精品解析：重庆市南岸区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下期期末质量监测试题 七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，常量为（    ） A. 的度数 B. 的面积 C. 长度 D. 的长度 6. 一个底面是正方形的长方体，高为4，底面正方形的边长为a．如果它的高不变，底面正方形的边长增加3，则它的体积增加（ ） A. B. 36 C. D. 7. 如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，的相关数据如图所示，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（ ） A. 第⑥块的面积是第①块的4倍 B. 图中的等腰直角三角形一共有8个 C. 第③块的面积是整个面积的 D. 第②块的面积与第⑤块的面积相等 10. 如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在笞题卡中对应的横线上． 11. 计算______． 12. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有，用科学记数法表示是________． 13. ______． 14. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 15. 在弹性限度内，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的关系式为，当弹簧长度为时，弹簧所挂物体的质量为___________kg． 16. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 17. 如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 _____个． 18. 若一个正整数，其中与都是两位数，且与的个位数字相加等于，十位数字相同，则称为“积差数”．例如：因为，与的十位数字都是，个位数字，所以是“积差数”，则最小的“积差数”是___________；若，将放在的左边组成一个新的四位数，若被除余，则满足条件的的最大值为___________． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 化简求值：，其中，． 21. 小明周末陪妈妈到超市购物，超市正在举行转转盘返现金优惠活动，如图，转盘平均分成等份．活动规则如下：购物小票每满元，就可转动转盘一次．①转动转盘，当转盘停止时，指针落在区域的数字即是返现金额；②若放弃转动转盘，直接返现元． （1）转动转盘，分别求出返现元的概率和返现元的概率； （2）小明超市购物共元，只有一次机会，如何选择更合算？请说明理由． 22. 请根据题意，用尺规补全图形，并补全说理过程． （1）如图，在中，作平分线交于点，以为边，作，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据以上作图，可以得到．请补充完整以下的说理过程： 平分， ①___________． ， ②___________． ． ③___________ ． 23. 在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 （2）求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 24. 已知：． （1）如图1，点在，之间，请说明； （2）如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 25. 如图，在中，，D是上一点，连接，过点C作，连接．其中． （1）用等式表示与的大小关系，并说明理由； （2）若，用等式表示α与β的数量关系，并说明理由． 26 我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题． （1）观察下列图形，找出可以用几何图形来推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的代号）； A． B． C． D． 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________，图4对应公式________； （2）如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边中点时，则的值为_________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下期期末质量监测试题 七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，掌握运算法则是解答本题关键．根据幂的乘方运算法则求解． 【详解】解：． 故选：A． 2. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、此图形不是轴对称图形，不符合题意； B、此图形不是轴对称图形，不合题意； C、此图形不是轴对称图形，不合题意； D、此图形是轴对称图形，合题意； 故选：D． 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用．根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得出，再利用，代入求出即可． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据概率公式求解，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， ∴向上一面点数为5的概率是， 故选：D． 5. 如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，常量为（    ） A. 的度数 B. 的面积 C. 的长度 D. 的长度 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是常量与变量，掌握它们的概念是解决此题关键． 根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【详解】解：在转动过程中，的度数，的面积，的长度都在变化，属于变量， ∴常量为的长度， 故选：D． 6. 一个底面是正方形的长方体，高为4，底面正方形的边长为a．如果它的高不变，底面正方形的边长增加3，则它的体积增加（ ） A. B. 36 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体体积的计算方法分别计算变化前、变化后长方体的体积即可．本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：变化前长方体的体积为， 变化后的长方体底面正方形的边长为，高为4， 因此体积为， ∴体积增加了， 故选：D． 7. 如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键，由垂直平分．得，进而得，再证，可得，即可得解． 【详解】解：垂直平分． ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项正确； 故选． 8. 已知，，，的相关数据如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质，逐一判断即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，和不一定相等， 和不一定全等， 故A不符合题意； B、，， ， ，， ，， ， ， 故B符合题意； C、和不一定全等， 和不一定相等， 故C不符合题意； D、，， ， ，， ，， 和不一定相等， 和不一定全等， 和不一定相等， 故D不符合题意； 故选：B． 9. 如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（ ） A. 第⑥块的面积是第①块的4倍 B. 图中的等腰直角三角形一共有8个 C. 第③块的面积是整个面积的 D. 第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第①块的倍，选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，选项不符合题意； 第③块的面积是整个面积的，选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，选项不符合题意， 故选∶． 10. 如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定；由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确，③正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在笞题卡中对应的横线上． 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有，用科学记数法表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】用科学记数法表示是． 故答案：． 