精品解析：山东省滨州市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题A

绝密★启用前 试卷类型：A 高三数学试题 2023.1 本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选出其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意解出集合，进而求出交集即可. 【详解】由，解得：或，所以， 由，解得：，所以， 所以. 故选：C. 2. 若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两复数对应的点关于虚轴对称得到，再利用复数的除法法则进行求解. 【详解】因为复数、在复平面内对应的点关于虚轴对称， 且，所以， 则. 故选：D. 3. （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得. 【详解】 ， 故选：B. 4. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数，则其和等于的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 这是一个古典概型，先算出从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数的基本事件的总数，再利用列举法求出其和等于9的基本事件数，代入公式求解. 【详解】从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数的基本事件的总数个， 其和等于9的基本事件有共4个， 所以其和等于的概率是. 故选：A 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 已知圆与圆外切，则直线被圆M截得的弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆外切得出圆心距等于半径之和可求出，再根据几何法可求出弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为1， 由题意，得，即，解得， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的线段的长度为. 故选：C. 6. 某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（ ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A. 众数约为10 B. 中位数约为6.5 C. 平均数约为6.76 D. 该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可依次计算众数，中位数，平均数可判断A，B，C；利用百分位数的定义求解判断D. 【详解】对于A，由图可知众数在内，所以众数是6，故A错误； 对于B，由图，中位数在内，所以，解得 ，故B错误； 对于C，平均数为，故C错误； 对于D，由图，该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为，故D正确. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数与指数函数的单调性判断即可得解． 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 又，， 易知，所以，即，所以． 故选：C． 8. 如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点到直线距离公式求得，再由用表示出.根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线：（，），右焦点，渐近线方程为. 将渐近线方程化为一般式为，， 由点到直线距离公式可知，所以， 根据题意，则， 设，由双曲线对称性可知， 而，， 由正切二倍角公式可知， 即，化简可得，即， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若的展开式是关于的多项式，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中每一项的次数都是6 B. 展开式中含项的系数是60 C. 所有项的系数之和为 D. 展开式中共有28项 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB：分析可知：展开式中每一项为的形式，即可判断AB；对于C：令，可得所有项的系数之和；对于D：分析可知等价于将9个相同的球分到3个不同的盒中（每盒不空），结合插空法分析求解. 【详解】对于选项AB：由题意可知：展开式中每一项相对于个、个以及个相乘而得， 其中，且，展开式中每一项都为的形式， 展开式中每一项的次数都是，故A正确； 展开式中含项的系数是，故B正确； 对于选项C：令，可得所有项的系数之和为，故C错误； 对于选项D：本题等价于将6个相同的球分到3个不同的盒中， 等价于将9个相同的球分到3个不同的盒中（每盒不空），则有种可能放法， 所以展开式中共有28项，故D正确； 故选：ABD. 10. 函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，给出下列关于的结论，其中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数的图像关于点对称 D. 函数在上最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的图像求出函数解析式，根据平移得的解析式，求的最小正周期，对称轴对称中心和区间内的最值，验证各选项即可. 【详解】由函数的图像可知，， 函数的最小正周期为，则，得， 由，得，则， 由，又，得， 所以，， 函数的最小正周期，A选项正确； ，不是的最值点， 直线不是函数图像的对称轴，B选项错误； ，函数的图像关于点对称，C选项正确； 时，，当即时，最大值为1，D选项错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则以下说法正确的是（ ） A. 平面EFG B. 直线EG与平面ABCD所成角的正弦值为 C. 异面直线EG和BC所成角的余弦值为 D. 若动直线A1M与直线的夹角为30°，且与平面EFG交于点M，则点M的轨迹构成的图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接,证明,进而判断选项A;建立直角坐标系，平面的法向量，求解直线与平面的正弦值，判断选项B；利用向量求解与的余弦值，判断选项C；根据直线与直线的夹角为,求出M的轨迹，求出其面积，判断选项D. 【详解】对于A，连接，则， 又分别为中点，所以,所以, 又平面,且平面,所以平面，故A选项正确； 对于B，建立如图所示空间直角坐标系，，,,,, 则,平面的法向量， 则， 故直线与平面的正弦值为，故B选项正确； 对于C, ,则, 所以异面直线与的余弦值为，故选项C错误； 对于D，根据直线与直线的夹角为，形成以为对称轴，以AM所在的线段为母线的圆锥，又因为,,,平面EFG,所以平面EFG，则的轨迹是半径为，则面积为，故选项D正确. 故选：ABD 【点睛】根据题意建立空间直角坐标系，求出方向向量和法向量，空间想象能力的培养尤其重要. 12. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上为增函数 D. 