【每日一练】2024-2025学年苏科版八年级数学上册第三周

第三周 周一 垂直平分线的性质 1．如下图（左），在△ABC中，BC＝6cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于14cm，则AC的长等于（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 2．如上图（右），在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如下图（左），在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AD＝3，△ABC的周长为15，则△ACE的周长是 　 　． 4．如上图（右），△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝　 　． 【拓展思考】 5．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O． （1）如图①，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数为 　 　； （2）如图①，当AB≠AC，且90°≤∠BAC＝180°． ①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝　 　°； ②当AD⊥AE时，求∠BAC的度数； （3）如图②，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9cm，△OBC的周长为21cm，则BC＝　 　cm；OB＝　 　cm． 第三周 周二 角平分线的性质 1．如下图（左），MC是∠AMB的角平分线，P为MC上任意一点，PD⊥MA，垂足为点D，且PD＝3，则点P到射线MB的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 2．如上图（右），△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，AB＝4，点D是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则点D到BC的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．3.5 3．如下图（左），AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，AF＝7，△ADF和△ADC的面积分别为14和22，则AC的长为 　 　． 4．如上图（右），射线OC是∠AOB的角平分线，点D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝6，若点Q是射线OB上一点，OQ＝5，则△ODQ的面积为 　 　． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 【拓展思考】 6．已知：∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°． （1）如图1，当∠B＝∠D时，求证：AB+AD＝AC； （2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由． 第三周 周三 等腰三角形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，且BE＝DE，∠A＝2∠C，则∠BDC＝（　　） A．120° B．100° C．108° D．110° 3．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝　 　． 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE＝　 　． 【拓展思考】 5．如图，在△ABD中，∠B＝45°，AB＝BD，在BD的延长线上取点EC作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°． （1）求∠DAC的度数？ （2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数？ （3）如果把以上“问题”中“∠B＝45°”去掉，∠BAE＝90°改为∠BAE＝n°，其余条件不变，求∠DAC的度数？ 第三周 周四 等边三角形的判定与性质 1．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如下图（左），在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 3．在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如上图（右）所示放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝　 　°． 4．如下图（左）所示，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 【拓展思考】 5．如上图（右）所示，已知△ABC为等边三角形，在图（1）中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于点Q． （1）请猜一猜：图（1）中∠BQM等于多少度？ （2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图（2）所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由． 第三周 周五 含30°角的直角三角形 1．如下图（左），在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是AB上一点，且BD＝CD＝6，∠DBC＝15°，则△BCD的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．6 2．如上图（右），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　） A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC 3．如下图（左），在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D．若CD＝5，则BD的长为 　 　． 4．如上图（右），△ABC中，AB＝AC，BC＝15，∠BAC＝120°，DE为线段AC的垂直平分线，交BC于点D，则CD＝　 　． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD＝2BD． 【拓展思考】 6．已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题： （1）如图①，求证：AB+BF＝2BD； （2）如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三周 周一 垂直平分线的性质 1．如图，在△ABC中，BC＝6cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于14cm，则AC的长等于（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 【分析】由AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由△BCE的周长等于14cm，可得AC+BC＝14cm，继而求得答案． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∵△BCE的周长等于14cm， ∴BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝14cm， ∵BC＝6cm， ∴AC＝8cm． 故选：C． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 2．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而得出答案． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝BD， ∵BC＝4，AC＝3， ∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4， ∴△ACD的周长为：4+3＝7． 故选：A． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出AD＝BD是解题关键． 