第1章 预备知识 章末整合提升1（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[对应学生用书P49] 一、集合的概念与运算 集合运算过程中应力求做到“三化” (1)意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集． (2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式． (3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题． 　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ [解析]　(1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x＜0或x＞2}． ∵(∁RA)∪B＝R.∴∴－1≤a≤0. (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3.∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在． 二、常用逻辑用语 1．若p⇒q，且qD/⇒p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 2．先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 3．全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题． 　(1)命题p：∀x∈R，x2＞0，则(　　) A．p是假命题；命题p的否定：∃x∈R，x2＜0 B．p是假命题；命题p的否定：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题；命题p的否定：∀x∈R，x2＜0 D．p是真命题；命题p的否定：∀x∈R，x2≤0 (2)“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是(　　) A．m≥1　 B．m≤1　 C．m≥0　 D．m≥2 [解析]　(1)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B. (2)“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“(－2)2－4m≤0”即“m≥1”， 又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件， 即“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是“m≥2”，故选D. [答案]　(1)B　(2)D 三、不等式题点多探 多维探究 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能．解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立． 角度1　通过配凑法求最值 　已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A.　　　　　　　　 B． C． D． [解析]　∵0＜x＜1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3＝. 当且仅当x＝1－x，即x＝时，“等号”成立． [答案]　B 角度2　通过常值代换法求最值 　已知2a＋3b－1＝0且a＞0，b＞0，则代数式＋的最小值为(　　) A．24　　 B．25　　 C．26　　 D．27 [解析]　因为2a＋3b－1＝0，a＞0，b＞0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25，选B. [答案]　B 角度3　通过消元法求最值 　已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝的最小值为________． [解析]　由条件得x2＋y2＝1－z2＝(1－z)(1＋z)，则1＋z＝，于是s＝＝≥＝≥＝4，当且仅当x＝y，且z＝1－z，即z＝，x＝y＝时取等号． [答案]　4 四、一元二次函数与一元二次不等式 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的一元二次函数图象、一元二次方程的解的关系．如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论． 　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. [解析]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式解集为∅； (3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 恒成立问题中忽略二次项系数为零致误 [典例]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　因为a＝2时，原不等式为－4＜0，所以a＝2时恒成立． 当a≠2时， 由题意得 即 解得－2＜a＜2. 综上两种情况可知－2＜a≤2. [纠错心得]　二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可．若认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况． 基本不等式的应用 [典例]　(12分)设x，y为正数，求(x＋y)·的最小值． [审题指导]　先对式子展开，然后利用基本不等式求解． [规范解答]　(x＋y) ＝1＋4·＋＋4(3分) ＝5＋＋(5分) ≥5＋2 ＝9，(9分) 当且仅当4·＝②，(11分) 即y＝2x时等号成立． ∴(x＋y)的最小值为9.(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$