函数有11个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：根据为奇函数，为偶函数得到的对称中心、对称轴和周期，然后根据周期性和解析式即可判断；对于B选项：根据关于对称和的周期为8，可得到关于直线对称，进而判断；对于C选项：根据解析式、对称性和周期性画出函数图象，然后根据图象即可判断；对于D选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可判断. 【详解】因为为奇函数，所以关于点对称，即， 因为为偶函数，所以关于直线对称，即， 所以，所以， 所以，可得到：周期为8， 对于A选项：因为，所以， 故选项A正确； 对于B选项：因为关于直线对称，周期为8，所以关于直线对称，所以为偶函数，故B正确; 对于C选项：结合图象可得在上为减函数，故C选项错误； 对于D选项：画出函数与图象，可知这两个图象只有11个交点，所以函数有11个零点，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是充分利用函数的对称性、周期性并做出函数图象，数形结合分析选项. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知等差数列的前n项和为，若，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质得，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】等差数列中，，，得，公差， 则，得，且， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知是边长为的等边三角形,在边上,且,为的中点,则__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系,利用坐标求解 【详解】 如图,以BC中点坐标原点建立直角坐标系,则 因为,所以 因为为AD的中点,所以 所以 故答案为： 15. 在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两面垂直的三棱锥外接球半径满足公式，列式计算求得，再利用勾股定理即可得解. 【详解】依题意，作出三棱锥的直观图，如图，不妨记， 因为该三棱锥的外接球表面积为，设该外接球的半径为， 则，解得， 因为，所以是外接圆的直径，即， 因为是等边三角形，记外接圆的直径为， 则， 因为平面平面，两者交线为，即， 所以由，得，解得， 记的中点为，连接， 因为是等边三角形，所以， 又平面平面，两者交线为，平面， 所以平面，又平面，所以， 在等边中，，则， 在中，， 所以在，. 故答案为：. 16. 已知点是以为焦点的抛物线的对称轴与准线的交点，点在抛物线上，且满足，若点恰好在以，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意利用数型结合方法，由，再结合抛物线定义及椭圆定义知识得到的关系，从而可求解. 【详解】由题设抛物线方程为，，设，作轴，交轴于点，如图， 则由，即， 因为，所以， 所以，，，即点与点重合， 所以，， 由椭圆的定义得，由， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用并结合抛物线定义及椭圆定义求出的关系从而求解. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，内角所对的边分别为且 （1）求角； （2）若，是的中线，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和正弦的倍角公式，化简得到，，即可求解； （2）解法1：设，得到，利用正弦定理，求得，再在中，利用余弦定理，求得，结合面积公式，即可求解； 解法2：根据，求得，再在中，利用余弦定理，求得，结合面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理，得， 所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解法1：因为，是中线，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，可得， 所以， 故的面积 ． 解法2：因为，是的中线，所以， 可得，即， 整理得，所以， 在中，可得， 所以， 故的面积 ． 18. 已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，利用递推关系可得数列为等比数列，即可得解； （2）根据等差数列通项公式求出，再由错位相减法求出和即可. 【小问1详解】 因为，① 所以当时，， 又，所以． 当时，，② ①式减去②式，得， 所以． 又， 所以对，都有， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 依题设得， 所以，所以． 所以，① 所以，② ①式减去②式，得 ， 所以． 19. 如图，在四棱锥中，，，，O为的中点，，. （1）证明：平面; （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，再由线面垂直的判定定理得证； （2）法1，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面及平面的法向量代入公式计算得解；法2，证明，进而证明，由二面角平面角定义可判断就是二面角的平面角求解． 【小问1详解】 如图，因为为中点， 所以， 在中，， 连接，在中，， 所以在中，，故， 又平面， 所以平面． 【小问2详解】 解法1：由（1）可知，两两互相垂直， 以原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间坐标系． 则， 所以，则， 所以． 设平面的法向量， 则所以 令，得平面的一个法向量． 又平面的法向量为， 所以， 故二面角余弦值为． 解法2：因为， 所以， 所以，即， 所以在中，， 所以． 由（1）知，平面， 又平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 所以， 所以就是二面角的平面角． 在中，， 故二面角的余弦值为． 20. 我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科技研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平，并获得了生产技术专利； （1）在研发过程中，对研发时间上x(月)和该产品的厚度y(nm)进行统计，其中1~7月的数据资料如下： x月 1 2 3 4 5 6 7 y（nm） 99 99 45 32 30 24 21 现用作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的最小厚度约为多少？ （2）某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择： 方案一：直接售卖，则每条生产线可卖6万元； 方案二：先花22万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，且相互独立.若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元. ①设3条老旧生产线中改造成功的生产线条数为X，求X的分布列和数学期望； ②请判断该企业应选择哪种售卖方案可能更为有利？并说明理由. 参考数据： 设，.； 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为，． 【答案】（1），13nm （2）①分布列见解析，；②方案二，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，则，利用回归直线公式可得，则关于的回归方程为，可以估计该产品的"理想"优良厚度约为13nm； （2）①由已知，可得，分别求出X取值时的概率，即可列出分布列，进而求出数学期望； ②分别计算两种方案的收益，比较即得. 