3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AD＝3，△ABC的周长为15，则△ACE的周长是 　9　． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD＝3，AE＝BE，得到AB＝2AD＝6，由△ABC的周长＝15，得到BC+AC＝9，于是得到△ACE的周长＝AE+EC+AC＝BC+AC＝9． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD＝3，AE＝BE， ∴AB＝2AD＝6， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝15， ∴BC+AC＝9， ∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝9． 搞答案为：9． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到AD＝BD＝3，AE＝BE． 4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝　48°　． 【分析】根据角平分线定义求出∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC＝FB，求出∠FCB，即可求出答案． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣48°＝72°， ∵FE是BC的中垂线， ∴FB＝FC， ∴∠FCB＝∠DBC＝24°， ∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°， 故答案为：48°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，角平分线定义，等腰三角形性质的应用，能熟记知识点是解此题的关键，题目比较好，难度适中． 【拓展思考】 5．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O． （1）如图①，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数为 　80°　； （2）如图①，当AB≠AC，且90°≤∠BAC＝180°． ①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝　135　°； ②当AD⊥AE时，求∠BAC的度数； （3）如图②，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9cm，△OBC的周长为21cm，则BC＝　9　cm；OB＝　6　cm． 【分析】（1）由线段的垂直平分线的性质得到∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝25°+25°＝50°，于是可以解决问题； （2）①由线段的垂直平分线的性质得到∠BAD+∠EAC＝60°，即可求解； ②由条件可得∠BAD+∠EAC＝（180°﹣90°）45°，即可求解； （3）由条件可得DA+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC，OB+OC＝12cm即可得到答案． 【解答】解：（1）∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D， ∴DA＝DB， ∴∠BAD＝∠B 同理：∠EAC＝∠C， ∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝25°+25°＝50°， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝130°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝130°﹣50°＝80°， 故答案为：80°； （2）①AB边的垂直平分线l1交BC于点D， ∴DA＝DB， ∴∠BAD＝∠B， 同理：∠EAC＝∠C， ∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， ∴∠BAD+∠EAC＝60°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝120°﹣60°＝60°； ②当AD⊥AE时，∠DAE＝90°， ∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D， ∴DA＝DB， ∴∠BAD＝∠B， 同理：∠EAC＝∠C， ∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C， ∵∠BAD+∠EAC+∠B+∠C+∠DAE＝180°， ∴∠BAD+∠EAC＝（180°﹣90°）45°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠EAC+∠DAE＝90°+45°＝135°， 故答案为：135； （3）∵l1垂直平分线AB， ∴DA＝DB，OB＝OA， 同理：EA＝EC，OC＝OA， ∴DA+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC， ∵△ADE的周长是9， ∴BC＝9cm， ∵△OBC的周长是21cm， ∴OB+OC+BC＝21cm， ∴OB+OC＝21﹣9＝12（cm）， ∴OA＝OB＝OC＝6cm， 故答案为：9，6． 【点评】本题考查线段的垂直平分线，关键是掌握线段的垂直平分线的性质定理． 第三周 周二 角平分线的性质 1．如图，MC是∠AMB的角平分线，P为MC上任意一点，PD⊥MA，垂足为点D，且PD＝3，则点P到射线MB的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求解即可． 【解答】解：如图，过点P作PN⊥MB于点N， 又∵MC是∠AMB的角平分线，PD⊥MA，PD＝3， ∴PD＝PN＝3， 即点P到射线MB的距离是3， 故选：C． 【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键． 2．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，AB＝4，点D是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则点D到BC的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【分析】先利用角平分线的性质得出DE＝DF＝DG，再根据等面积法计算即可． 【解答】解：如图所示，过点D作作DE、DF、DG分别垂直于AC，AB、BC，垂足分别为E、F、G，连接AD ∵∠ACB与∠ABC的角平分线交于点D， ∴DE＝DF＝DG， ∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD+S△ACD ∴ ∴， ∴6DG＝6， ∴DG＝1， ∴点D到BC的距离为1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，AF＝7，△ADF和△ADC的面积分别为14和22，则AC的长为 　11　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据三角形面积公式求出DF，根据角平分线的性质求出DE，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， 在Rt△ADF中，AF＝7，△ADF的面积为14， 则AF•DF＝14，即7×DF＝14， 解得：DF＝4， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF＝4， ∵△ADC的面积为22， ∴AC×4＝22， 解得：AC＝11， 故答案为：11． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝6，若点Q是射线OB上一点，OQ＝5，则△ODQ的面积为 　15　． 【分析】过点D作DE⊥OB于E，根据角平分线的性质求出DE，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥OB于E， ∵射线OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB， ∴DE＝PD＝6， ∴S△ODQOQ•DE5×6＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案； （2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴CF＝EB； （2）AF+BE＝AE． ∵Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴DC＝DE， ∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL）， ∴AC＝AE， ∴AF+FC＝AE， 即AF+BE＝AE． 