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 把原式化为，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15. 在弹性限度内，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间关系式为，当弹簧长度为时，弹簧所挂物体的质量为___________kg． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数解析的应用，已知函数值求解自变量的值，把代入即可得到答案． 【详解】解：当时，得， 解得， ∴它所挂物体的最大质量是． 故答案为：． 16. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 17. 如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 _____个． 【答案】13 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故答案为：13． 18. 若一个正整数，其中与都是两位数，且与的个位数字相加等于，十位数字相同，则称为“积差数”．例如：因为，与的十位数字都是，个位数字，所以是“积差数”，则最小的“积差数”是___________；若，将放在的左边组成一个新的四位数，若被除余，则满足条件的的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算、二元一次方程等知识点，掌握“积差数”的定义是解题的关键．设的十位数字为，个位数字为；则的十位数字为，个位数字为，，，当，时，最小，最大，有最小值为，又，从而或或，进而分类讨论求解即可． 【详解】解：设的十位数字为，个位数字为；则的十位数字为，个位数字为， ∴， ∴ ， ∴当，时，最小，最大，有最小值， 最小值为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵被除余， ∴或或， 当时，， ∴，或，，或，， ∴为或或； 当时，， ∴，或，，或，，或，，或，， ∴为或或或或； 当时，， ∴，或，，或，，或，， ∴为或或或； 综上最大值为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式及多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式、乘法公式是解题的关键， （1）直接根据多项式除以单项式法则计算即可得解； （2）先用平方差公式计算，再用完全平方公式计算即可得解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 化简求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．原式利用完全平方公式，平方差公式及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 21. 小明周末陪妈妈到超市购物，超市正在举行转转盘返现金优惠活动，如图，转盘平均分成等份．活动规则如下：购物小票每满元，就可转动转盘一次．①转动转盘，当转盘停止时，指针落在区域的数字即是返现金额；②若放弃转动转盘，直接返现元． （1）转动转盘，分别求出返现元的概率和返现元的概率； （2）小明超市购物共元，只有一次机会，如何选择更合算？请说明理由． 【答案】（1）返现元的概率为，返现元的概率为． （2）选择转动转盘更合算．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用及游戏公平性，概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）分别求出返现元以上和返现元以下的概率，比较即可求得答案． 【小问1详解】 解：转盘被等分成个扇形，所以每种结果出现的可能性相同，共有种等可能的结果．其中返现金额元的占了份，元的占了份；元占了分，元占了份，元占了份． ∴（返现元）；（返现元） 【小问2详解】 解：转动转盘合算．理由如下： 转到元以上可能出现的结果有：，，，，，，共有种等可能的结果， 即（返现元以上） 转到元以下可能出现的结果有：，共有种等可能的结果， 即（返现元以下）； 因为， 所以获得更多返现的概率大于获得更少返现的概率． 答：选择转动转盘更合算． 22. 请根据题意，用尺规补全图形，并补全说理过程． （1）如图，在中，作的平分线交于点，以为边，作，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据以上作图，可以得到．请补充完整以下的说理过程： 平分， ①___________． ， ②___________． ． ③___________ ． 【答案】（1）见解析 （2）①．②．③ 【解析】 【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可； （2）根据角平分线得，根据平行线的性质得，进而利用等量代换及等角对等边即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：平分， ①． ， ②． ． ③ ． 故答案为：①．②．③． 【点睛】本题主要考查了角平分线定义，尺规作平行线，尺规作角，平行线的性质及判定，等角对等边，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． 23. 在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 （2）求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】（1），，，，， （2）小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【解析】 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； 【小问2详解】 解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 24. 已知：． （1）如图1，点在，之间，请说明； （2）如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【答案】（1）见解析 （2）．理由见解析 （3） 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． （1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系； （3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系． 【小问1详解】 解：如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：，理由见解析， 如图：过点作，过点作，过点作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 25. 如图，在中，，D是上一点，连接，过点C作，连接．其中． （1）用等式表示与的大小关系，并说明理由； （2）若，用等式表示α与β的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由，得，而，即可根据“”证明，得，而，则； （2）由平行线的性质得，由全等三角形的性质得，可求得，再证明，则，所以． 【小问1详解】 解：， 理由：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：， 理由：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；证明三角形全等是解决问题的关键． 26. 我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题． （1）观察下列图形，找出可以用几何图形来推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的代号）； A． B． C． D． 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________，图4对应公式________； （2）如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为_________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）依次为B，D，C，A；（2）①；②结论成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的计算， （1）根据图示，几何图形面积的计算方法即可求解； （2）①根据题意可得，四边形是正方形，设，则，再根据几何图形面积的计算方法分别求出，即可求解；②设空白部分长方形的宽为a，长为b，可得，，，，再根据几何图形面积的计算方法分别求出，即可求解． 【详解】解：（1）图1，，故选B； 图2，，故选D； 图3，，故选C； 图4，，故选A； 依次为B，D，C，A； （2）①已知，，，是等腰直角三角形，当是边的中点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ， ， ． 故答案为：； ②结论成立，理由如下， 设空白部分长方形的宽为a，长为b， ，，，是等腰直角三角形， ，，，， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $