第1章 教考衔接1 集合的新定义问题（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[对应学生用书P17] 一、真题展示 1．(湖北卷)设P，Q为两个非空数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是(　　) A．9　　　　　 B．8 C．7 D．6 2．(重庆卷节选)对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝，求集合P7中元素的个数． 二、真题溯源 [教材P12B组第3题] 某学校先后举办了多个学科的课余活动．已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班有多少名同学既没有参加数学活动，也没有参加物理活动？ 三、类法探究 集合中的新定义问题是指给出全新的数学概念、公式、运算、法则等，在此背景下完成某种推理或指定要求的集合问题．解决此类问题的解题思路：从新情境中获取信息，厘清集合问题中新定义的具体内容，分析新定义的特点与本质，搭建相关的集合知识网络，进而将新定义的问题转化为熟悉的问题，从而使问题得到解决，也就是“以旧带新”法． 类型一　新定义 　设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k－1∉A，且k＋1∉A，则称k是A的一个“孤立元”．已知集合T＝{1，2，3，5}，则T的“孤立元”是________；对给定集合S＝{1，2，3，4，5，6}，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有________个． [解析]　集合T＝{1，2，3，5}，依次判断每个元素是否为“孤立元”． 对于1，2∈T，不是“孤立元”； 对于2，1∈T，3∈T，不是“孤立元”； 对于3，2∈T，不是“孤立元”； 对于5，4∉T，6∉T，是“孤立元”， 所以T的“孤立元”是5. 由集合S中3个元素构成的所有集合有20个， 不含孤立元的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，共4个，故含“孤立元”的集合有16个． [答案]　5　16 [反思感悟]　分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键． 类型二　新运算 　已知集合A＝{0，2，3}，定义集合运算A※A＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则A※A＝________． [解析]　由题意知，集合A＝{0，2，3}， 则a与b可能的取值为0，2，3， ∴a＋b的值可能为0，2，3，4，5，6， ∴A※A＝{0，2，3，4，5，6}． [答案]　{0，2，3，4，5，6} [反思感悟]　新运算的题型就是以集合内容为背景，给出一个新的运算，并按照此集合运算规则和要求，结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． 类型三　新法则 　(多选)对于集合A，B，定义A＋B＝{x＋y|x∈A，y∈B}，下列命题正确的是(　　) A．A＋B＝B＋A B．(A＋B)＋C＝A＋(B＋C) C．若A＋A＝B＋B，则A＝B D．若A＋C＝B＋C，则A＝B [解析]　对于选项A：集合A，B满足A＋B＝{x＋y|x∈A，y∈B}， ∴B＋A＝{y＋x|y∈B，x∈A}＝{x＋y|x∈A，y∈B}＝A＋B，故A正确； 对于选项B：(A＋B)＋C＝{x＋y＋z|x∈A，y∈B，z∈C}， A＋(B＋C)＝{x＋y＋z|x∈A，y∈B，z∈C}， ∴(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)，故B正确； 对于选项C：当A＝{1，5}，B＝{2，4}时， 满足{x1＋x2|x1∈A，x2∈A}＝{y1＋y2|y1∈B，y2∈B}，但A＝B不成立，故C错误； 对于选项D：当A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，C＝{x|x＝n，n∈Z}时， 满足{x＋z|x∈A，z∈C}＝{y＋z|y∈B，z∈C}，但A＝B不成立，故D错误； 故选AB. [答案]　AB [反思感悟]　准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$