【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法． 【拓展思考】 6．已知：∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°． （1）如图1，当∠B＝∠D时，求证：AB+AD＝AC； （2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由． 【分析】（1）根据∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，可以求出∠B与∠D都是直角，再根据∠DAB＝120°，AC平分∠DAB求出∠DAC＝∠BAC＝60°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AC＝2AD，AC＝2AB，整理即可得解； （2）不会改变．过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE＝CF，根据（1）的结论有AC＝AE+AF，然后再证明△CDE与△CBF全等，根据全等三角形对应边相等得到DE＝BF，从而得到AB+AD＝AE+AF，进而得解． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°， ∴∠B＝∠D＝90°， ∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝2AD，AC＝2AB， ∴2AB+2AD＝2AC， ∴AB+AD＝AC； （2）猜想：不会改变． 理由如下：过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F， 根据（1）的结论，AE+AF＝AC， ∵AC平分∠DAB， ∴CE＝CF， ∵∠B+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°， ∴∠D＝∠CBF， 在△CDE与△CBF中，， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴DE＝BF， ∴AD+AB＝AE+DE+AB＝AE+BF+AB＝AE+AF， ∴AD+AB＝AC． 即（1）中的结论没有发生改变． 【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，（2）中作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 第三周 周三 等腰三角形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据AB＝AC，∠BAC＝108°，易求∠B＝∠C＝36°，且知道△ABC是等腰三角形，再结合AD、AE三等分∠BAC，又易求∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，进而可求∠DAC＝∠BAE＝72°，再结合三角形内角和定理可求∠AEB＝∠ADC＝72°，从而可判断△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形， ∵∠BAC＝108°，AD、AE三等分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°， ∴∠DAC＝∠BAE＝72°， ∴∠AEB＝∠ADC＝72°， ∴BD＝AD＝AE＝CE，AB＝BE＝AC＝CD， ∴△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形， ∴一共有6个等腰三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边即可判断． 2．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，且BE＝DE，∠A＝2∠C，则∠BDC＝（　　） A．120° B．100° C．108° D．110° 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠C＝36°，∠A＝72°，根据平行线的性质得出∠EDC＝∠A＝72°，继而得到∠BED＝∠EDC+∠C＝108°，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠EDB＝36°即可． 【解答】解：∵在等腰△ABC中，AC＝BC，∠A＝2∠C， ∴∠ABC＝∠A＝2∠C， ∴180°＝∠ABC+∠A+∠C＝2∠C+2∠C+∠C， ∴∠C＝36°， ∴∠A＝2∠C＝2×36°＝72°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠A＝72°， ∴∠BED＝∠EDC+∠C＝72°+36°＝108°， ∵BE＝DE， ∴， ∴∠BDC＝∠EDB+∠EDC＝36°+72°＝108°． 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质及平行线的性质是解题的关键． 3．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝　58°　． 【分析】设∠ABD＝α，∠BAD＝β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值． 【解答】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β ∵AD⊥BD ∴∠ABD+∠BAD＝90°， 即α+β＝90° ∵BD是∠ABC得角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2α， ∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180 ∴2α+β+38°+20°＝180°， ∴联立可得解得： ∴∠BAD＝58° 法二，延长AD交BC于E， ∵∠DAC＝20°，∠C＝38°， ∴∠AEB＝20°+38°＝58°， ∵BD⊥AD， ∴∠BDA＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE， ∴∠BEA＝∠BAD＝58°， 故答案为：58° 【点评】本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于α与β的方程组，本题属于中等题型． 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE＝　4　． 【分析】根据角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD＝∠ADE，然后求出∠ADE＝∠BAD，根据等角对等边可得AE＝DE，然后根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠BDE，根据等角对等边可得DE＝BE，从而得到DEAB． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵DE∥AC， ∴∠CAD＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴AE＝DE， ∵BD⊥AD， ∴∠ADE+∠BDE＝∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴DE＝BE， ∴DEAB， ∵AB＝8， ∴DE8＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键． 【拓展思考】 5．如图，在△ABD中，∠B＝45°，AB＝BD，在BD的延长线上取点EC作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°． （1）求∠DAC的度数？ （2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数？ （3）如果把以上“问题”中“∠B＝45°”去掉，∠BAE＝90°改为∠BAE＝n°，其余条件不变，求∠DAC的度数？ 