第1章 教考衔接2 巧用基本不等式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[对应学生用书P38] 一、真题展示 (天津卷)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________． 二、真题溯源 [教材P30练习第3题] 用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长度是多少？ 三、类法探究 基本不等式≤(a，b>0)的应用比较广泛，应用技巧也比较丰富，常见的有连续运用基本不等式求最值，利用基本不等式求参数范围，常数“1”的代换证明不等式，另外基本不等式也常和其他知识交汇考查． 类型一　连续用基本不等式求最值 　已知a>b>0，求a2＋的最小值． [解析]　由a>b>0，得a－b>0，∴b(a－b)≤＝. ∴a2＋≥a2＋≥2＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号． ∴a2＋的最小值为4. [反思感悟]　多次使用基本不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法. 类型二　利用基本不等式求参数 　(1)已知x>0，y>0，且x＋y＋xy＝3，若不等式x＋y≥m2－m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.－2≤m≤1　　　　　 B．－1≤m≤2 C．m≤－2或m≥1 D．m≤－1或m≥2 (2)已知x，y∈(0，＋∞)，若不等式＋≤a恒成立，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[，＋∞) C．[2，＋∞) D．[2，＋∞) [解析]　(1)xy＝3－(x＋y)≤，当且仅当x＝y＝1时等号成立， 解得x＋y≥2，即(x＋y)min＝2. 因为不等式x＋y≥m2－m恒成立，所以m2－m≤(x＋y)min，即m2－m≤2，解得－1≤m≤2. (2)x，y∈(0，＋∞)，不等式＋≤a恒成立，所以a>0， 两边平方得x＋2＋2y≤a2， a2≥2＋恒成立，需a2≥， 而≤＝2，当且仅当x＝2y时，等号成立，∴a2≥4，∴a≥2. [答案]　(1)B　(2)C [反思感悟]　求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 类型三　利用基本不等式比较大小 　 (1)(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．＋≥ C．ab＋b≤ D．a2＋b2－ab≥ (2)(多选)设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A(a，b)＝，几何平均数为G(a，b)＝.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp(a，b)＝，其中p为有理数．下列结论正确的是(　　) A．L0.5(a，b)≤L1(a，b) B．L0(a，b)≤G(a，b) C．L2(a，b)≤A(a，b) D．Ln＋1(a，b)≤Ln(a，b) [解析]　(1)对选项A，a>0，b>0，且a＋b＝1，所以ab≤＝， 当且仅当a＝b＝时等号成立．所以a2＋b2＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确． 对选项B，＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2×＝2， 当且仅当a＝b＝时等号成立． 所以＋≤，故B错误． 对选项C，因为a>0，b>0，且a＋b＝1，ab＋b＝(1－b)b＋b＝－＋， 当b＝时，max＝，所以ab＋b≤，故C正确． 对选项D，由A知：ab≤，所以a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab≥1－＝， 当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确． (2)对于A，L0.5(a，b)＝＝≤L1(a，b)＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确； 对于B，L0(a，b)＝＝≤＝＝G(a，b)，当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确； 对于C，L2(a，b)＝＝≥＝＝＝A(a，b)，当且仅当a＝b时，等号成立，故C不正确； 对于D，当n＝1时，由选项C可知，L2(a，b)≥＝L1(a，b)，故D不正确． [答案]　(1)ACD　(2)AB [反思感悟]　运用基本不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 学科网（北京）股份有限公司 $$