原售价的x折出售，则每千克的销售利润为元，平均每天可售出千克， 根据题意得： ， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该店应按原售价的9折出售． 巩固训练 1．中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； (3)该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 【答案】(1) (2)当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据“当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒”，列出代数式即可； （2）设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，则列出方程，求解即可； （3）设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，则列出方程，整理为，计算得出，判断即可． 【详解】（1）解：∵当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒， ∴售价每盒下降元，则每天能售出盒， 故答案为： ； （2）解：设售价每盒下降元，每天的销售利润为元， 由题意得：， 解得：，， （元）， （元）， 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）解：不能，理由如下， 设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元， 由题意得：， 整理得：， ， ∴方程无解， ∴该商场每天所获得的利润不能达到元． 2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求： (1)若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利多少元？ (2)若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答； （2）设每件衬衫应降价元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利元； （2）解：设每件衬衫应降价元， 根据题意，得：， 整理，得：， 分解因式，得：， 解得：，， 要“扩大销售量，减少库存”， 应舍去， ， 答：若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元． 3．每年暑假是游泳旺季，今年我市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． (1)若降价5元，求平均每天的销售数量； (2)当每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 【答案】(1)降价5元，平均每天的销售数量为件 (2)每件游泳服降价元或元时，该商店每天销售利润为6000元 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可得出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件，降价5元， ∴平均每天可多售出（件）， ∴若降价5元，平均每天的销售数量为（件）． （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵商店每天销售利润为6000元， ∴， 解得：，， 答：每件游泳服降价元或元时，该商店每天销售利润为6000元． 4．某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． (1)若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ (2)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ (3)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)800元 (2)55元 (3)该超市不能每月获得880元的利润，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用； （1）根据总利润销售量单个的销售利润列式求解即可； （2）设每箱饮料降价x元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程求解即可； （3）设每箱饮料降价y元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程，判断判别式的符号即可． 【详解】（1）解：元， 答：若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是800元； （2）解：设每箱饮料降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：每箱饮料售价应定为55元； （3）解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该超市不能每月获得880元的利润． 题型十八　动态几何问题 1．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后，的面积等于 (2)0秒或2秒后，的长度等于 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找到关键描述语，结合图形得出等量关系是解决问题的关键． （1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，，，，则，令，列出方程即可求出符合题意得解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3），化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以． 【详解】（1）设经过x秒以后，面积为， 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：或舍， ∴1秒后的面积等于 ； （2）设经过t秒后，的长度等于 由， 即， 解得：，， ∴0秒或2秒后，的长度等于5cm； （3）不能，理由如下： 由题意，得： 整理得：， 由于， ∴该方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 2．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 【答案】1秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．利用时间路程速度，可分别求出点，到达终点所需时间，当运动时间为时，，，．根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合当时，点重合，即可得出结论． 【详解】．由（1）得：， ，，运动时间t的取值范围为：， ∵四边形APQC的面积等于， ∴， 整理得：， 解得，， ∴或4时，四边形APQC的面积等于． 答：1秒或4秒后，四边形APQC的面积等于． 3．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)为5或7 (2)为或 (3)为4或8 【分析】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间节点． （1）分别用含的代数式表示，的长，利用面积公式列方程求解即可． （2）分别用含的代数式表示，的长，利用勾股定理列方程求解即可． （3）当，P，Q都没有返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示出，的长，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）∵点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，，， ∴， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∴ 整理，得 解得， ∴当为5或7时，的面积等于； （2）根据勾股定理，得 整理，得 解得 故当为或时，的长度等于； （3）①当时， 由题意，得 ， 解得： ②当时，， 由题意，得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时，， 由题意，得， 整理得， ∴ ∴方程无解 综上所述，当为4或8时，的面积等于． 巩固训练 1．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 2． 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】(1)2或4 (2)秒 【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是． 3．如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】（）根据题意列出关系式即可； （）列出方程，然后求解即可； （）的面积等于的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有实数根； 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）∵， ∴当的面积是面积的时，， 整理得：， 解得：； （3）解：不存在，理由： 由（）得， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， 则不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半． 4．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 题型十九　其他应用问题 1．如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 【答案】(1)不可能，理由见详解 (2)或 【分析】本题考査整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型． (1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可解答； (2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：不可能，理由： 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1， 由题意可知：， ， ， ， ， ， 该方程没有实数根， 抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1； （2）解：由题意可知， ， ， ， ， 解得：或． 2．我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设七年级有x个班，“根据各班均组队参赛，赛制为单循环形式且共需安排45场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设七年级有x班， 解得或（舍）， 答：七年级有10个班级． 3．【阅读材料】 一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和，公式中的表示数的个数，表示第一个数的值． 例如：，，，，，，，，，． 就是一个等差数列，公差，，， 所以． 用上面的知识解决下列问题 【完成任务】 （1）等差数列：，，，，，，，，，，，，，，．则，_____，_____； 【能力提升】 （2）有一等差数列的和为，用式子表示为：，求这个数列中数的个数； 【延伸拓展】 （3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为、、、四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木， 2011年 2012年 2013年 2014年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 【答案】（1）；；（2）（3）年 【分析】本题考查了代数式求值，数字类规律，一元二次方程的应用； （1）根据题意代入数据，即可求解； （2）根据题意代入数据，解方程，即可求解． （3）设再过年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：第一个数字是，公差为，共有个数字， 即，，， ∵， ∴ ， 故答案为：1；3；330； （2）由题意得：第一个数字是，公差为， 即，， 设共有个数字， ∵， ∴； 解得：，即； （2）解：由表可知，第一年种了：（公顷）， 第二年种了：（公顷）， 第三年种了：（公顷）， 公差为（公顷）， 设再过年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得 ， 整理得：， 或（负值舍去）． 完成年份为：； 答：到年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 巩固训练 1．科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升． (1)每次倒出溶液多少升？ (2)若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？ 【答案】(1)每次倒出溶液2升 (2)纯药液还剩0.5升 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设每次倒出溶液x升．根据两次倒出后容器里溶液中的纯药液还剩下1升建立方程求解即可； （2）由剩下的再减去第三次倒出的即可得到答案； 【详解】（1）解：设每次倒出溶液x升． 由题意，得． 整理得． 解得，． ∵不合题意，故舍去． ∴． 所以，每次倒出溶液2升． （2）解：． 所以，纯药液还剩0.5升． 2．某地一旅游风景区，有关收费信息公告如下： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于60元 某校八年级（1）班组织学生到该风景区开展研学活动，一共支付了2800元．则该班参加这次研学活动的学生有多少人？ 【答案】40人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该班参加这次研学活动的学生有x人，先证明，再根据每增加1人，人均收费降低1元，且总费用为2800元列出方程求解即可． 【详解】解：设该班参加这次研学活动的学生有x人， ∵， ∴， ∵不是整数， ∴人均收费高于60元， ∴，即， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：该班参加这次研学活动的学生有40人． 3．阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【答案】(1) (2)36场 (3)16支 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数与线段上的点数的关系式． （1）线段的总条数与线段上的点数的关系式； （2）先将代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数6即可； （3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 故答案为：； （2）解：每小组4个队单循环赛一共比赛：（场， 共6个组，（场． 答：第一轮共要进行36场比赛； （3）解：设共有几支球队参加比赛，根据题意得： ， 解得或（舍去）． 答：共有16支球队参加比赛． 4．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 【答案】(1)；；；二 (2)10； 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． （1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题． 【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，方案二效果更好； 故答案为：，，；二； （2）解：， 当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好， 第一次用 10斤清水，漂洗效果最好， 二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 故答案为：二，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$