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C①，求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C②，由①，②即可得到结论； （3）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∵BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA， ∴∠ADB＝∠BAD（180°﹣45°）＝67.5°， ∵∠BAE＝90°，∠B＝45°， ∵∠AEB＝∠B＝45°，∠EAC＝∠C， ∴∠EAC＝22.5°， ∴∠DAC＝∠DAE+∠EAC＝∠BAE﹣∠BAD+∠EAC＝45°； （2）∵EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C①， ∵BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA， ∵∠BAE＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C， ∴∠BAD（180°﹣∠B）[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C②， 由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°； （3）设∠ABC＝m°， 则∠BAD（180°﹣m°）＝90°m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°， ∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°m°， ∵EA＝EC， ∴∠CAE∠AEB＝90°n°m°， ∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°m°+90°n°m°n°． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 第三周 周四 等边三角形的判定与性质 1．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断； 【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确． ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确． ③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确． ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确． 故选：D． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 【分析】由题意可知，AP是EC的垂直平分线，证明△ADE≌△ADC（SAS），进而证明△AEC是等边三角形，求出∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°，利用三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，AP是EC的垂直平分线， ∴AD⊥BC，DE＝CD， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠EAD＝∠CAD，∠C＝∠AED， ∴∠EAC＝2∠CAD， ∵∠C＝2∠CAD， ∴∠C＝∠EAC＝∠AED， ∴△AEC是等边三角形， ∴∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°， 在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠BAE＝75°﹣60°＝15°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 3．在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝　15　°． 【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝CD，求得∠DAC＝∠C＝60°根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，D为BC的中点， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝60°， ∴∠EAG＝120°， ∴∠AGE＝180°﹣120°﹣45°＝15°， ∴∠CGF＝∠QGE＝15°， 故答案为：15． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 4．如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为 　24　cm． 【分析】根据DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF为平行四边形，所以AE＝DF＝3cm，DE＝AF＝5cm，再证明△BED为等边三角形，△DFC为等边三角形，得到E＝BD＝DE＝5cm，DF＝FC＝CD＝3cm，所以AB＝AE+BE＝8cm，AC＝AF+CF＝8cm，BC＝BD+CD＝8cm，即可解答． 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴AE＝DF＝3cm，DE＝AF＝5cm， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠BED＝∠A＝60°，∠DFC＝∠A＝60°， ∴∠BED＝∠B＝60°，∠DFC＝∠C＝60°， ∴△BED为等边三角形，△DFC为等边三角形， ∴BE＝BD＝DE＝5cm，DF＝FC＝CD＝3cm， ∴AB＝AE+BE＝8cm，AC＝AF+CF＝8cm，BC＝BD+CD＝8cm， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝8+8+8＝24cm． 故答案为：24． 【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是平行四边形和等边三角形的判定． 【拓展思考】 5．已知△ABC为等边三角形，在图（1）中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于点Q． （1）请猜一猜：图（1）中∠BQM等于多少度？ （2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图（2）所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由． 【分析】（1）由△ABC为等边三角形，易得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，又由BM＝CN，即可证得△ABM≌△BCN，然后由全等三角形的对应角相等，求得答案； （2）由△ABC为等边三角形，易得AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，又由BM＝CN，即可证得△ABM≌△BCN，然后由全等三角形的对应角相等，求得答案． 【解答】解：（1）∠BQM＝60°． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°， 在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠CBN+∠AMB＝∠BAM+∠AMB＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠BQM＝180°﹣（∠CBN+∠AMB）＝60°； （2）成立． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°， 在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠CBN+∠AMB＝∠BAM+∠AMB＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠BQM＝180°﹣（∠CBN+∠AMB）＝60°． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是利用SAS证得△ABM≌△BCN． 第三周 周五 含30°角的直角三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是AB上一点，且BD＝CD＝6，∠DBC＝15°，则△BCD的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．6 【分析】根据等边对等角结合三角形的外角，求出∠ADC＝30°，进而求出AC的长，利用三角形的面积公式求出△BCD的面积即可． 