【小问1详解】 设，则， 所以， ， 所以， 所以关于的回归方程为， 所以可以估计该产品的"理想"优良厚度约为13nm． 【小问2详解】 X的取值为， 因为每条生产线改造成功的概率均为，且相互独立， 所以， 所以； ； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． ②当实施方案一时，设3条生产线的卖价为万元，则； 当实施方案二时，设3条生产线的卖价为万元，则， 所以的数学期望． 因为， 所以该企业应选择方案二售卖可能更为有利． 21. 已知椭圆C：离心率为，焦距为. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线y=x+d与椭圆C交于A，B两点，平面直角坐标系内的点M，使得的角平分线与x轴垂直，且点M的坐标与d无关，求点M的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦距求出，即可得出椭圆方程； （2）由题意可得直线与直线的倾斜角互补，再联立方程后由根与系数的关系建立方程可求出关于d的方程，根据与d无关即可求出点的坐标. 【小问1详解】 由已知得， 以，， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，如图， 将直线代入 得：． ． 因为的角平分线与轴垂直，所以直线与直线的倾斜角互补， 所以，即， 所以， 又因为， 整理得 将①式代入上式，可得 整理得． 因为点的坐标与无关， 所以， 解得，或， 所以点的坐标为或． 22. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，证明：. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）先求解导数，再结合导数式特点，进行分类讨论，可得单调性； （2）结合极值点的特征，把目标式中双变量转化为单变量，结合函数单调性可证. 【详解】（1）解：由题得，其中， 考察，，其中对称轴为，. 若，则， 此时，则，所以在上单调递增； 若，则， 此时在上有两个根，，且， 所以当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增， 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由（1）知，当时，有两个极值点，，且，， 所以 . 令，，则只需证明， 由于，故在上单调递减，所以. 又当时，，， 故， 所以，对任意的，. 综上，可得. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及证明不等式，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 试卷类型：A 高三数学试题 2023.1 本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选出其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A B. 1 C. D. 2 4. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数，则其和等于的概率是（ ） A B. C. D. 5. 已知圆与圆外切，则直线被圆M截得的弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（ ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A. 众数约为10 B. 中位数约为6.5 C. 平均数约为6.76 D. 该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若的展开式是关于的多项式，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中每一项的次数都是6 B. 展开式中含项的系数是60 C. 所有项的系数之和为 D. 展开式中共有28项 10. 函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，给出下列关于的结论，其中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数的图像关于点对称 D. 函数在上最大值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则以下说法正确的是（ ） A. 平面EFG B. 直线EG与平面ABCD所成角的正弦值为 C. 异面直线EG和BC所成角的余弦值为 D. 若动直线A1M与直线的夹角为30°，且与平面EFG交于点M，则点M的轨迹构成的图形的面积为 12. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上为增函数 D. 函数有11个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知等差数列的前n项和为，若，则的最小值为________________. 14. 已知是边长为等边三角形,在边上,且,为的中点,则__________. 15. 在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则_______. 16. 已知点是以为焦点的抛物线的对称轴与准线的交点，点在抛物线上，且满足，若点恰好在以，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，内角所对的边分别为且 （1）求角； （2）若，是的中线，，求的面积. 18. 已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn 19. 如图，在四棱锥中，，，，O为的中点，，. （1）证明：平面; （2）求二面角的余弦值. 20. 我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科技研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平，并获得了生产技术专利； （1）在研发过程中，对研发时间上x(月)和该产品的厚度y(nm)进行统计，其中1~7月的数据资料如下： x月 1 2 3 4 5 6 7 y（nm） 99 99 45 32 30 24 21 现用作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的最小厚度约为多少？ （2）某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择： 方案一：直接售卖，则每条生产线可卖6万元； 方案二：先花22万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，且相互独立.若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元. ①设3条老旧生产线中改造成功的生产线条数为X，求X的分布列和数学期望； ②请判断该企业应选择哪种售卖方案可能更为有利？并说明理由. 参考数据： 设，.； 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为，． 21. 已知椭圆C：离心率为，焦距为. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线y=x+d与椭圆C交于A，B两点，平面直角坐标系内的点M，使得的角平分线与x轴垂直，且点M的坐标与d无关，求点M的坐标. 22 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$