【解答】解：∵BD＝CD＝6，∠DBC＝15°， ∴∠DCB＝∠B＝15°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝30°， ∵∠A＝90°， ∴， ∴△BCD的面积为； 故选A． 【点评】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，三角形的面积，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　） A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD＝3DC，BDAC，BC＝4DC，AC＝2DC． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴BC＝2AC，∠C＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝30°， ∴AC＝2DC， ∴B不符合要求； ∴BC＝4DC， ∴C不符合要求； ∴BD＝3DC， ∴A符合要求； ∵AC＝2DC，BC＝4DC ∴BDAC， ∴D不符合要求； 故选：A． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边，是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D．若CD＝5，则BD的长为 　10　． 【分析】连接AD，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，DE⊥AB，可得∠DAE＝∠B＝30°，从而可得∠DAE＝∠CAD＝30°，AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE＝CD＝5，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD＝2DE，即可求得结果． 【解答】解：连接AD， ∵AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D， ∴AD＝BD，DE⊥AB， ∴∠DAE＝∠B＝30°， ∵∠C＝90°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠DAE＝∠CAD＝30°， ∴AD为∠BAC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝5， ∵∠B＝30°，CD＝5， ∴BD＝2DE＝10， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，含30°角的直角三角形．理解角平分线上的点到角的两边距离相等，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 4．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝15，∠BAC＝120°，DE为线段AC的垂直平分线，交BC于点D，则CD＝　5　． 【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，推出∠BAD＝90°，得到BD＝2AD，进而得出BC＝3CD，即可求出CD的长． 【解答】解：如图，连接AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵DE为线段AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°， 在Rt△BAD中，∠B＝30°， ∴BD＝2AD， ∴BC＝BD+CD＝2AD+CD＝3CD， ∵BC＝15， ∴CD＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度的直角三角形，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD＝2BD． 【分析】连接AD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，然后求出∠DAB＝∠B＝∠C＝30°，再求出∠DAC＝90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得证． 【解答】证明：如图，连接AD， ∵直线MN是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠DAB＝∠B， 又∵∠B＝30°， ∴∠DAB＝30°， 又∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝90°， 又∵∠C＝30°， ∴CD＝2AD， 又∵AD＝BD， ∴CD＝2BD． 【点评】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【拓展思考】 6．已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题： （1）如图①，求证：AB+BF＝2BD； （2）如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 【分析】（1）如图①中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．根据等边三角形的性质得到AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，推出∠TAF＝∠BAE，证得△ATF≌△ABE，根据全等三角形的性质得到TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°，根据直角三角形的性质得到BDBE，等量代换即可得到结论； （2）①如图②中，结论：AB﹣BF＝2BD．连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．根据等边三角形的性质得到AC＝AB，AF＝AE，∠CAB＝∠FAE＝60°，推出∠CAF＝∠BAE，证得△ACF≌△ABE，根据全等三角形的性质得到CF＝BE，∠C＝∠ABE＝60°，根据直角三角形的性质得到BDBE，等量代换即可得到结论．②如图③中，结论：BF﹣AB＝2BD，证明类似①中． 【解答】（1）证明：如图①中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT． ∵BA＝BT，∠ABT＝60°， ∴△ABT是等边三角形， ∵△ABT，△AEF是等边三角形， ∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°， ∴∠TAF＝∠BAE， 在△ATF与△ABE中， ， ∴△ATF≌△ABE（SAS）， ∴TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°， ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴BDBE， ∴TF＝2BD， ∵BT＝AB， ∴AB+BF＝2BD． （2）①如图②，结论：AB﹣BF＝2BD． 理由：连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT． ∵△ABT，△AEF是等边三角形， ∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°， ∴∠TAF＝∠BAE， 在△ATF与△ABE中， ， ∴△ATF≌△ABE（SAS）， ∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝60°， ∴∠EBD＝60°， ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴BDBE， ∴TF＝2BD， ∵BT＝AB， ∴AB＝2BD， ∴AB﹣BF＝2BD． ②如图③，结论：BF﹣AB＝2BD． 理由：连接BE，在BC上截取BT，使得BT＝BA，连接AT． ∵△ABT，△AEF是等边三角形， ∴AT＝AB，AF＝AE， ∴∠TAF＝∠BAE， 在△ATF与△ABE中， ， ∴△ATF≌△ABE（SAS）， ∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝120°， ∴∠EBD＝60° ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴BDBE， ∴TF＝2BD， ∵BT＝AB， ∴BF﹣AB＝2BD 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$